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1、習(xí) 題 課 第三章 多維 隨機(jī)變量及其分布 1 二維隨機(jī)變量 2 邊緣分布 3 條件分布 4 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 1 要理解二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。 2 要理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布以及與聯(lián)合分 布的關(guān)系，了解條件分布。 3 掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。 4 要理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性。 5 要會(huì)求二維隨機(jī)變量的和及多維隨機(jī)變量的最 值分布和函數(shù)的分布。 第三章 習(xí)題課 返回主目錄 設(shè) E 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是 S=e， 設(shè) X=X(e)
2、和 Y=Y(e) 是定義在 S 上的隨機(jī)變量。 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量 (X, Y) ，叫做二維隨機(jī) 向量，或 二維隨機(jī)變量 。 S e X(e) Y(e) 1 二維隨機(jī)變量的定義 返回主目錄 第三章 習(xí)題課 注 意 事 項(xiàng) 我們應(yīng)把二維隨機(jī)變量)1( SeeYeXYX ，， 系的； 之間是有聯(lián)與看作一個(gè)整體，因?yàn)?YX 作平面上的隨機(jī)點(diǎn) 可看，量在幾何上，二維隨機(jī)變 YX)2( 返回主目錄 第三章 習(xí)題課 ，，實(shí)數(shù) 則對(duì)于任意一對(duì)是一個(gè)二維隨機(jī)變量，，設(shè) yx YX .的分布函數(shù)，變量 為二維隨機(jī)的函數(shù)我們稱此函數(shù)，是 YX yx
3、 yYxXPyxF ，， 2 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的定義 返回主目錄 第三章 習(xí)題課 二維分布函數(shù)的幾何意義 概率 點(diǎn)的無(wú)窮矩形中的 為右上頂， 落在以，點(diǎn) 表示平面上的隨機(jī) ，意義是： 二維分布函數(shù)的幾何 yx YX yxF y o (X, Y ) 返回主目錄 x ),( yx yYxXPyxF ，， 第三章 習(xí)題課 一個(gè)重要的公式 ，，設(shè)： 2121 yyxx 則 2121 yYyxXxP ， 1222 yxFyxF ，， 1121 yxFyxF ，， y x o x1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2)
4、 (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1) 第三章 習(xí)題課 分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)： F (x , y )是變量 x , y 的不減函數(shù)，即 對(duì)于任意固定的 y, 當(dāng) x1< x2時(shí)， 對(duì)于任意固定的 x, 當(dāng) y10, 則稱 | ji yYxXP 為在 Y= yj 條件下隨機(jī)變量 X 的 條件分布律 。 條件分布律 具有分布律的以下特性： 10 P X= xi |Y= yj 0； 1 1 1 0 .11|2 i j j i i ij jj ij ji p pp pp pyYxXP 返回主目錄 , j ji yYP y
5、YxXP ,2,1, ipp j ij 第三章 習(xí)題課 定義： 給定 y，設(shè)對(duì)于任意固定的正數(shù) ， Py0, 若對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，極限 , lim |lim 0 0 yYyP yYyxXP yYyxXP 存在，則稱為在條件 Y= y下 X的 條件分布函數(shù) ，寫(xiě) 成 P X x |Y= y ，或記為 返回主目錄 8 條件分布函數(shù)和條件密度函數(shù) )|(| yxF YX 第三章 習(xí)題課 , )( ),()|( | x Y YX duyf yufyxF . )( ),()|( | yf yxfyxf Y YX 在條件 Y= y下 X的條件分
6、布函數(shù) 為 ： 時(shí)，當(dāng) 0yf Y 數(shù)。的條件下的條件密度函在稱為隨機(jī)變量 yYX 第三章 習(xí)題課 ，其聯(lián)合密度函數(shù)為是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè) YX 的邊緣密度函數(shù)為：又隨機(jī)變量 X dyyxfxf X ， yxf ， 返回主目錄 的邊緣密度函數(shù)為：隨機(jī)變量 Y dxyxfyf Y ， 第三章 習(xí)題課 為條件下的條件密度函數(shù) 的在時(shí)，可得隨機(jī)變量則當(dāng) yYXyf Y 0 yf yxfyxf Y YX ， 返回主目錄 為條件下的條件密度函數(shù) 的在時(shí)，可得隨機(jī)變量當(dāng) xXYxf X 0 xf yxfxyf X XY
7、， 第三章 習(xí)題課 條件密度函數(shù)的性質(zhì) ，有對(duì)任意的性質(zhì) x 0yxf YX 1 dxyxf YX性質(zhì) 返回主目錄 是密度函數(shù)簡(jiǎn)言之， yxf YX 也有類(lèi)似的性質(zhì)對(duì)于條件密度函數(shù) xyf XY 第三章 習(xí)題課 9 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱 ， ，有，的 如果對(duì)于任意的分布函數(shù)為隨機(jī)變量 ，的分布函數(shù)為，又隨機(jī)變量， 合分布函數(shù)為是二維隨機(jī)變量，其聯(lián)，設(shè) YX yFxFyxF yx yFY xFXyxF YX YX Y X 返回主目錄 第三章 習(xí)題課 ：相互獨(dú)立，實(shí)際上是指與隨機(jī)變量 YX.1 相互獨(dú)立
8、與 ，隨機(jī)事件，對(duì)于任意的 yYxX yx 返回主目錄 第三章 習(xí)題課 相互獨(dú)立，則與如果隨機(jī)變量 YX.2 唯一確定與 可由其邊緣分布函數(shù)，函數(shù) 的聯(lián)合分布，二維隨機(jī)變量 yFxF yxF YX YX 注 （ 1）離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 ，其聯(lián)合分布律為是二維離散型隨機(jī)變量，設(shè) YX jiij yYxXPp ， 的分布律為又隨機(jī)變量 X ，，， 21ji ii xXPp ，， 21i 的分布律為隨機(jī)變量 Y jj yYPp ，， 21j ji ，如果對(duì)于任意的 jiij ppp 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱 YX 返回主目錄 第三章 習(xí)題
9、課 聯(lián)合分布律 邊緣分布律表以及 Y X 1 y 2 y j y i p 1 x 11 p 12 p j p 1 1 p 2 x 21 p 22 p j p 2 2 p i x 1i p 2i p ij p i p j p 1 p 2 p j p 返回主目錄 第三章 習(xí)題課 （ 2）連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 ，，數(shù)為 ，其聯(lián)合密度函是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè) yxf YX 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱 YX 須成立 必，的所有連續(xù)點(diǎn)，特別地，上式對(duì) yxyxf ，的邊緣密度函數(shù)為又隨機(jī)變量 xfX X 有，如果對(duì)于幾乎所有的
10、yx yfxfyxf YX， ，緣密度函數(shù)為 yf Y的邊隨機(jī)變量 Y 返回主目錄 第三章 習(xí)題課 ”是指：，有的這里所謂的“對(duì)幾乎所 yx 那些使得等式 yfxfyxf YX， 所成集合的“面積”為，不成立的全體點(diǎn) 0yx 返回主目錄 第三章 習(xí)題課 注 (3)n維 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，，，則稱 ，，， ，有，，，維實(shí)數(shù)組對(duì)于任意的 如果，，，，的分布函數(shù)為 ，又隨機(jī)變量，，，分布函數(shù)為 維隨機(jī)變量，其聯(lián)合是，，，設(shè) n nXXXn n iX in n XXX xFxFxFxxxF xxxn n
11、ixF XxxxF nXXX n i 21 2121 21 21 21 21 21 返回主目錄 第三章 習(xí)題課 n維 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 也相互獨(dú)立。，，， 個(gè)相互獨(dú)立，則其中任意，，，若 kiii n XXX kXXX 21 21.1 2. 若 X,Y 獨(dú)立， f(x),g(y) 是連續(xù)函數(shù)，則 f(X),g(Y) 也獨(dú)立。 返回主目錄 第三章 習(xí)題課 注 （ 1）連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布 返回主目錄 的密度函數(shù)為，則，數(shù)為 的聯(lián)合密度函，二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè) YXZyxf YX dyyyzfzf Z ，或 dx
12、xzxfzf Z ， 10 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 第三章 習(xí)題課 相互獨(dú)立，則有與特別地，如果隨機(jī)變量 YX yfxfyxf YX， 此時(shí)，我們有 dxxzfxfzf YXZ 或者 dyyfyzfzf YXZ 返回主目錄 的卷積，記作與我們稱上式為函數(shù) yfxf YX yfxf YX * 第三章 習(xí)題課 , 211 ，NX 論：一般地，我們有如下結(jié) 相互獨(dú)立，且與如果隨機(jī)變量 YX ，YXZ 222 ，NY . 222121 ，則 NZ 第三章 隨機(jī)變量及其分布 5 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 返回主目錄
13、 2 iii NX ， 結(jié)論：更一般地，我們有如下 相互獨(dú)立，，，，如果隨機(jī)變量 nXXX 21 ，令 n i ii XaZ 1 ni ，，， 21 . 1 22 1 n i ii n i ii aaNZ ，則 個(gè)實(shí)常數(shù)，為，，，又 naaa n21 第三章 隨機(jī)變量及其分布 5 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 返回主目錄 解題步驟 ，分布函數(shù) 的，先求隨機(jī)變量函數(shù) zF YXgZ Z .1 ，密度函數(shù) 的，再求隨機(jī)變量函數(shù) zFzf YXgZ ZZ .2 (2)其它的分布 返回主目錄 ，，數(shù)為 ，其聯(lián)合密度函是二維連續(xù)型隨機(jī)變量
14、，設(shè) yxf YX YXgZ ， ， 的密度函數(shù)，求隨機(jī)變量函數(shù) zFzf YXgZ ZZ 第三章 習(xí)題課 令：的分布函數(shù)為 量，是獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變，，，設(shè) ).,2,1( 21 nixFX XXX ii n ，，，， ，，，， nn n XXXX XXXX 21 211 m a x m i n ，的分布函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量 xFX 11 返回主目錄 ，的分布函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量 xFX nn 第三章 習(xí)題課 則 xXPxF nn )()()( 21 xFxFxF n 返回主目錄 xXPxF
15、11 )(1)(1)(11 21 xFxFxF n 第三章 習(xí)題課 例 1 設(shè)二維隨機(jī)變量 （ X， Y） 的概率密度函數(shù)為 其它0 1015, 2 yxyxyxf （ 1）求邊緣概率密度函數(shù) );(,)( yfxf YX . （ 2）求 ;)( xyf XY .1)3( YXP求 第三章 習(xí)題課 解： dyyxfxf X ),()()( 由1 ).()(, 22 1 2 1 2 151510 xxy dyxxfx x X 時(shí)則 其它 因此 0 101 2 15 22 xxxxf X )()( dxyxfyf Y ),()(由 .)
16、(, 4 0 2 51510 yy dxxyfy y Y 時(shí)則 第三章 習(xí)題課 其它因此 0 105 4 yyyf Y )( ,)()( 0102 xfx X，時(shí)由于 .0 1 1 2 )( ),( )( 2 其它 因此 yx x y xf yxf xyf X XY .),()( 64 5 1513 1 2 2 1 01 x xyx y d yxdxd x d yyxfYXP 第三章 習(xí)題課 例 2 設(shè) (X, Y)在區(qū)域 D= (x,y)| 0< x <1,0< y <2 上 服從均勻分布，（ 1）求 X和 Y的聯(lián)合概率密度。 （ 2）設(shè)含有 a的二
17、次方程為 .022 YXaa 試求 a有實(shí)根的概率。 解 : 由題意知 其它。,0 ,),(, 2 1 ),( Dyx yxf 方程有實(shí)根的條件為 .,044 22 XYXYX 即 .61221 1 0 21 0 0 2 2 dxxd y d xXYP x因此 第三章 習(xí)題課 例 3 21 RR ， 21 RR， 在一簡(jiǎn)單電路中，兩個(gè)電阻 串聯(lián)連接。 相互獨(dú)立，概率密度函數(shù)均為 設(shè) 其它,0 ,100, 50 10 xx xf 求總電阻 21 RRR 的概率密度函數(shù) 解： 21 RRR 的概率密度函數(shù)為 dxxrfxf
18、rf R )()()( 時(shí)，易知僅當(dāng) 100100 xrx ,上述積分的 第三章 習(xí)題課 被積函數(shù)不等于零。參考圖可得 x r 10 10 20 當(dāng) 0
19、0 3)20( 1 5 0 0 0 1 r 其它。 因此 , ,,)( ,),( )( 0 201020 15000 1 10060600 15000 1 3 32 rr rrrr rf R 第三章 習(xí)題課 例 4 某箱裝有 100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品數(shù)目 分別是 80， 10， 10件，現(xiàn)在從中不放回地依次取 兩件，令 其它， 件是一等品第 0 ,1 iX i i =1,2.試求 ： 1X 2X（ 1） 和 的聯(lián)合分布率；（ 2）說(shuō)明 是否獨(dú)立 . 1X 2X 和 解： ,.//, 638099063211 2 10028021
20、CCXXP ,162.0990/160/0,1 210012018021 CCCXXP 第三章 習(xí)題課 ,162.0990/160/1,0 210012018021 CCCXXP ..//, 03809903800 210022021 CCXXP ,./// 8099079299016099063211 XP ,./// 209901989901609903801 XP ,./// 8099079299016099063212 XP ../// 209901989901609903802 XP ,/,/, 9909907927921199063211 2121 XXPXXP由于 1
21、X因此 2X 是不獨(dú)立 。 與 第三章 習(xí)題課 X Y X 1,0 Y 1 例 5 設(shè)隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立， 服從區(qū)間 上的均勻分布， 服從 的指數(shù)分布求 （ 1） X和 Y的聯(lián)合密度； （ 2）設(shè)含有 a的二次方程為 ,022 YXaa 試求 a有實(shí)根的概率； （ 3）又設(shè)隨機(jī)變量 ,YXZ 試求隨機(jī)變量 Z 的概率密度函數(shù) . 第三章 習(xí)題課 解： 由已知易得 （ 1） 由于 X,Y獨(dú)立， 因此 X和 Y的聯(lián)合密度為 其它。, ;,,)()(),( 0 010 yxeyfxfyxf y YX （ 2）方程有實(shí)根，則 40Y 2=(
22、2X) 即 ， 2YX . P(方程有實(shí)根 )=P( ) 2YX 2 221 1 1 0 0 0 0( 1 ) 1 x y x xd x e d y e d x e d x 第三章 習(xí)題課 其它,0 10,1)( xxf X 其它,0 0,)( yeyf y Y (3)利用公式 ( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x d x 當(dāng)且僅當(dāng) 01 0 x zx 時(shí) 上 述 值 不 為 0 . 當(dāng) 0
23、 f z x d x e d x e . 11 () 00( ) ( ) ( ) ( 1 ) z x z Z X Yf z f x f z x d x e d x e e . 第三章 習(xí)題課 1 0 1 ( ) ( 1 ) 1 0 z z Z ez f z e e z 其 它 故 或利用公式 ( ) ( ) ( )Z X Yf z f z y f y d y 當(dāng)且僅當(dāng) 01 0 zy y 時(shí) 上 述 值 不 為 0 當(dāng) 0
24、 y e d y e 當(dāng) 時(shí)， 1z 11( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) zz yz Z X Yf z f z y f y d y e d y e e . . 第三章 習(xí)題課 設(shè)二維隨機(jī)變量有密度函數(shù) ： 練 習(xí) 第三章 習(xí)題課 43 , 0 , 0 ; ( , ) 0, xyAe x y f x y 其 他 A ,XYf x f y ,XY （ 1） 求常數(shù) （ 2） 求邊緣概率密度 （ 3） 是否相互獨(dú)立 。 解 : (1) 第三章 習(xí)題課 則 （ 2） （ 3） ( 4 3 ) 0 0 0 01 ( , ) d d e d d 12 xy Af x y x y A x y .12A ( , )Xf x f x y d y 44 , 0 0, xex 其 他 ( , )Yf y f x y d x 33 , 0 0, xey 其 他 ( , ) XYf x y f x f y ,XY , 所以 相互獨(dú)立 .
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