振動之輕桿單擺振動的周期和振動規(guī)律(動畫).ppt

*范例 5.5 輕桿 單擺振動的周期和振動規(guī)律 (動畫 ) (1)一輕桿長為 l，連接一個質量為 m的擺球，形成一個單擺。 不計摩擦，求單擺的周期與角振幅的關系。 (2)演示單擺振動 的動畫，比較單擺振動和簡諧振動的規(guī)律。 (3)當單擺角振幅 的度數為 1 到 7 時 (間隔為 1 )，將單擺運動的角位置和 角速度與簡諧振動進行比較。當單擺角振幅的度數為 30 到 150 時 (間隔為 30 )，另加 179 ，同樣進行比較。 解析 (1)如圖所示，設角位 置為 ，擺錘的運動方程為 即 在小角度的情況下，sin ，可得 0為圓頻率 2 2 d s in dm l m gt 2 2 d sin d g tl l mg O ft T 2 2 02 d 0 d t 0 /gl 單擺在小角度的情 況下作簡諧振動。 0 0 2 2 lT g 振動周期為 在小角振動的情況下，單擺的周期與 角振幅無關，這稱為單擺的等時性 。 擺錘的角速度為 = d/dt，因此 可 得 積分得 當 t = 0時， = 0， = m，可得 C = -gcos m/l。 2 2 d s in , d g tl l mg O ft T 角速度 大小為 0 0 2 2 lT g 單擺的 周期為 2 2 d d d d d d d d d dt t t d sin d g l 21 c os 2 g C l m d2 ( c o s c o s ) d g tl mm 0 00 mm d 2 d4 2 c o s c o s c o s c o s lTT g 對于任何角振幅 m，通過數值積分和符號積分都能計算周期 。 注意：角速度和圓 (角 )頻率都用字母 表示，單位也相同，但意義不同。 *范例 5.5 輕桿 單擺振動的周期和振動規(guī)律 (動畫 ) 利用半角 公式可得 設 并設 ksinx = sin(/2)，因此 可得 0 0 2 2 ,lT g 第一類完全橢 圓積分定義為 m 0 0 m 2d c o s c o sTT 周期可 表示為 m 0 22 0 m 1d si n ( / 2) si n ( / 2)TT msin 2k 1c os d c os d 22k x x /2 /2 00 2 2 2 2 00 1 2 c o s d 2 d c o s ( / 2 ) s in 1 s in ( / 2 ) k x x xT T T k k x /2 0 22 0 2d 1 s i n xT kx /2 22 0 dK ( ) 1 sin xk kx 0 2 K ( ) .T T k *范例 5.5 輕桿 單擺振動的周期和振動規(guī)律 (動畫 ) 將周期的橢圓積分公式按二項式展開得 其中 (2n 1)!! = 13(2 n 1)。 利用定積分公式 可得用無窮級數表示的單擺周期 0 0 2 2 ,lT g 如果取前兩個正弦項，則得 利用級數計算周期究竟要取多少項，則根據精度決定 。 如果只取常數項，可得單擺小角度的周期 T0。 msin 2k /2 0 22 0 2d 1 sin xTT kx 0 2 K ( ) ,Tk /2 2 0 10 2 ( 2 1 ) ! ! 1 ( si n ) d 2! n n n nT T k x x n /2 2 0 ( 2 1 ) ! ! s i n d 2 ! 2 n n nxx n 2m 0 1 ( 2 1 ) ! ! 1 sin 2 ! 2 n nn nTT n 224 mm 0 2 2 2 1 1 3( 1 s in s in . . . ) 2 2 2 4 2TT *范例 5.5 輕桿 單擺振動的周期和振動規(guī)律 (動畫 ) 當角振幅在 20以內時，單擺的周期幾乎不變。 數值積分和符號積分與第一類完全 橢圓積分公式計算的結果完全吻合。 當角振幅在 20到 40之間時，單擺的周期稍有增加。 當角振幅接近 180時，單擺的周期急劇增加。 當角振幅大于 40時，單擺的周期顯著增加。 當角振幅等于 5時，只要在周期的 級數中取一個正弦項即可達到精度。 當角振幅等于 90時，則需要取 15個正弦項才能達到精度。 當角振幅等于 150時，則需要取 148個正弦項才能達到精度。 當角振幅在 155到 165之間時，取 150個正弦項雖然不 能達到精度，但是周期的近似值與精確值基本吻合。 當角振幅接近 180時，即使取 150個正弦項， 周期的近似值與精確值也有明顯的差別。 可見：在通常振幅的情況下，可用級數求和 的方法計算單擺的周期，但是在很大振幅的 情況下，就需要用積分的方法或完全橢圓積 分函數才能保證周期的精度。 容差為 10-6 (1)一輕桿長為 l，連接一個質量為 m的擺球，形成一個單擺。 不計摩擦，求單擺的周期與角振幅的關系。 (2)演示單擺振動 的動畫，比較單擺振動和簡諧振動的規(guī)律。 (3)當單擺角振幅 的度數為 1 到 7 時 (間隔為 1 )，將單擺運動的角位置和 角速度與簡諧振動進行比較。當單擺角振幅的度數為 30 到 150 時 (間隔為 30 )，另加 179 ，同樣進行比較。 解析 (2)為了演示單擺的振動，需 要求微分方程中角度的數值解。 擺錘的坐標為 x = lsin， y = lcos， l mg O ft T x軸取向右的方向為正， y軸取向下的方向為正 。 *范例 5.5 輕桿 單擺振動的周期和振動規(guī)律 (動畫 ) 當角振幅為 60時，單 擺的初始狀態(tài)如圖所示， 單擺的周期為 1.0732T0。 當角振幅小于 5時，單擺振動 周期約等于小角振動的周期。 當角振幅為 90時，單擺的周期為 1.18T0。 當角振幅為 179時， 單擺的初始狀態(tài)如 圖所示，單擺的周 期為 3.90T0。 當角振幅為 179.9時， 單擺的周期為 5.37T0。 (1)一輕桿長為 l，連接一個質量為 m的擺球，形成一個單擺。 不計摩擦，求單擺的周期與角振幅的關系。 (2)演示單擺振動 的動畫，比較單擺振動和簡諧振動的規(guī)律。 (3)當單擺角振幅 的度數為 1 到 7 時 (間隔為 1 )，將單擺運動的角位置和 角速度與簡諧振動進行比較。當單擺角振幅的度數為 30 到 150 時 (間隔為 30 )，另加 179 ，同樣進行比較。 解析 (3)為了求解單擺的運動規(guī)律， 仍然需要求微分方程的數值解。 單擺的振動可與簡諧振動進行比較。 l mg O ft T 簡諧振動的角位移可用余弦 函數表示 h = mcost， 簡諧振動的角速度為 h hm d sin d .tt *范例 5.5 輕桿 單擺振動的周期和振動規(guī)律 (動畫 ) 在角振幅較小的情況下，單擺的周 期近似為小角單擺的周期，其角位 移完全可以用余弦函數表示。 在角振幅較小的情況下，其角速 度完全可以用正弦函數表示。 當角振幅 在 90以內 時，單擺 的角位移 與簡諧運 動的標準 點基本上 是重合的， 因此可用 余弦函數 近似表示； 當角振幅等于 150時，單擺的角位 移與簡諧運動的標準點有所偏離； 當角振幅接近 180時，單擺的周期 顯著增加，角位移顯著偏離簡諧 運動，角位移的極大值和極小值 處十分“平坦”，表示單擺在左 右兩個角振幅附近運動比較緩慢。 當角振幅等于 150時，單擺的 角速度與正弦曲線偏離較多； 當角振幅在 90以 內時，單擺的角速 度曲線與大多數正 弦點 (少量極值附 近的點除外 )重合； 當角振幅接 近 180時，角 速度與正弦 曲線偏離很 大，峰值附 近的曲線尖 而窄，零值 附近的曲線 變得十分 “平直” 。