東南大學(xué)孫志忠《數(shù)值分析》答案.pdf

習(xí)題 1 1 以下各表示的近似數(shù)，問(wèn)具有幾位有 效數(shù)字？并將它舍入成有效數(shù)。 （1 ） 451.023 ， 451.01 ； * 1 x 1 x （2 ） 0.045 113， 0.045 18 ； * 2 x 2 x （3 ） 23.421 3 ， 23.460 4 ； * 3 x 3 x （4 ） * 4 x 3 1 ， 0.333 3； 4 x （5 ） 23.496， 23.494 ； * 5 x 5 x （6 ） 96 ， 96.1 ； * 6 x 5 10 6 x 5 10 （7 ） 0.000 96 ， 0.96 * 7 x 7 x 3 10 ； （8 ） 8 700， 8 700.3。 * 8 x 8 x 解：(1) 451.023 = * 1 x = 1 x 451.01 = 1 * 1 xx 0.013 1 10 2 1 ， 具有 4 位有效數(shù)字。 451.0 1 x 1 x (2) 0.045 113 = * 2 x = 2 x 0.045 18 =< 2 * 2 4 10 2 1 xx 0.045 18 045113.0 =0.000 067 3 10 2 1 < 2 x 具有 2 位有效數(shù)字， 045.0 2 x (3) 23.4213 = * 3 x = 3 x 23.4604 = 3 * 3 xx = 4604.234213.23 = 4213.234604.23 1 10 2 1 0391.0 3 x 具有 3 位有效數(shù)字， (不能寫(xiě)為 23.5) 4.23 3 x (4) = * 4 x 3 1 ， 0.3333 = 4 x = 4 * 4 xx 4 10 2 1 000033.0 < , 具有 4 位有效數(shù)字， 0.3333 4 x = 4 x (5) 23.496， 23.494 = * 5 x = 5 x = 5 * 5 xx = 494.23496.23 2 10 2 1 002.0 < 5 x 具有 4 位有效數(shù)字， 23.50 (不能寫(xiě)為 23.49) 5 x (6) = * 6 x 5 1096 7 1096.0 = = 6 x 5 101.96 7 10961.0 = = 6 * 6 xx 7 10001.0 72 1010 2 1 6 x 具有 2 位有效數(shù)字， 57 6 10961096.0 ==x (7) 0.00096 = * 7 x 3 7 1096.0 =x 3* 7 1096.0 =x 0 精確 = 7 * 7 xx 7 x (8) 8700 * 8 =x 8 x 3.8700= 8 * 8 xx 0 10 2 1 3.0 = 具有 4 位有效數(shù)字， 精確 8 x 8 x 8700= 2.以下各數(shù)均為有效數(shù)字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.7476.83; (2)23.46 12.753; (4)1.473 / 0.064 。 問(wèn)經(jīng)過(guò)上述運(yùn)算后，準(zhǔn)確結(jié)果所在的最小區(qū)間分別是什么？ 解： (1) =0.1062， =0.947， + =1.0532 1 x 2 x 1 x 2 x )( 1 xe 4 10 2 1 ， )( 2 xe 3 10 2 1 )()()( 2121 xexexxe ++ + )()( 21 xexe 34 10 2 1 10 2 1 + =0.00055 * 2 * 1 xx + 1.0532 ， 1.0532+0.00055=1.05265， 1.05375 00055.0 (2) =23.46， 12.753 1 x = 2 x = 21 xx 10.707 )( 1 xe 2 10 2 1 ， )( 2 xe 3 10 2 1 )()()( 2121 xexexxe )()( 21 xexe + 32 10 2 1 10 2 1 + =0.0055 * 2 * 1 xx 10.707 , 10.707+0.0055=10.7015,10.7125 0055.0 (3) 2.747 6.83 = 1 x = 2 x = 21 xx 18.76201, )( 1 xe 3 10 2 1 , )( 2 xe 2 10 2 1 )()()()()( 2112211221 xexxexxexxexxxe ++ =+ 223 10 2 1 10 2 1 747.210 2 1 83.6 (0.683+2.747)=0.01715 77916.18,74486.1801715.076201.18,01715.076201.18 * 2 * 1 =+xx (4) 1.473 , = 1 x = 2 x 0.064 , = 21 xx 23.015625 )( 1 xe 3 10 2 1 , )( 2 xe 3 10 2 1 )()( 1 )( 2 2 2 1 1 2 2 1 xe x x xe x x x e =+ )()( 1 )( 2 2 2 1 1 2 2 1 xe x x xe x x x e 3 2 3 10 2 1 064.0 473.1 10 2 1 064.0 1 + =0.187622 * 2 * 1 x x 23.015625 , 23.015625+0.187622 187622.0 =22.828003 , 23.203247 3.對(duì)一元 2 次方程 ，如果0140 2 =+ xx 399 19.975 具有 5 位有效數(shù)字， 求其具有 5 位有效數(shù)字的根。 解： 0140 2 =+ xx 39940040 2 =+ xx = * 1 x 39920+ , = * 2 x 39920 1 39920 + = 記 = * x 399 , =x 19.975 )(xe 3 10 2 1 = 1 x 20 x+ =20+19.975=39.975 )()( 21 xexe = 3 10 2 1 具有 5 位有效數(shù)字。 1 x = 2 x 0250156347.0 975.39 1 975.1920 1 20 1 == + = + x )( 2 xe 2 )20( )( x xe + ， + 2 2 )20( )( )( x xe xe 66 2 3 10 2 1 10313.0 975.39 10 2 1 <= 因而 具有 5 位有效數(shù)字。 2 x 2 x 0.025016 也可根據(jù) 1 得到 = 21 xx == 1 2 1 x x 0250156347.0 975.39 1 = 2 1 1 2 )( )( x xe xe 2 6 2 1 1 2 975.39 10 2 1 )( )( x xe xe 4.若 具有 3 位有效數(shù)字，問(wèn) 的相對(duì)誤差限是多？設(shè)937.0 1 x 1 x xxf = 1)( ，求 的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。 )( 1 xf 解： 0.937 = 1 x )( 1 xe 3 10 2 1 = 1 1 1 )( )( x xe xe r 3 3 10534.0 937.0 10 2 1 = xxf = 1)( , x xf = 12 1 )( = )()()( xexffe 2 1 )( 1 1 xe x , ))(( 1 xfe 2 1 )( 1 1 1 1 xe x 33 10996.010 2 1 937.01 1 2 1 = = f fe fe r )( )( )( 1 1 2 1 xe x ， ))(( 1 xfe r 2 1 )( 1 1 1 1 xe x 3 10 2 1 937.01 1 2 1 = 3 1097.300397.0 = 5. 取 42.101.2 ， 41.100.2 試按 00.201.2 =A 和 )00.201.2(01.0 +=A 兩種算法求 A的值，并分別求出兩種算法所 得 A的近似值的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，問(wèn)兩種結(jié)果各至少具有幾位 有效數(shù)字？ 解： 1) 記 = * 1 x 01.2 ， = 1 x 1.42 ， = * 2 x 00.2 ， 1.41 = 2 x 則 )( 1 xe 2 10 2 1 ， )( 2 xe 2 10 2 1 * A 01.041.142.100.201.2 == 1 A 01.041.142.1 == )()()()( 21211 xexexxeAe = )()()()()( 21211 xexexexeAe + 222 1010 2 1 10 2 1 =+= = 1 1 1 )( )( A Ae Ae r 1 01.0 10 2 = 不能肯定所得結(jié)果具有一位有效數(shù)字。 2 ) * A = )00.201.2(01.0 + ， = 2 A 00353356.083.201.0)41.142.1(01.0 ==+ )( )( 1 01.0) )( 01.0 ()( 21 2 21 21 2 xxe xx xx eAe + + = + = )10 2 1 10 2 1 ( )41.142.1( 1 01.0)( 22 2 2 + + Ae 44 10 2 1 1012486.0 == 無(wú)有效位數(shù)。 1 A 6.計(jì)算球的體積所產(chǎn)生的相對(duì)誤差為 1%。若根據(jù)所得體積的值推算球的 半徑，問(wèn)相對(duì)誤差為多少？ 解： 3 4 =V 3 R , 4=dV dRR 2 3 2 3 4 4 R dRR V dV = =3 R dR )( 3 1 )( VeRe rr 由 )(Ve r = 知 2 10 2 10 3 1 )( Re r 7.有一圓柱，高為 25.00 cm，半徑為 20.000.05 cm。試求按所給數(shù)據(jù)計(jì) 算這個(gè)圓柱的體積和圓柱的側(cè)面積所產(chǎn)生的相對(duì)誤差限。 解： 1) hRRV 2 )( = )(2)(2)()()( 2 ReRe hR R hRRe V R RVVe rrrr == )(2)( ReVe rr 005.0 200 1 20 05.0 2 == 2) 2)( =RS Rh )()( 2 2)()()( ReRe Rh R hRe S R RSSe rrrr == )()( ReSe rr 0025.0 20 05.0 = 答 計(jì)算體積的相對(duì)誤差限為 0.005，計(jì)算側(cè)面積的相對(duì)誤差限為 0.0025 9.試改變下列表達(dá)式，使計(jì)算結(jié)果比較精確： (1) 2 1 cos1 cos1 + x x , 當(dāng) 1<x 時(shí)； (3) x x x + + 1 1 21 1 , 當(dāng) 1<<x 時(shí)； (4) x x sin cos1 , 當(dāng) 1<<x 時(shí)。 解 : (1) 2 2 cos2 2 sin2 cos1 cos1 2 1 2 2 2 1 x tg x x x x = = + (2) xx xx ++ =+ 1 1 1 (3) )1)(21( )21()1( )1)(21( )21)(1()1( 1 1 21 1 2 xx xxx xx xxx x x x ++ ++ = ++ ++ = + + = )1)(21( 2 2 xx x ++ (4) 2 2 cos 2 sin2 2 sin2 sin cos1 2 x tg xx x x x == 10.若 1 個(gè)計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng) 3=n ，基數(shù) 10= ，階碼 22 p ，問(wèn) 這臺(tái)計(jì)算機(jī)能精確表示幾個(gè)實(shí)數(shù)。 解： , 3=n 0= , , 2=L 2=U 所能精確表示的實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)為 9001)122(10921)1()1(21 21 =+++=++ LU n 11.給定規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)系 F: 2= ， 3=n , 1=L , ,求 F 中規(guī) 格化的浮點(diǎn)數(shù)的個(gè)數(shù)，并把所有的浮點(diǎn)數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)。 1=U 解： 2= , , , 4=n 1=L 1=U 所有規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)個(gè)數(shù)為 49)111(2121)1()1(21 31 =+++=++ LU n 機(jī)器零 0 p=1 , 1 21000.0 1 21001.0 , 1 21010.0 , 1 21011.0 1 21100.0 , 1 21101.0 , 1 21110.0 , 1 21111.0 p=0 , 0 21000.0 0 21001.0 , 0 21010.0 , 0 21011.0 0 21100.0 , 0 21101.0 , 0 21110.0 , 0 21111.0 p= , 1 1 21000.0 1 21001.0 , 1 21010.0 , 1 21011.0 , 1 21100.0 1 21101.0 , 1 21110.0 , 1 21111.0 12.設(shè)有 1 計(jì)算機(jī)： ， 3=n 2== UL , 10= ,試求下列各數(shù)的機(jī)器 近似值（計(jì)算機(jī)舍入裝置） ： (1) 41.92; (2) 328.7 (3) 0.0483 (4) 0.918; (5)0.007 845; (6)98 740; (7) 1.82 ; 3 10 (8) 4.71 6 10 ; (9)6.644 5 ; 21 10 (10) 3.879 10 10 ; (11) 3.196 100 10 ; (12) 13.654 。 99 10 解： , , 3=n 2=L 2=U , 10= (1) 41.92 (2) 328.7 (3) 0.0483 (4) 0.918 (5) 0.007845 (6) 98740 (7) 1.82 3 10 (8) 4.71 6 10 (9) 6.6445 21 10 (10) 3.879 10 10 (11) 3.196 100 10 (12) 13.654 99 10 2 10419.0)92.41( =fl )7.328(fl 溢出 1 10483.0)0483.0( =fl 0 10918.0)918.0( =fl 2 10785.0)007845.0( =fl )98740(fl 溢出 )1082.1( 3 fl 溢出 )1071.4( 6 fl 溢出 )106445.6( 21 fl 溢出 )10879.3( 10 fl 溢出 )10196.3( 100 fl 溢出 )10654.13( 99 fl 溢出 16.考慮數(shù)列 1， 3 1 ， 9 1 ， 27 1 ， 81 1 ， 。設(shè) 1 0 =p ，則用遞推公式 1 3 1 = nn pp (n =2， 3， ) 可以生成上述序列。試考察計(jì)算 的算法的穩(wěn)定性。 n p 解： 1 3 1 = nn pp , ,3,2,1=n 。若 有誤差，則實(shí)際按如下遞推 0 p 1 3 1 = n pp n 1 1 3 1 3 1 = nnn ppp n p = )( 3 1 1 1 nn pp 記 , 則有 nnn ppe = 0 1 3 1 3 1 eee n n n === 0 3 1 ee n n = 1 3 1 = nn ee ,誤差逐步縮小，數(shù)值穩(wěn)定 17.考慮數(shù)列 1， 3 1 ， 9 1 ， 27 1 ， 81 1 ， 。設(shè) 1 0 =p ， 3 1 1 =p ，則用遞推公 式 21 3 10 = nnn ppp (n =2， 3， ) 可以生成上述序列。試問(wèn)計(jì)算的上述公式是穩(wěn)定的嗎？ 解： 21 3 10 = nnn ppp , ,3,2=n 。若 和 有誤差，則實(shí)際按如下 0 p 1 p 遞推： , 3 10 2 1 = nnn ppp ,3,2=n 。 記 ,則有 nnn ppe = 21 3 10 = nnn eee ， ,3,2=n ) 3 1 (3) 3 1 (33 3 1 01 1 21211 eeeeeeee n nnnnnn === (A) )3( 3 1 )3( 3 1 3 1 3 01 1 21211 eeeeeeee n nnnnnn === (B) 9(A)-(B) 得 = + )3( 3 1 ) 3 1 (3 8 1 01 1 01 1 eeeee n n n 只需 0 3 1 01 ee , 則 = n n e lim 因而遞推過(guò)程不穩(wěn)定 18.已知 ，用秦九韶法求 。 47311230125)( 235 ++= xxxxxp )5(p 解： 125 0 230 11 3 47 5 625 3125 16775 83820 419115 125 625 3355 16764 83823 419068 419068)5( =p 習(xí)題 2 (1-5 題) 1. 分析下列方程各存在幾個(gè)根，并找出每個(gè)根的含根區(qū)間： (1) 0cos =+ xx ； (2) 0cos3 = xx ； (3) 0sin = x ex ； (4) 0 2 = x ex 。 解：(1) 0cos =+ xx (A) xxxf cos)( += ， 0sin1)( = xxf ,),( x 10cos0)0( =+=f ,01cos1)1cos(1)1( += xxf , ),( x 時(shí) 010cos03)0( ==f 方程 (B) 有唯一根 1,0 * x (3) 0sin = x ex (C) x ex =sin xxf sin)( 1 = , x exf =)( 2 方程 (C)有無(wú)窮個(gè)正根，無(wú)負(fù)根 在 2 2,2 +kk 內(nèi)有一根 ，且 )( 1 k x 02lim )( 1 = kx k k 在 ++ kk 2, 2 2 內(nèi)有一根 ，且 )( 2 k x 0)12(lim )( 2 =+ kx k k (示圖如下 ) L3,2,1,0=k )( 2 xf 1 2 3 4 x (4) 0 2 = x ex (D) y x ex = 2 2 )( 1 xf ,)( 2 1 xxf = x exf =)( 2 1 )( 2 xf 方程 (D) 有唯一根 1,0 * x 2 1 1 x 當(dāng) 0<x 時(shí) (D)與方程 2 x ex = (E) 2 x e y 同解 x 2 當(dāng) 0<x 時(shí) (E)無(wú)根 1 2. 給定方程 ； 01 2 =xx 2 1 x (1)試用二分法求其正根，使誤差不超過(guò) 0.05； (2)若在 0 , 2上用二分法求根，要使精確度達(dá)到 6 位有效數(shù)，需二分 幾次？ 解： 01 2 = xx 1) 01)( 2 == xxxf 1)1( =f , 025.0)5.1( = <f ,1)2( =f 2,5.1 * x , 618034.1 2 51 * = + =x )(5.1 1.75(+) 2(+) )(5.1 1.625(+) 1.75(+) )(5.1 1.5625(+) 1.625(+) )(5625.1 )(59375.1 1.625(+) 1 10 2 1 03125.0 2 )5625.1625.1( <= 6.159375.1 * x 2 位有效近似值為 1.6 2) 0 0 == aa ， 2 0 ==bb )( 2 1 kkk bac += kk k ab cx 2 1 2 1 * = + 5 10 2 1 2 1 k ， 51 102 k 60.162ln10ln51 =k 只要 2 等分 18 次 3. 為求 的正根，試構(gòu)造 3 種簡(jiǎn)單迭代格式，判斷它們是否 收斂，且選擇一種較快的迭代格式求出具有 3 位有效數(shù)的近似根。 035 3 = xx 解： 3)5(35)( 23 == xxxxxf ) 3 5 (353)( 22 == xxxf 當(dāng) 3 5 <x 時(shí)， 0)( x 時(shí) 0)( xf 03 3 5 3 10 3)5 3 5 ( 3 5 ) 3 5 ( =f ， 03)0( = x 迭代格式 (I)發(fā)散 2) 35 3 += xx , 3 35 += xx , 構(gòu)造迭代格式 3 1 35 += + kk xx ， (II) 3 2 35)( += xx ， 3 2 3 2 2 )35( 1 3 5 5)35( 3 1 )( + =+= x xx 當(dāng) 3,2x 時(shí) 1 3 1 125 1 3 5 169 1 3 5 )325( 1 3 5 )( 33 3 2 2 <=== + x 當(dāng) 3,2x 時(shí) 3,218,13335,325)3(),2()( 3333 222 =++= x 迭代格式 (II) 對(duì)任意 3,2 0 x 均收斂 3) xx x x 3 5 35 2 += + = ， x x 3 5+= 構(gòu)造迭代格式 5 3 1 += + k k x x (III) 5 3 )( 3 += x x ， 5 3 1 2 3 )3()5 3 ( 2 1 )( 2 2 2 1 3 + =+= x x x x x 當(dāng) 3,2x 時(shí) 1 58 3 52 1 2 3 5 1 2 3 5 3 1 2 3 )( 22 2 3 <= + = x x x x 當(dāng) 3,2x 時(shí) 3,25.6,6)2(),3()( 333 = x 迭代格式 (III) 對(duì)任意 3,2 0 x 均收斂 4) 301453.0 169 1 3 5 )2()(max 3 22 32 === x x 5 3 3 3,5 2 3 2min 1 2 3 5 3 min 1 2 3 )(max 222 32 3 32 ++ = + = x x x x x 0680.0 69,5.64min 1 2 3 == 取格式 (III) 5 3 1 += + k k x x ， ，5.2 0 =x 48998.2 1 =x 49095.2 2 =x ， 49086.2 3 =x 49.2*x 4. 用簡(jiǎn)單迭代格式求方程 02.0 3 =xx 的所有實(shí)根， 精確至有 3 位有效數(shù)。 解： 2.0)1(2.0)( 23 == xxxxxf ) 3 1 (313)( 22 == xxxf 當(dāng) 3 1 <x 時(shí)， 0)( x 時(shí) 0)( xf 02.0 3 2 3 3 2.0)1 3 1 ( 3 1 ) 3 1 ( ==f 2.0)0( =f 02.0 3 2 3 3 ) 3 1 ( ==f 3 1 ,1 * 1 x ， 0, 2 1 * 2 x ， 2,1 * 3 x 1) 2.0 3 = xx 迭代格式 ， 2.0 3 1 = + kk xx , 2.0)( 3 = xx 03)( 2 = xx 當(dāng) 0, 2 1 x 時(shí)， 4 3 )( x ， 0, 2 1 2.0,2.0 8 1 )0(), 2 1 ()( <= x 任取 0, 2 1 0 x 迭代格式收斂于 * 2 x 取 25.0 0 =x 得 215625.0 1 =x , 210025.0 2 =x , 209264.0 3 =x 209164.0 4 =x 209.0 * 2 x 2) 2.0 3 += xx , 3 2.0+= xx 迭代格式 3 1 2.0+= + kk xx 3 2.0)( += xx , 3 2 3 2 )2.0(3 1 )2.0( 3 1 )( + =+= x xx 當(dāng) 2,1x 時(shí) 2,12.2,2.1)2(),1()( 33 <= x 1 3 1 )2.01(3 1 )( 3 2 << + x 任意 2,1 0 x 迭代格式收斂于 * 3 x 取 計(jì)算得5.1 0 =x 19348.1 1 =x ， 11695.1 2 =x ， 09612.1 3 =x ， 09031.1 4 =x 08867.1 5 =x , 08821.1 6 =x 09.1 * 3 =x 3) x x 2.0 1 2 = x x 2.0 1+= 迭代格式 k k x x 2.0 1 1 += + (III) x x 2.0 1)( += x x x x x 2.0 1 1.0 )2.0() 2.0 1( 2 1 )( 2 2 2 1 + =+= 當(dāng) 3 1 ,1 x 時(shí) 32.01,2.01) 3 1 (),1()( = x 3 1 ,18084.0,8944.0 = x xxg 2.0 1)( 2 += , 2 2 1 2 )2.0() 2.0 1( 2 12.0 12)( +++= x x x x xxg 1.0) 2.0 1(2) 2.0 1( 1 ++= x x x 2 1 2 1 ) 2.0 1)(3.02()1.04.02() 2.0 1( ++=++= x xx x 當(dāng) 3 1 ,1 x 時(shí)， 0)( < xg == 32.01 3 1 ) 3 1 (g 當(dāng) 3 1 ,1 x 時(shí) 3711.0 32.01 3.0 ) 3 1 ( 1.0 )( = = g x 迭代格式 (III)對(duì)任意 3 1 ,1 0 x 均收斂于 *x ，取 ， 8.0 0 =x 計(jì)算得 , 866025.0 1 =x 876961.0 2 =x , 878601.0 3 =x , 878843.0 4 =x 879.0 * 1 =x 5. 已知 )(xx = 在區(qū)間 內(nèi)有且只有一個(gè)根，而當(dāng) a <ba, x kx (1)試問(wèn)如何將 )(xx = 化為適用于迭代的形式？ (2)將 xx tan= 化為適用于迭代的形式，并求 5.4=x (弧度 )附近的根。 解： (1) 由 dy dx dx dy 1 = 將 )(xx = 改寫(xiě)為 )( 1 xx = , 則 dx xd dx xd )( 1)( 1 = 當(dāng) , bax 時(shí)， 1 1)( 1 < kdx xd ，這時(shí)迭代格式為 ，)( 1 1 kk xx + =L,2,1,0=k 是局部收斂的。 (2) 由圖可知 xx tan= 在 5.4=x 附近有一根，但 tgx tgx 505.22 )5.4(cos 1 |)(tan 2 5.4 == =x x 將 xx tan= 改寫(xiě)為 2 2 L7123.4 2 3 = xx arctan+= xx arctan)( += 2 1 1 )( x x + = 當(dāng) 2 3 , 2 x 時(shí) xy arctan+= 2 3 , 2 )( x 且 2 xy arctan= 1 ) 2 (1 1 )( 2 < + x 2 2 3 迭代格式 kk xx arctan 1 += + ，L,2,1,0=k 對(duì)任意 2 3 , 2 0 x 均收斂 取 5.4 0 =x 得 ，49372.4 1 =x 49342.4 2 =x ， 493410.4 3 =x 具有 5 位有效數(shù)的根為 4934.4 * x 習(xí)題二 （第 6、7 、11 、12、18、19 題） 6. 設(shè) (1) 方程 0)( =xf 有根 ； (2) 對(duì)一切 * x Rx , )( xf 存在且 0 m Mxf )( 。證明對(duì)于任意的 )2,0( M ，迭代格式 )( 1 kkk xfxx = + ),2,1,0( L=k 是局部收斂的。 解： Mxfm < )(0 )( 1 kkk xfxx = + )()( xfxx = )(1)( xfx = )(1)( ** xfx = 當(dāng) ) 2 ,0( M 時(shí) ，mxM 1)(1 * 1)( * < x 迭代格式局部收斂。 7.給定方程 0)( =xf ，并設(shè) 是其單根，且 * x )(xf 足夠光滑，證明迭代格式 2 1 )( )( )(2 )( )( )( = + k k k k k k kk xf xf xf xf xf xf xx 是 3 階局部收斂的。 證明 2 )( )( )(2 )( )( )( )( = xf xf xf xf xf xf xx )()()( * xgxxxf = ， 0)( * xg () )()()( * xgxxxgxf += )()()(2)( * xgxxxgxf += )()()( )()( )( * * xgxxxg xgxx xx + = 2 * * * * )()()( )()( )()()(2 )()()(2 + + + xgxxxg xgxx xgxxxg xgxxxg * )(lim * xx xx = * * * )()( lim)( * xx xx x xx = + + + + = 2 * 2* * * * )()()( )()( )(0()(2 )()()(2 )()()( )( 1lim * xgxxxg xgxx xgxxxg xgxxxg xgxxxg xg xx 0 )( )(0 )(2 )(2 )( )( 1 2* 2* * * * * = = xg xg xg xg xg xg )( )(2 1 )( )( )(1 1 )()( * * xg xg xg xg xx xxxx + = 2* 2 * * * )( )( )( )(1 1 )( )( )(1 1 )()( xx xg xg xx xg xg xx xgxx + + + )( )( )( )( * xx xg xg xh = 2* 3 ** )( ))(1( 1 )()()( )(2 1 )(1 1 )( xx xh xgxxxg xgxh xxx + = )()(1)( 2* L+++= xhxhxxx 2** )()(31)()()( )(2 1 xxxhxgxxxg xg +++ L ( ) 4*2*** )()()()()( xxOxhxxxhxxx += 2*** ))(()(31)()()(2 )(2 1 xxxxOxhxgxxxg xg +++ 3* 2 2** )( )( )( )( )( )( xx xg xg xx xg xg x += () 4*2*** 2 )()())(()( )( )( 6)(2 )(2 1 xxOxxxxxgxx xg xg xg xg + + () 4*3*3* 2 * )()( )(2 )( )( )( )( 2 xxOxx xg xg xx xg xg x + += ； )( )( 2 1 )( )( 2 )( )( 2 3* * xg xg xg xg xx xx 方法二 2 1 )( )( )(2 )( )( )( = + k k k k k k kk xf xf xf xf xf xf xx 0)()*( 6 1 )()*( 2 1 )()*()()( 32* =+++= kkkkkkk fxxxfxxxfxxxfxf 0 )( )( )*( 6 1 )( )( )( 2 1 * )( )( 32* = + ++ k k kk k k k k k xf f xxxx xf xf xx xf xf 2 )*( )(2 )( )( )( * k k k k k k xx xf xf xf xf xx = )( )( )*( 6 1 3 k k k xf f xx = + 2 2 1 )*( )( )( )(2 )( * k k k k k k xx xf xf xf xf xx )( )( )*( 6 1 3 k k k xf f xx + = )*()*( )( )( 2 1 * )(2 )( 2 2 kk k k k k k xxxx xf xf xx xf xf )( )( )*( 6 1 3 k k k xf f xx *)( *)( 6 1 *)( *)( *)(2 *)( )*( * 3 1 xf xf xf xf xf xf xx xx k k + 11.應(yīng)用 Newton 法分別導(dǎo)出求方程 和0)( == axxf n 01)( == n x a xf 的 根 n a 的迭代格式，并求 2 1 )()(lim k n k n k xaxa + 。 解： 1) 解方程 0)( =xf 的 Newton 迭代格式 )( )( 1 k k kk xf xf xx = + )( )( )( xf xf xx = 22 2 )( )( )( )( )()()( 1)( xf xf xf xf xfxfxf x = = , 0)(lim * = x xx + = )( )( )( )( )( )( xf xf xf xf xf x , )( )( )(lim * * * xf xf x xx = )( )( 2 1 2 )( )( lim * ** 2* 1 * xf xfx xx xx k k k = = + , n ax = * 2) , axxf n =)( 1 )( = n nxxf , 2 )1()( = n xnnxf , 1 1 )( )( = ax nx xf xf n n ， x n nx xnn xf xf n n 1)1( )( )( 1 2 = = Newton 迭代格式 1 1 1 + = ax nx xx n k n k kk n kk n k n k k x n a x n nx ax x += = 1 1 ) 1 1( nn k n k n k a n a n xa xa = = + 2 11 2 1 lim 1 3) n x a xf =1)( , )1( )( + = n anxxf , )2( )1()( + += n xnanxf nx an x anx x a xf xf n n n = = + + 1 )1( 1 )( )( , x n anx xnan xf xf n n 1)1( )( )( )1( )2( + = + = + + Newton 迭代格式 an x xnnx an x x xf xf xx n k kk n k k k k kk 11 1 )1( )( )( ++ + += = = n k n k n k a n xf xf xa xa + = = + 2 1 )(2 )( )( lim * * 2 1 12.試寫(xiě)出求方程 0 1 =c x (其中 c 為已知正常數(shù) )的 Newton 迭代格式，并證 明當(dāng)初值 滿足 0 x c x 2 0 0 << 時(shí)迭代格式收斂。該迭代格式中是否含有除法運(yùn) 算？ 解：記 x cxf 1 )( = ,則求 c 1 等價(jià)于求方程 0)( =xf 的根 . 2 1 )( x xf = , 3 2 )( x xf = Newton 迭代格式為 )2( 1 1 )( )( 2 1 kk k k k k k kk cxx x x c x xf xf xx = = = + ， L,2,1,0=k 對(duì)任意 ) 2 ,0( 0 c x ，存在充分小的(< c 1 ),(<1)使得 0 x , c 2 現(xiàn)在考慮區(qū)間 =, ba, c 2 o 1 0)1( 11 )()( = = = == c cc c ccc c c c c c c fbf 0)()( xf o 3 當(dāng) , bax 時(shí) 0)( < xf o 4 = c c f f 2 )2( )( )( 0)2)(1( cc ccc 2)2( c c 2 )2( = ) 2 (2) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 c c c c f c f c = )2( 1 cc c 因而 當(dāng) ) 2 ,0( 0 c x 時(shí)， Newton 迭代格式收斂。 直接證明 )2( 1 kkk cxxx = + 2 )1()2(11 kkkk cxcxcxcx == k cxcxcx kk 2 0 2 1 )1()1(1 === L 0)1(lim0)1(lim 1 lim 2 0 === k cxcx c x k k k k k ) 2 ,0(11 00 c xcx = i n i i xx = = 1 是中的一種向量范數(shù)。 解： i n i i xx = = 1 當(dāng) o 1 0 x 時(shí) 存在 使得 0 i 0 0 i x 0 00 1 = = iii n i i xxx 00 == ii xx ， ni ,,2,1 L= 0,,2,1,0 === xnix i L o 2 R xxxx i n i ii n i i === == 11 o 3 , n Rx n Ry i n i ii n i iii n i iii n i i yxyxyxyx ==== +=++=+ 1111 )( yx += 所給 i n i i xx = = 1 為 n R 上的一個(gè)范數(shù) 18.設(shè) n Rx 。證明 (1) 212 xnxx ; (2) xnxx 1 ; (3) xnxx 1 。 解： (1) xxxxx n i i n i i n i i == === 1 2 11 2 2 )( 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ))(1( xnxnxxx n i i n i i n i n i i === ==== (2) xxxx n i ii ni == = 1 1 max 1 = == xnxnxx i ni n i i 1 1 1 max (3) 2 1 2 1 max xxxx n i ii ni == = = == xnxnxx i ni n i i 2 1 1 2 2 )max( 19. 設(shè) A= 121 012 101 求 A ， 1 A ， 2 A 及 ， 。 )(Acond 2 )(Acond 解： 4= A , 4 1 =A = = 222 250 206 121 012 101 101 210 121 AA T 0164413 222 250 206 23 =+= = AAE T 0164413)( 23 =+= f 44263)( 2 += f Newton 迭代格式 44)263( 16)44)13(( )( )( 1 + + = = + kk kkk k k k kk f f 45 0 = 5136.31 1 = 5495.22 2 = 9586.15 3 = 29633.12 4 = 94299.9 5 = 48979.8 6 = 66765.7 7 = 29312.7 8 = 19629.7 9 = 189534.7 10 = 189534.7 11 = 00002033.0)22546.2810466.5)(189534.7()( 2 ++= f 189534.7 1 = 398207.5 2 = 412259.0 3 = 68133.2 1 2 == A = 4 1 2 1 4 5 2 1 0 2 1 4 1 2 1 4 1 1 A , 2 1 = A 824)( 1 === AAACond 17605.4 412259.0 189534.7 )( 2 ==ACond 20. 設(shè) qP AA , 為 nn R 上任意兩種矩陣 (算子 )范數(shù)，證明存在常數(shù) 1 c ， 使得 0 2 c Pqp AcAAc 21 對(duì)一切 nn RA 均成立。 解：由向量范數(shù)的等價(jià)性知道存在正常數(shù) 使得 21 ,mm pqp xmxxm 21 pqp AxmAxAxm 21 對(duì) n Rx 成立，于是 當(dāng) 0 x 時(shí)， p q p p p q q A m m x Ax m m xm Axm x Ax 1 2 1 2 1 2 = 即 p q q A m m x Ax 1 2 由此可以得到 p q q x Rx q A m m x Ax A n 2 1 0 max = 同理，當(dāng) 0 x 時(shí) q q q q q p p A m m x Ax m m x m Ax m x Ax 1 2 1 2 2 1 1 1 = q p p x Rx p A m m x Ax A n 1 2 0 max = 即 qp AA m m 2 1 綜合 得 pqp A m m AA m m 1 2 2 1 即 pqp AcAAc 21 其中 2 1 1 m m c = ， 1 2 2 m m c = 22. 設(shè) ，證明 nn ij RaA = )( == n i n j ij aA 11 2 2 2 解： )( ij aA= = === = == == n j j n i n j j n j ij x Rx n j j n i n j jij x Rx x Rx x xa x xa x Ax A nnn 1 2 11 2 1 2 0 1 2 1 2 1 0 2 2 2 2 0 2 2 ))(( max )( maxmax == = n i n j ij a 11 2 == n i n j ij aA 11 2 習(xí)題三 (第 24、25、26、27 、29、31 、33 題) 24.設(shè) nn RA ，證明當(dāng) 1)( <A 時(shí)，矩陣序列 k k AAIS +++= L ),2,1,0( L=k 收斂，并求其極限。 解： k k AAIS +++= L 1)( <A ， AI 可逆 ， 0lim = k k A 112 )()( ++ =+++++++= kkkk k AIAAAAAAISAI LL ))(( 11 + = k k AIAIS 111 )()()(limlim + == AIAIAIS k k k k 25. 設(shè) A= ， 12 10001.2 = 7 0003.7 b 已知方程組 bAx= 的精確解為 = 1 3 x (1) 計(jì)算條件數(shù) ； )(Acond (2) 取近似解 = 01.1 91.2 y 計(jì)算殘向量 ； Aybr y = (3) 取近似解 ，計(jì)算殘向量 = 3 2 z Azbr z = ； (4) 就近似解 和 y z，分別計(jì)算定理 3.11 中不等式 (3.55)的右端，并 與不等式的左端進(jìn)行比較； (5) 本題計(jì)算結(jié)果說(shuō)明什么問(wèn)題？ 解： (1) ， = 12 10001.2 A = 7 0003.7 b = 2000120000 1000010000 1 A 400010001.3)( 1 == AAAcond 5 1020007.10001.120007 == (2) = == 17.0 170009.0 01.1 91.2 12 10001.2 7 0007.7 Aybr y (3) = == 0 0001.0 3 2 12 10001.2 7 0007.7 zz Abr (4) 估計(jì)式 (3.55)： b r Acond x xx )( * 對(duì)于 : y 左端 03.0 3 09.0 1 3 01.1 91.2 1 3 == = = x yx 右端 45 102914485.0 0003.7 170009.0 1020007.1)( === b r Acond y 左端 <<右端 z： 對(duì)于 左端 = 3 2 = x zx ，右端 =1.7143 ，左端和右端比較接近 (5) 由 (1)知本題所給方程組是病態(tài)的。 由 (2)(3)知對(duì)于病態(tài)方程組由殘量小不能斷定解的誤差小。 yz rr 比 小 但 xz 比 xy 大得多 由 (4)知 估計(jì)式 (3.55)是一個(gè)保守估計(jì)，有時(shí)左端比右端小得 多。 26.試分別用