振動(dòng)之輕桿單擺振動(dòng)的周期和振動(dòng)規(guī)律(動(dòng)畫(huà)).ppt

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1、*范例 5.5 輕桿 單擺振動(dòng)的周期和振動(dòng)規(guī)律 (動(dòng)畫(huà) ) (1)一輕桿長(zhǎng)為 l，連接一個(gè)質(zhì)量為 m的擺球，形成一個(gè)單擺。 不計(jì)摩擦，求單擺的周期與角振幅的關(guān)系。 (2)演示單擺振動(dòng) 的動(dòng)畫(huà)，比較單擺振動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律。 (3)當(dāng)單擺角振幅 的度數(shù)為 1 到 7 時(shí) (間隔為 1 )，將單擺運(yùn)動(dòng)的角位置和 角速度與簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行比較。當(dāng)單擺角振幅的度數(shù)為 30 到 150 時(shí) (間隔為 30 )，另加 179 ，同樣進(jìn)行比較。 解析 (1)如圖所示，設(shè)角位 置為 ，擺錘的運(yùn)動(dòng)方程為 即 在小角度的情況下，sin ，可得 0為圓頻率 2 2 d s in dm l m gt

2、 2 2 d sin d g tl l mg O ft T 2 2 02 d 0 d t 0 /gl 單擺在小角度的情 況下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 0 0 2 2 lT g 振動(dòng)周期為 在小角振動(dòng)的情況下，單擺的周期與 角振幅無(wú)關(guān)，這稱(chēng)為單擺的等時(shí)性 。 擺錘的角速度為 = d/dt，因此 可 得 積分得 當(dāng) t = 0時(shí)， = 0， = m，可得 C = -gcos m/l。 2 2 d s in , d g tl l mg O ft T 角速度 大小為 0 0 2 2 lT g 單擺的 周期為 2 2 d d d d d d d d d dt t

3、t d sin d g l 21 c os 2 g C l m d2 ( c o s c o s ) d g tl mm 0 00 mm d 2 d4 2 c o s c o s c o s c o s lTT g 對(duì)于任何角振幅 m，通過(guò)數(shù)值積分和符號(hào)積分都能計(jì)算周期 。 注意：角速度和圓 (角 )頻率都用字母 表示，單位也相同，但意義不同。 *范例 5.5 輕桿 單擺振動(dòng)的周期和振動(dòng)規(guī)律 (動(dòng)畫(huà) ) 利用半角 公式可得 設(shè) 并設(shè) ksinx = sin(/2)，因此 可得 0 0 2 2 ,lT g 第一類(lèi)完全橢 圓積分定義為

4、m 0 0 m 2d c o s c o sTT 周期可 表示為 m 0 22 0 m 1d si n ( / 2) si n ( / 2)TT msin 2k 1c os d c os d 22k x x /2 /2 00 2 2 2 2 00 1 2 c o s d 2 d c o s ( / 2 ) s in 1 s in ( / 2 ) k x x xT T T k k x /2 0 22 0 2d 1 s i n xT kx /2 22 0 dK ( ) 1 sin xk kx 0 2 K ( ) .T T k *范例 5.5 輕

5、桿 單擺振動(dòng)的周期和振動(dòng)規(guī)律 (動(dòng)畫(huà) ) 將周期的橢圓積分公式按二項(xiàng)式展開(kāi)得 其中 (2n 1)!! = 13(2 n 1)。 利用定積分公式 可得用無(wú)窮級(jí)數(shù)表示的單擺周期 0 0 2 2 ,lT g 如果取前兩個(gè)正弦項(xiàng)，則得 利用級(jí)數(shù)計(jì)算周期究竟要取多少項(xiàng)，則根據(jù)精度決定 。 如果只取常數(shù)項(xiàng)，可得單擺小角度的周期 T0。 msin 2k /2 0 22 0 2d 1 sin xTT kx 0 2 K ( ) ,Tk /2 2 0 10 2 ( 2 1 ) ! ! 1 ( si n ) d 2! n n n nT T k x x n /2 2 0

6、( 2 1 ) ! ! s i n d 2 ! 2 n n nxx n 2m 0 1 ( 2 1 ) ! ! 1 sin 2 ! 2 n nn nTT n 224 mm 0 2 2 2 1 1 3( 1 s in s in . . . ) 2 2 2 4 2TT *范例 5.5 輕桿 單擺振動(dòng)的周期和振動(dòng)規(guī)律 (動(dòng)畫(huà) ) 當(dāng)角振幅在 20以?xún)?nèi)時(shí)，單擺的周期幾乎不變。 數(shù)值積分和符號(hào)積分與第一類(lèi)完全 橢圓積分公式計(jì)算的結(jié)果完全吻合。 當(dāng)角振幅在 20到 40之間時(shí)，單擺的周期稍有增加。 當(dāng)角振幅接近 180時(shí)，單擺的周期急劇增加。 當(dāng)角振幅大于 40時(shí)，單擺的周期

7、顯著增加。 當(dāng)角振幅等于 5時(shí)，只要在周期的 級(jí)數(shù)中取一個(gè)正弦項(xiàng)即可達(dá)到精度。 當(dāng)角振幅等于 90時(shí)，則需要取 15個(gè)正弦項(xiàng)才能達(dá)到精度。 當(dāng)角振幅等于 150時(shí)，則需要取 148個(gè)正弦項(xiàng)才能達(dá)到精度。 當(dāng)角振幅在 155到 165之間時(shí)，取 150個(gè)正弦項(xiàng)雖然不 能達(dá)到精度，但是周期的近似值與精確值基本吻合。 當(dāng)角振幅接近 180時(shí)，即使取 150個(gè)正弦項(xiàng)， 周期的近似值與精確值也有明顯的差別。 可見(jiàn)：在通常振幅的情況下，可用級(jí)數(shù)求和 的方法計(jì)算單擺的周期，但是在很大振幅的 情況下，就需要用積分的方法或完全橢圓積 分函數(shù)才能保證周期的精度。 容差為 10-6 (1)一輕桿長(zhǎng)為

8、l，連接一個(gè)質(zhì)量為 m的擺球，形成一個(gè)單擺。 不計(jì)摩擦，求單擺的周期與角振幅的關(guān)系。 (2)演示單擺振動(dòng) 的動(dòng)畫(huà)，比較單擺振動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律。 (3)當(dāng)單擺角振幅 的度數(shù)為 1 到 7 時(shí) (間隔為 1 )，將單擺運(yùn)動(dòng)的角位置和 角速度與簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行比較。當(dāng)單擺角振幅的度數(shù)為 30 到 150 時(shí) (間隔為 30 )，另加 179 ，同樣進(jìn)行比較。 解析 (2)為了演示單擺的振動(dòng)，需 要求微分方程中角度的數(shù)值解。 擺錘的坐標(biāo)為 x = lsin， y = lcos， l mg O ft T x軸取向右的方向?yàn)檎?y軸取向下的方向?yàn)檎?。 *范例 5.5 輕桿 單擺振動(dòng)

9、的周期和振動(dòng)規(guī)律 (動(dòng)畫(huà) ) 當(dāng)角振幅為 60時(shí)，單 擺的初始狀態(tài)如圖所示， 單擺的周期為 1.0732T0。 當(dāng)角振幅小于 5時(shí)，單擺振動(dòng) 周期約等于小角振動(dòng)的周期。 當(dāng)角振幅為 90時(shí)，單擺的周期為 1.18T0。 當(dāng)角振幅為 179時(shí)， 單擺的初始狀態(tài)如 圖所示，單擺的周 期為 3.90T0。 當(dāng)角振幅為 179.9時(shí)， 單擺的周期為 5.37T0。 (1)一輕桿長(zhǎng)為 l，連接一個(gè)質(zhì)量為 m的擺球，形成一個(gè)單擺。 不計(jì)摩擦，求單擺的周期與角振幅的關(guān)系。 (2)演示單擺振動(dòng) 的動(dòng)畫(huà)，比較單擺振動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律。 (3)當(dāng)單擺角振幅 的度數(shù)為 1 到 7 時(shí) (間隔為 1 )

10、，將單擺運(yùn)動(dòng)的角位置和 角速度與簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行比較。當(dāng)單擺角振幅的度數(shù)為 30 到 150 時(shí) (間隔為 30 )，另加 179 ，同樣進(jìn)行比較。 解析 (3)為了求解單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律， 仍然需要求微分方程的數(shù)值解。 單擺的振動(dòng)可與簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行比較。 l mg O ft T 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角位移可用余弦 函數(shù)表示 h = mcost， 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角速度為 h hm d sin d .tt *范例 5.5 輕桿 單擺振動(dòng)的周期和振動(dòng)規(guī)律 (動(dòng)畫(huà) ) 在角振幅較小的情況下，單擺的周 期近似為小角單擺的周期，其角位 移完全可以用余弦函數(shù)表示。 在角振幅較小的情況下，其角速 度完

11、全可以用正弦函數(shù)表示。 當(dāng)角振幅 在 90以?xún)?nèi) 時(shí)，單擺 的角位移 與簡(jiǎn)諧運(yùn) 動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn) 點(diǎn)基本上 是重合的， 因此可用 余弦函數(shù) 近似表示； 當(dāng)角振幅等于 150時(shí)，單擺的角位 移與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)有所偏離； 當(dāng)角振幅接近 180時(shí)，單擺的周期 顯著增加，角位移顯著偏離簡(jiǎn)諧 運(yùn)動(dòng)，角位移的極大值和極小值 處十分“平坦”，表示單擺在左 右兩個(gè)角振幅附近運(yùn)動(dòng)比較緩慢。 當(dāng)角振幅等于 150時(shí)，單擺的 角速度與正弦曲線偏離較多； 當(dāng)角振幅在 90以 內(nèi)時(shí)，單擺的角速 度曲線與大多數(shù)正 弦點(diǎn) (少量極值附 近的點(diǎn)除外 )重合； 當(dāng)角振幅接 近 180時(shí)，角 速度與正弦 曲線偏離很 大，峰值附 近的曲線尖 而窄，零值 附近的曲線 變得十分 “平直” 。