《隨機(jī)過(guò)程》第5章布朗運(yùn)動(dòng).pdf
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1、LOGO 隨機(jī)過(guò)程 第五章 布朗運(yùn)動(dòng) 1 布朗運(yùn)動(dòng)的 基本概念 2 布朗運(yùn)動(dòng) 的首中時(shí) 及最大值 3 布朗運(yùn)動(dòng) 的應(yīng)用 定 義 性 質(zhì) 推 廣 1 基本概念 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 2 最初由英國(guó)生物學(xué)家布朗 (Brown)于 1827年提出這種物理現(xiàn) 象; 1905年愛(ài)因斯坦首次對(duì)這一現(xiàn)象的物理規(guī)律給出數(shù)學(xué)描述; 1918年維納 (Wiener)運(yùn)用數(shù)學(xué)理論嚴(yán)格描述這種無(wú)規(guī)則運(yùn) 動(dòng) , 并用隨機(jī)過(guò)程理論和概率理論建立了數(shù)學(xué)模型 。 因此 布朗運(yùn)動(dòng)又稱(chēng)維納過(guò)程; 是具有 連續(xù)時(shí)間參數(shù) 和 連續(xù)狀態(tài)空間 的一類(lèi)隨機(jī)過(guò)程;
2、 在金融領(lǐng)域的證券市場(chǎng)中 ( 如債券 、 期權(quán)等 ) , 有著極其 重要的應(yīng)用 。 將布朗運(yùn)動(dòng)與股票價(jià)格行為聯(lián)系在一起 , 進(jìn) 而建立起維納過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是本世紀(jì)的一項(xiàng)具有重要意 義的金融創(chuàng)新 , 在現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)中占有重要地位 。 背 景 背 景 性 質(zhì) 推 廣 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 3 定義: 若隨機(jī)過(guò)程 * , 0+滿(mǎn)足: (1) 關(guān)于 是連續(xù)函數(shù) (2) * , 0+具有平穩(wěn)獨(dú)立增量 (3) , 0, .. + (0,2) 則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程 * , 0+為 布朗運(yùn)動(dòng) ( 或 維納過(guò)程 ) 。 當(dāng) = 1時(shí) ,
3、 稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程 * , 0+為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) , 記為 * , 0+ 1 基本概念 定 義 若 0 = 0,則 0, .. (0,2) 若 0 = 0,則 0, .. (0,) 增量服從 正態(tài)分布 背 景 性 質(zhì) 推 廣 例: 設(shè)布朗運(yùn)動(dòng) (0,2), 求其均值 、 方差 、 協(xié)方差及相關(guān)函數(shù) 。 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 4 解: 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 1 基本概念 由布朗運(yùn)動(dòng)定義可得: () = = 0, ()2 = = 2 當(dāng) 1 2時(shí) , 1,2 = 22 1,2 = 2 min 1,2 1,2
4、= 1,2 1 2 = 2 min 1,2 定 義 定 義 背 景 推 廣 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 5 設(shè) * , 0+為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) , 在時(shí)刻 的概率密度函數(shù)為 ; = 12 2 2 2 1 (1 < 2)的概率密度函數(shù)為 ;2 1 = 12( 2 1) 2 2(21) 概率密度函數(shù) 1 基本概念 性 質(zhì) 定 義 背 景 推 廣 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 6 設(shè) * , 0+為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) , 對(duì) 0 = 0 < 1 < < , ( 1 , )的聯(lián)合概率密度函數(shù)為
5、 1,,;1,, = 1; 1 =1 其中 , 0 = 0 = 0且 0 = 0 ; = 12 2 2 有限維聯(lián)合分布 1 基本概念 性 質(zhì) 定 義 推 廣 背 景 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 7 證明: 有限維聯(lián)合分布 1 基本概念 性 質(zhì) 由布朗運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立增量性,令 1 = 1 , = 1 , 2 ,則 1,,相互獨(dú)立,且 (0, 1)。所以 (1,,)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 1,, = 12( 1) 2 2(1) =1 = =1 , 1 ( 1 , )的聯(lián)合概率密度函數(shù)為: 1
6、,,;1,, = 1,, 其中 = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 , = 1 1,,;1,, = 12( 1) 2 2(1) =1 = 1; 1 =1 定 義 背 景 推 廣 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 8 設(shè) * , 0+ 為 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗 運(yùn) 動(dòng) , 對(duì) 1 0 , 當(dāng)給定 = 時(shí) + 的 條件 概率密度函數(shù)為 ;| = ; = 12 ()2 2 由正態(tài)分布的特性 , 有 + = = + = = 12 對(duì)稱(chēng)性 1
7、基本概念 性 質(zhì) 解釋?zhuān)?當(dāng)給定 初始條件 = 時(shí),對(duì)于任意 0 ,標(biāo)準(zhǔn)布 朗運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻 +的位置高于或低于初始位置的概率相等, 即標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性。 定 義 背 景 推 廣 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 10 平移不變性: 設(shè) * , 0+為布朗運(yùn)動(dòng) , 則 * + (), 0+(a為常數(shù) )也是布朗運(yùn)動(dòng) 。 尺度不變性 : 設(shè) * , 0+為布朗運(yùn)動(dòng) , 則 * , 0, 0+也是布朗運(yùn)動(dòng) 。 平移不變性 1 基本概念 性 質(zhì) 定 義 背 景 推 廣 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布
8、朗運(yùn)動(dòng) 11 正向馬爾可夫性: 設(shè) * , 0+為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) , 對(duì) 1 < , 在給定 1 ,, 1 下 的條件概率 密度函數(shù)與只給定 1 下 的條件概率密度函數(shù)相同 。 中間關(guān)于兩邊的馬爾可夫性 : 設(shè) * , 0+為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) , 對(duì) 1 < < , 在給定 1 ,, 1 , +1 ,, 下 ( 1 < < ) 的 條 件 概 率 密 度 函 數(shù) 與 只 給 定 1 , +1 下 的條件概率密度函數(shù)相同 。 馬爾可夫性 1 基本概念 性 質(zhì) 定 義 推 廣 背 景 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng)
9、 12 證明: 馬爾可夫性 1 基本概念 性 質(zhì) 設(shè) * , 0+為一布朗運(yùn)動(dòng),則由其獨(dú)立增量性可知,在時(shí)間區(qū)間 , + 上的增量 + ()與過(guò)程在時(shí)間 前的狀態(tài)獨(dú)立,因此對(duì) 于 , ,有: + = = , = ,0 < = + = = , = ,0 < = ( + = | = , = ,0 < ) = ( + = ) + = = = + = = = ( + = ) + = = , ,0 0, .. ,2 , 0,
10、 則稱(chēng) * , 0+為 帶有 ( 線性 ) 漂移的布朗運(yùn)動(dòng) 。 可定義為: = + , 0 也是一個(gè) 正態(tài)過(guò)程 。 且有 = , , = 2 min , , , 0 帶有漂移的布朗運(yùn)動(dòng) 1 基本概念 推 廣 性 質(zhì) 定 義 背 景 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 16 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 * , 0+為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) , 稱(chēng) = + , 0 為 幾何布朗運(yùn)動(dòng) 。 幾何布朗運(yùn)動(dòng)不是正態(tài)過(guò)程 。 = + 2 2 , , = + 2 2 + (2 1) 幾何布朗運(yùn)動(dòng) 1 基本概念 推 廣 LOGO
11、 隨機(jī)過(guò)程 第五章 布朗運(yùn)動(dòng) 1 布朗運(yùn)動(dòng)的 基本概念 2 布朗運(yùn)動(dòng) 的首中時(shí) 及最大值 3 布朗運(yùn)動(dòng) 的應(yīng)用 最 大 值 過(guò) 零 點(diǎn) 率 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 18 定義: 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 * , 0+為 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) , 且 0 = 0, 令 = inf *: = , 0+表示首次擊中 的時(shí)間 , 即 首中 時(shí) 。 分布: 首中時(shí) 的分布函數(shù)為 = 22 2 2 + d 且 = +, 首 中 時(shí) 顯然有 = 0 = 由布朗運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)
12、性知,在 ( 即 = )的條件下 , * +和 * < +是等可能的,即: = 0時(shí) = 22 2 2 + d = 22 2 2 + d = 2(1 ) 當(dāng) 0 2 首中時(shí)及最大值 過(guò) 零 點(diǎn) 率 最 大 值 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 20 證明: 常返性 d + 0 = 22 2 2 0 dd + 0 = 22 d 2 2 0 2 2 d + 0 = 2 2 2 1 2 2 2 d + 0 2 2 2 1 2 2 2 d 1 0 2 212 2 1 2d
13、1 0 = 首 中 時(shí) 2 首中時(shí)及最大值 過(guò) 零 點(diǎn) 率 首 中 時(shí) 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 22 定義: 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 * , 0+為 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) , 對(duì)任意 0, 令 = max0() 表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)在 ,0,-上的 最大值 。 分布: 當(dāng) 0時(shí) , 存在事件的等價(jià)關(guān)系 * + *() + = = 22 2 2 + d 的密度函數(shù)為 () = 2 32 2 2 , 0 0 , < 0 2 首中時(shí)及最大值 最 大 值 最 大 值 首 中 時(shí) 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨
14、機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 23 定義: 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 * , 0+為 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) , 對(duì)任意 1 < 2, 記事件 0 1,2 = *至少有一個(gè) 1,2 , 使 = 0+ 即在 1,2 內(nèi)至少過(guò)一次零點(diǎn) , 稱(chēng) 0 1,2 = 0 1,2 | 1 = + 1 21 2 21d 為 過(guò)零點(diǎn)概率 。 2 首中時(shí)及最大值 過(guò) 零 點(diǎn) 率 最 大 值 首 中 時(shí) 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 24 反正弦定理: 記 0 1,2 = *至少有一個(gè) 1,2 , 使 = 0+ 0 1,2 = *沒(méi)有 一個(gè) 1,2 , 使
15、 = 0+ 則 0 1,2 = 2arcsin 1 2 且當(dāng) 1 = ,2 = ,0 < x 0 = = 2 32 2 2d 0 最 大 值 首 中 時(shí) 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 26 證明 (續(xù) ): 反正弦定理 2 首中時(shí)及最大值 過(guò) 零 點(diǎn) 率 0 1,2 = 0 1,2 | 1 = + 1 21 2 21d = 2 ( 2 1) 12 1 2 21d + 0 = 22 1 2 3 2 2 2d 21 0 2 21d + 0 = 1 1 3 2 2 2 ( 1 + 1 1)d + 0 d
16、 21 0 = 1 1 3 2 1 + 1 2 2 ( +1 1 )d, 2 2 ( +1 1 )- + 0 d 21 0 = 1 1 3 2 1 + 1 2 2 ( +1 1 ) +0 d 21 0 = 1 1 1 2 1 + 1 d 21 0 最 大 值 首 中 時(shí) 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 27 證明 (續(xù) 2): 反正弦定理 2 首中時(shí)及最大值 過(guò) 零 點(diǎn) 率 令 = 12, 1,2 = 21 1 ,則 0 1,2 = 1 1 21 1( 1 +12) d (1,2) 0 = 2 11+2 d (1,2) 0
17、= 2arctan 1,2 = 2arccos 2 1 0 1,2 = 1 0 1,2 = 2arcsin 1 2 LOGO 隨機(jī)過(guò)程 第五章 布朗運(yùn)動(dòng) 1 布朗運(yùn)動(dòng)的 基本概念 2 布朗運(yùn)動(dòng) 的首中時(shí) 及最大值 3 布朗運(yùn)動(dòng) 的應(yīng)用 股票 期權(quán) 價(jià)值 股票 期權(quán) 實(shí)施 商品 價(jià)格 模型 BSDE 問(wèn)題 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 29 例: 設(shè) ( 0)表示企業(yè)破產(chǎn)或投資者 “ 死亡 ” 的時(shí)間 , 是一個(gè)隨機(jī)變量 。 再設(shè) * , 0+是具有獨(dú)立增量的隨機(jī)過(guò) 程 。 令隨機(jī)過(guò)程 * , 0+為 = (0)()
18、, + 0 = + 0 = () ln( + ) + 0 = 12 2 2 + ln(+ ) dd + 0 解 : 股票 期權(quán) 價(jià)值 企業(yè) 破產(chǎn) 過(guò)程 商品 價(jià)格 模型 BSDE 問(wèn)題 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 31 例: 假設(shè)某投資者持有敲定價(jià)格為 的 美 式買(mǎi)入期權(quán) 。 設(shè)此 股票價(jià)格變化遵循帶有負(fù)漂移系數(shù) ( 0 若期望最大的投資收益,則有 = 12 解 : 股票 期權(quán) 實(shí)施 股票 期權(quán) 價(jià)值 企業(yè) 破產(chǎn) 過(guò)程 股票 期權(quán) 實(shí)施 BSDE 問(wèn)題 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)
19、動(dòng) 32 例: 設(shè) 表示某商品在時(shí)刻 的價(jià)格 , 且價(jià)格比 1 是獨(dú)立同 分布的隨機(jī)序列 。 令 = 1 , 1,0 = 1 則有 = 12 ln = =1 ln近似于布朗運(yùn)動(dòng) , 即商品價(jià)格近似于幾何布朗運(yùn)動(dòng) 。 3 布朗運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用 商品 價(jià)格 模型 商品 價(jià)格 模型 股票 期權(quán) 價(jià)值 企業(yè) 破產(chǎn) 過(guò)程 股票 期權(quán) 實(shí)施 中南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 隨機(jī)過(guò)程 第 5章 -布朗運(yùn)動(dòng) 33 例: 設(shè)一個(gè)自融資金且無(wú)消費(fèi)的單身漢 , 為其成家的日期 , 他在 ,0,-期間的決策是:在時(shí)刻將他財(cái)產(chǎn) ()之中的 ()用 于 買(mǎi) 股 票 , () 用 于 買(mǎi) 債
20、 券 , 則 其 財(cái) 產(chǎn) ,0 滿(mǎn)足 d = , d d() 其中 , = + +( )( ) 0為債券利率 , 是市場(chǎng)貸款利率 。 一般 , 當(dāng) = 時(shí) , , = + 。 若他計(jì)劃在 時(shí)結(jié)婚 , 自己的財(cái)產(chǎn)要達(dá)到 元 , 則此決策問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為: d = , d d() = 求解 ( , )0 。 3 布朗運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用 BSDE 問(wèn)題 倒向參數(shù)隨機(jī)微分方程 LOGO 隨機(jī)過(guò)程 第五章 布朗運(yùn)動(dòng) 1 布朗運(yùn)動(dòng)的 基本概念 2 布朗運(yùn)動(dòng) 的首中時(shí) 及最大值 3 布朗運(yùn)動(dòng) 的應(yīng)用
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