概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章課后習(xí)題及參考答案.pdf

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1、1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章課后習(xí)題及參考答案1離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 4,1 ,42,7.0 ,21,2.0 ,1,0)()( x xxxxXPxF求X的分布律解：)0()()( 000 xFxFxXP， 2.002.0)01()1()1( FFXP，5.02.07.0)02()2()2( FFXP ，3.07.01)04()4()4( FFXP， X的分布律為2設(shè)kakXP )32()( ，,2,1k，問a取何值時(shí)才能成為隨機(jī)變量X的分布律 解：由規(guī)范性，aaa nnk k 2321 )32(132lim)32(1 1 ， 21a，此時(shí)，kkXP )32(21)( ，,

2、2,1k3設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X 1 2 4P 2.0 5.0 3.0X 1 1 2P 2.0 5.0 3.0 2 求：(1) X的分布函數(shù)；(2) )21( XP；(3) )31( XP解：(1) 1x時(shí)，0)()( xXPxF，11 x時(shí)，2.0)1()()( XPxXPxF，21 x時(shí)，7.0)1()1()()( XPXPxXPxF，2x時(shí)，1)2()1()1()()( XPXPXPxXPxF， X的分布函數(shù)為 2,1 ,21,7.0 ,11,2.0 ,1,0)( x x xxxF (2)方法1：8.0)2()1()21( XPXPXP方法2：8.02.01

3、)21(1)21(1)21( FXPXP(3)方法1：1)2()1()1()31( XPXPXPXP方法2：101)01()3()31( FFXP4一制藥廠分別獨(dú)立地組織兩組技術(shù)人員試制不同類型的新藥若每組成功的概率都是0.4，而當(dāng)?shù)谝唤M成功時(shí)，每年的銷售額可達(dá)40000元；當(dāng)?shù)诙M成功時(shí)，每年的銷售額可達(dá)60000元，若失敗則分文全無以X記這兩種新藥的年銷售額，求X的分布律 解：設(shè)iA 第i組取得成功，2,1i，由題可知，1A，2A相互獨(dú)立，且4.0)()( 21 APAP兩組技術(shù)人員試制不同類型的新藥，共有四種可能的情況：21AA，21AA，21AA，21AA，相對應(yīng)的X的值為10

4、0000、40000、60000、0，則16.0)()()()100000( 2121 APAPAAPXP，24.0)()()()40000( 2121 APAPAAPXP，24.0)()()()60000( 2121 APAPAAPXP， 3 36.0)()()()0( 2121 APAPAAPXP， X的分布律為5對某目標(biāo)進(jìn)行獨(dú)立射擊，每次射中的概率為p，直到射中為止，求：(1)射擊次數(shù)X的分布律；(2)脫靶次數(shù)Y的分布律解：(1)由題設(shè)，X所有可能的取值為1，2，，k，，設(shè) kA 射擊時(shí)在第k次命中目標(biāo)，則kk AAAAkX 121 ，于是1)1()( kppkXP，所以X的

5、分布律為1)1()( kppkXP，,2,1k(2) Y的所有可能取值為0，1，2，，k，，于是Y的分布律為1)1()( kppkYP，,2,1,0k6拋擲一枚不均勻的硬幣，正面出現(xiàn)的概率為p，10 p，以X表示直至兩個面都出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律 解：X所有可能的取值為2，3，，設(shè)A k次試驗(yàn)中出現(xiàn)1k次正面，1次反面，B k次試驗(yàn)中出現(xiàn)1k次反面，1次正面，由題知，BAkX ，AB ，則)1()( 1 ppAP k ，ppBP k 1)1()( ，ppppBPAPBAPkXP kk 11 )1()1()()()()( ，于是，X的分布律為ppppkXP kk 11 )1

6、()1()( ，,3,2k 7隨機(jī)變量X服從泊松分布，且)2()1( XPXP，求)4( XP及)1( XP X 1000000 60000 40000 0P 0.16 0.24 0.24 0.36 4 解： )2()1( XPXP， 2ee 2 ， 2或0 (舍去)， 224 e32e!42)4( XP)1()0(1)1(1)1( XPXPXPXP 222 e31e2e1 8設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 0,0 ,0,e)1(1)( xxxxF x求：(1) X的概率密度；(2) )2( XP解：(1) 0,0 ,0,e)()( xxxxFxf x；(2) 2e31)2(

7、)2( FXP9設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為xxAxf ee)( ， 求：(1)常數(shù)A；(2) )3ln210( XP；(3)分布函數(shù))(xF解：(1) xAxxf xx deed)(1 AAxA xxx 2|earctande21 e 2 ， 2A(2) 61|earctan2dee 12)3ln210( 3ln2103ln210 xxx xXP (3) xx xxx xttfxF earctan2dee 12d)()( 10設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 5 ax axaaxBA axxF ,1 ,,arctan ,,0)(其中0a，試求：(1)常數(shù)A，B；

8、(2)概率密度)(xf解：(1) 2)arcsin(lim)0()(0 )( BAaxBAaFaF ax，1)(lim)0()(2 xFaFaFBA ax， 21A，1B(2) ax axxaxFxf ,0 ,,1)()( 2211設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度曲線如圖所示，其中0a (1)寫出密度函數(shù)的表達(dá)式，求出h；(2)求分布函數(shù))(xF；(3)求)2( aXaP 解：(1)由題設(shè)知 其他,0 ,0,)( axxahhxf 2d)(d)(1 0 ahxxahhxxf a ， ah 2， 從而 其他,0 ,0,22)( 2 axxaaxf yhO a x 6 (2) 0 x時(shí)，0d0

9、d)()( xx tttfxF，ax0時(shí)，220 20 2d)22(d0d)()( axaxttaatttfxF xx ，ax時(shí)，1)( xF， X的分布函數(shù)為 ax axaxax xxF ,1 ,0,2 ,0,0)( 22(3) 41)411(1)2()()2( aFaFaXaP 12設(shè)隨機(jī)變量X在6,2上服從均勻分布，現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀察，試求至少有兩次觀測值大于3的概率解：由題意知 其他,0 ,62,41)( xxf，記3 XA，則43d41)3()( 63 xXPAP，設(shè)Y為對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測事件3 X出現(xiàn)的次數(shù)，則Y)43,3(B，所求概率為)3()2()2

10、( YPYPYP )()()( 333223 APCAPAPC 3227)43(41)43( 333223 CC13設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 其他,0 ,10,3)( 2 xxxf以Y表示對X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件21 X出現(xiàn)的次數(shù)，求：(1) 21 X至少出現(xiàn)一次的概率；(2) 21 X恰好出現(xiàn)兩次的概率 7 解：由題意知Y),3( pB，其中81d3)21( 210 2 xxXPp，(1) 21 X至少出現(xiàn)一次的概率為512169)811(1)1(1)0(1)1( 33 pYPYP(2) 21 X恰好出現(xiàn)兩次的概率為51221)811()81()1()2( 223223 C

11、ppCYP14在區(qū)間,0 a上任意投擲一個質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)這個質(zhì)點(diǎn)落在,0 a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例試求X的 分布函數(shù)解：0 x時(shí)，事件 xX 表示X落在區(qū)間,0 a之外，是不可能事件，此時(shí)0)()( xXPxF；ax0時(shí)，事件 xX 發(fā)生的概率等于X落在區(qū)間,0 x內(nèi)的概率，它與,0 x的長度x成正比，即xkxXPxF )()(，ax時(shí)，1)( xXP，所以ak 1，則此時(shí)axxF )(；ax時(shí)，事件 xX 是必然事件，有1)( xF， 綜上， ，ax axax xxF ,1 ,0, ,0,0)(15設(shè)X),2( 2N，又3.0)42( XP，

12、求)0( XP解：)24222()42( XPXP 3.0)0()2( ， 8.03.0)0()2( ， 8.0)2()2(1)0(1)0( XPXP 8 16設(shè)X)4,10(N，求a，使得9.0)10( aXP解：)10()10( aXaPaXP )22102( aXaP )2()2( aa 9.01)2(2 a， 95.0)2( a，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知645.12 a， 290.3a17設(shè)X)9,60(N，求分點(diǎn)1x，2x，使得X分別落在),( 1x，),( 21 xx，),( 2 x的概率之比為3：4：5解：由題知5:4:3)(:)(:)( 2211 xXPxXxP

13、xXP，又 1)()()( 2211 xXPxXxPxXP， 25.041)( 1 xXP，33.031)( 21 xXxP，125)( 2 xXP，則5833.0127)(1)( 22 xXPxXP 25.0)360()360360()( 111 xxXPxXP，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知03601 x， 03601 x，則75.0)360(1)360( 11 xx查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，有7486.0)67.0( ，7517.0)68.0( ，75.02 )68.0()67.0( ， 675.02 68.067.03601 x，即975.571 x 5833.0)360()36036

14、0()( 222 xxXPxXP，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知5833.0)21.0( ， 21.03602 x，即63.602 x18某高校入學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布)100,65(N，如果85分以上為 9 “優(yōu)秀”，問數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的考生大致占總?cè)藬?shù)的百分之幾？解：設(shè)X為考生的數(shù)學(xué)成績，則X)100,65(N，于是)85(1)85( XPXP )1065851065(1 XP 0228.09772.01)2(1 ，即數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的考生大致占總?cè)藬?shù)的2.28%19設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 求2XY 的分布律解：Y所有可能的取值為0，1，4，9，則51)0()0( XPYP，30

15、7)1()1()1( XPXPYP，51)2()4( XPYP，3011)3()9( XPYP，Y的分布律為 20設(shè)隨機(jī)變量X在)1,0(上服從均勻分布，求：(1) XY e的概率密度；(2) XY ln2的概率密度解：由題設(shè)可知 其他,0 ,10,1)( xxf，(1)當(dāng)0y時(shí)， yY ， X 2 1 0 1 3P 51 61 51 151 3011X 0 1 4 9P 51 307 51 3011 10 0)()( yYPyFY，0)( yfY；e0 y時(shí)，)e()()( yPyYPyF XY )(ln)ln( yFyXP X，此時(shí)，yyfyyyFyFyf XXYX 1)(

16、ln1)(ln)(ln)()( ；ey時(shí)，1)()( yYPyFY，0)( yfY； 其他,0 ,e0,1)( yyyfY (2)當(dāng)0y時(shí)， yY ， 0)()( yYPyFY，0)( yfY；當(dāng)0y時(shí)，)e()ln2()()( 2yY XPyXPyYPyF )e(1)e(1 22 yXy FXP ，此時(shí)，222 e21)e()e()()( yyyXYX FyFyf ； 0,0 ,0,e21)( 2 yyyf yY 21設(shè)X)1,0(N，求：(1) XY e的概率密度；(2) 12 2 XY的概率密度；(3) XY 的概率密度解：由題知22e21)( xX xf ， x，

17、(1) 0y時(shí)， e yY X ， 0)()( yYPyF Y，0)( yfY； 11 0y時(shí)，)(ln)ln()e()()( yFyXPyPyYPyF XXY ，此時(shí)，2 )(ln 2e21)(ln1)(ln)(ln)()( yXXYX yfyyyFyFyf ；綜上， 0,0 ,0,e21)( 2 )(ln 2 yyyf yY (2) 1y時(shí)， 12 2 yXY ， 0)()( yYPyFY；1y時(shí)，)2 1()12()()( 22 yXPyXPyYPyF Y )2 12 1( yXyP當(dāng)1y時(shí)，0)( yFY，故1y時(shí)，0)( yFY，0)( yfY；當(dāng)1y時(shí) 210

18、22121 2 de22de21)( 22 y xyy xY xxyF ，此時(shí)，41e)1(2 1)()( yYY yyFyf ， 綜上， 1,0 ,1,e)1(2 1)( 41 yyyyf yY (3) 0y時(shí)， yXY ， 0)()()( yXPyYPyFY，0y時(shí)，)()()()( yXyPyXPyYPyFY )()( yFyF XX ，0y時(shí)，0)( yFY， 0y時(shí)，有0)( yF Y，0)( yfY； 12 0y時(shí)，22e22)()()()()( yXXYYY yfyfyFyFyf ，綜上， 0,0 ,0,e22)( 22 yyyf yY 22(1)設(shè)隨機(jī)變量X的概率

19、密度為)(xf， x，求3XY 的概率密度(2)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 其他,0 0,e)( xxf x求2XY 的概率密度 解：(1) 0y時(shí)，0)()( yYPyFY，0)( yfY；0y時(shí)，)()()()()( 333 yFyXPyXPyYPyF XY ，32333 31)())(()()( yyfyyFyFyf XYY； 0,0 ,0),(31)( 332 yyyfyyfY(2)由于02 XY，故當(dāng)0y時(shí)， yY 是不可能事件，有0)()( yYPyF Y；當(dāng)0y時(shí)，有)()()()()()( 2 yFyFyXyPyXPyYPyF XXY ；因?yàn)楫?dāng)0y時(shí)，0)0()0(

20、)( XXY FFyF，所以當(dāng)0y時(shí)，0)( yFY將)(yFY關(guān)于y求導(dǎo)數(shù)，即得Y的概率密度為 ，；，00 0)()(21)( yyyfyfyyf XXY， 13 0,0 ,0),ee(21 yyy yy23設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 其他,0 ,0,2)( 2 xxxf求XY sin的概率密度解：由于X在),0( 內(nèi)取值，所以XY sin的可能取值區(qū)間為)1,0(，在Y的可能取值區(qū)間之外，0)( yfY； 當(dāng)10 y時(shí)，使 yY 的x取值范圍是),arcsinarcsin,0( yy ，于是arcsinarcsin0 XyyXyY 故)arcsin()arcsin0()()( XyPyXPyYPyFY y Xy X xxfxxf arcsinarcsin0 d)(d)( yy xxxx arcsin 2arcsin0 2 d2d2，上式兩邊對y求導(dǎo)，得22222 121 )arcsin(21arcsin2)( yy yyyyfY ； 綜上， 其他,0 ,10,12)( 2 yyyfY