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1、第三章,3.1條件概率與獨立性,一 條件概率 二 隨機事件的獨立性 三 獨立性在可靠性問題中的應(yīng)用 四 貝努利概型與二項概率,一 條件概率,問題的提法： （1）給定一個隨機試驗，是它的樣本空間，問“事件A發(fā)生的概率”？ （2）在上述前提下，問“已知某事件B已經(jīng)發(fā)生了，那么事件A發(fā)生的概率是多少”？,例1，盒中裝有16個球，6個玻璃球，其中2個紅色4個蘭色；10個木質(zhì)球，其中3個紅色7個蘭色?，F(xiàn)從中任取一球，記 A=取到玻璃球，B=取到蘭色球 則 P（A）=6/16，P（B）=11/16。 AB=取到蘭色玻璃球， P（AB）=4/16,,,問“如果已知取到的是蘭色球，那么它是
2、玻璃球的概率”是多少？,,上述概率可以記為P（AB） P（AB）=4/11 事實上這時的樣本空間已經(jīng)發(fā)生變化，變 成為11個蘭色球，n=11 進一步我們發(fā)現(xiàn)， P（AB）=P（AB）/P（B）,,定義 ：給定一個隨機試驗，是它的樣本空間，對于任意兩個事件A、B，其中 P（B）0，稱 P（AB）=P（AB）/P（B） 為在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。,,,,條件概率也是概率，滿足概率的公理化定義中的三條公理，即 公理1. P（AB）0； 公理2. P（B）=1； 公理3. P（AiB）=P（AiB） 且有同樣的性質(zhì)。注意在同一個條件下使用。,,比如：,,例25個乒
3、乓球，3個新的，2個舊的。每次取一個，無放回地取兩次。記 A=第一次取到新球，B=第二次取到新球 求：P（A），P（AB）， P（BA）. 解：p(A)=3/5, p(AB)=(32)/(54)=3/10, p(B|A)=p(AB)/p(A)=1/2,.,,例3(課本第18頁例1.14) 某建筑物按設(shè)計要求使用壽命超過50年 的概率為0.8，超過60年的概率為0.6，該建 筑物經(jīng)歷了50年之后，它將在10年內(nèi) 倒塌 的概率有多大？,,解：B：該建筑物的壽命在年以上，A：該建筑物的壽命在年以上 所求概率為 p(|B)= 1-p(A|B)=1-p(AB)/p(B) =1-p(A)/p(B
4、)=1-0.6/0.8 =1/4 注意此處p(AB)=p(A),,由條件概率的定義立即得到概率的乘法公式： 當P（A）0或P（B）0時， P（AB）=P（A）P（BA） 或 P（AB）=P（B）P（AB）,,,,乘法公式可推廣到多個隨機事件上去 ， P(ABC)=p(A)p(B|A)p(C|AB),,例5，10個考題中，4難6易。三人參加抽題 （不放回），甲先、乙次、丙最后。記事件A、B、C分別表示三人各抽到難題。試求： P（A），P（AB），P（ABC）. 解: P(A)=4/10=2/5, P(AB)=p(A)p(B|A)=4/10 3/9=2/15, P(ABC)=p(A)p(
5、B|A)p(C|AB) =2/152/8=1/30.,思考： 相互獨立與互不相容有何區(qū)別？,,,,,一副撲克牌共52張，現(xiàn)從中隨機地抽取一張，A=抽到K，B=抽到紅桃，可以驗證事件A,B是相互獨立的.,,拋一枚均勻硬幣2次，A=第一次正面向上 ，B=第二次正面向上,可以驗證事件A,B是相互獨立的. 樣本空間為正正，正反，反正，反反,,,,例1中我們也可以這樣來求：,,定義可以推廣到n個事件上去,上述定理也可以推廣。,,,,由題意 1-(0.4)n 0.99 解出n 5.027,即至少需要6門炮才能以99%的把握命中敵機。,三 獨立性在可靠性問題中的應(yīng)用,,,,,,,,,,,,,,
6、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,2,3,4,,系統(tǒng)可靠度為,四. 貝努利概型與二項概率,,,,,3.2 全概公式與逆概公式,,一 全概公式,,,定義設(shè)，，n滿足下面的條件： （），，n兩兩互不相容； （）n= 則稱，，n構(gòu)成樣本空間的一個劃分（或稱構(gòu)成一個完備事件組）,,,,,在例中又問：若取到的是正品，那么它是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少？ 在例3中又問：若這個人遲到了，那么他是坐輪船來的概率有多大？,,,,例一項血液化驗以概率0.95將帶菌病人檢出陽性，但也有1%的概率誤將健康人檢出陽性假設(shè)已知該種疾病的發(fā)病率為0.5%，求已知一個個體在檢出是陽性的條件下，該個體確實患有此病的概率（0.324）,,設(shè)B=被檢出陽性，A1=帶菌者, A2=不帶菌者, 且已知p(A1)=0.005,p(B| A1 )=0.95, p(B| A2)=0.01,,,,,3,,,,1,2,4,5,,,,設(shè)橋式系統(tǒng)正常工作，元件正常工作 當發(fā)生時橋式系統(tǒng)如左圖： 當不發(fā)生時橋式系統(tǒng)如右圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,1,,,,,,,
同濟大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章
