概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大版第三章課件

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1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 關(guān)鍵詞： 二維隨機(jī)變量 分布函數(shù) 分布律 概率密度 邊緣分布函數(shù) 邊緣分布律 邊緣概率密度 條件分布函數(shù) 條件分布律 條件概率密度 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度 1 二維隨機(jī)變量 問題的提出 例 1：研究某一地區(qū)學(xué)齡兒童的發(fā)育情況。僅研究身 高 H的分布或僅研究體重 W的分布是不夠的。需 要同時(shí)考察每個(gè)兒童的身高和體重值，研究身 高和體重之間的關(guān)系，這就要引入定義在同一 樣本空間的兩個(gè)隨機(jī)變量。 例 2：研究某種型號(hào)炮彈的彈著點(diǎn)分布。每枚炮彈的 彈著點(diǎn)位置需要由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)來確定，而 它們

2、是定義在同一樣本空間的兩個(gè)隨機(jī)變量。 定義：設(shè) E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間 S=e； 設(shè) X=X(e)和 Y=Y(e)是定義 在 S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的 向量 (X,Y)叫做二維隨機(jī)向量 或二維隨機(jī)變量。 ( , ) ( ) ( ) ( , ) F x y P X x Y y P X x Y y 記成 0 x ,xy y S e y ,X e Y e x 定義：設(shè) (X,Y)是二維隨機(jī)變量對于任意實(shí)數(shù) x,y， 二元函數(shù) 稱為二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布函數(shù)。 幾何意義 (X,Y)平面上隨機(jī)點(diǎn)的 坐標(biāo) ,),( yYxXPyxF 即為隨機(jī)點(diǎn) (X,Y) 落在以點(diǎn) (x,y)為頂點(diǎn) ,位

3、于 該點(diǎn)左下方的無窮矩形區(qū)域 G內(nèi)的概率值。 ),( yxF ),( 分布函數(shù) 的性質(zhì) 1 2 1 2( , ) ( , )x x F x y F x y x1 x2 (x1,y) (x2,y) y y2 x y1 (x,y1) (x,y2) ( , )F x y 1 2 1 2( , ) ( , )y y F x y F x y 2 0 ( , ) 1 ( , ) 1 , F x y F xy ， 對 任 意 ( , ) ( , ) ( , ) 0F y F x F 1 , ,F x y x y。 關(guān)于 單調(diào)不減，即： 0 ( , ) ( , )li m F x y F x y 0 ( ,

4、) ( , )li m F x y F x y 1 2 1 24 ,x x y y若 2 2 2 1 1 2 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0F x y F x y F x y F x y 3 , ,F x y x y。 關(guān)于 右連續(xù)，即： 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y 因 為 1x 2x 1y 2y 0 2. 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 , 21 mxxxX 的可能值為設(shè) , 21 nyyyY 的可能值為 中心問題 ：

5、 (X,Y)取這些 可能 值的概率分別為多少？ 定義 若二維 r.v.（ X， Y）所有可能的取值是有 限對或無限可列對，則稱（ X， Y）是二維離散 型隨機(jī)變量。 ),( ),( ji yxYX 的可能值為 ,2,1;,2,1 njmi 則 的性質(zhì)：ijp ijjiji pyYxXPyxp ),(),( (1)公式法 二維（ X， Y）的聯(lián)合分布律 : 1)2( 10)1( i j ij ij p p ),2,1,( ji (2)表格法 232221 131211 ppp ppp 321 yyyX Y 2 1 x x (X,Y)的概率分布表： 描述 (X,Y)的取值規(guī)律 Gyx ij ji

6、pGYXP ),( ),( 例 1： 將一枚硬幣連擲三次，令 X=“ 正面出現(xiàn) 的次數(shù)”， Y=“ 正反面次數(shù)之差的絕對值”， 試求 (X,Y)的聯(lián)合分布律。 （ 0,3）（ 1,1）（ 2,1）（ 3,3） P(X=0,Y=3)=P(反反反 )=1/8 解 : (X,Y)所有可能的取值為： 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 X Y 例 2: 設(shè)隨機(jī)變量 X在 1,2,3,4中隨機(jī)地取一 個(gè)數(shù) ,另一隨機(jī)變量 Y在 1到 X中隨機(jī)地取一整 數(shù) .求 (X,Y)的 分布律。 分析 (X,Y)所有可能的取值為： (1,1); (2,1)、 (2,2); (3,

7、1)、 (3,2)、 (3,3); (4,1)、 (4,2)、 (4,3)、 (4,4). ),( jYiXP ij ij i ,0 , 1 4 1 4,3,2,1, ii .,1, ijj 解： 設(shè) X可能的取值為 Y可能的取值為 則： )()( iXjYPiXP 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 (X,Y)的聯(lián)合分布律為 : X Y 二維連續(xù)型隨機(jī)變量 , , , , ( , ) ( , ) yx X Y F x y f x y x y F x y f u v du dv 對

8、于二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 如果存在非負(fù)函數(shù) ，使對于任意 ， 有 定義： ,XY 連續(xù)型的二維稱為 隨機(jī)變量 ,f x y XY二 維 隨 機(jī) 變 量 的 聯(lián) 合稱 為 概 率 密 度 說明 1),()( d x d yyxfii (2) 的性質(zhì) ( , )f x y 0),()( yxfi (1)分布函數(shù) 是連續(xù)函數(shù) . (因?yàn)?是積分上限函數(shù) ) ),( yxF),( yxF ),( yxf 反映 (X,Y)落在 處附近的概率大小 ),( yx yxyxf yyYyxxXxP ),( ),( 概率微分 的關(guān)系與 )()()3( xfxF ),(),( yxFyxf xy x y d x

9、d yyxfyxF ),(),( G d x d yyxfGYXP ),(),( :),()4( 的作用yxf 描述 (X,Y)的取值規(guī)律 G ( , ) 1 ( ( , ) ) ( , ) z f x y x oy P X Y G z f x y 1 在 幾 何 上 ， 表 示 空 間 一 個(gè) 曲 面 ， 介 于 它 和 平 面 的 空 間 區(qū) 域 的 體 積 為 2 等 于 以 G 為 底 ， 以 曲 面 為 頂 面 的 柱 體 體 積 。 所 以 X,Y 落 在 面 積 為 零 的 區(qū) 域 注 ： 的 概 率 為 零 。 1 x y 0 例 3：設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)具有概率密度：

10、( 2 3 ) , 0 0 ( , ) 0 , xyk e x y f x y ， 其 他 2 ( , )F x y 求 分 布 函 數(shù) ； 3 ( )P Y X求 的 概 率 (1 ) k求 常 數(shù) ； ( , ) 1 ,f x y d x d y 解 ： (1) 利 用 得 23 00 61 xyk e d x e d y k 6k yx ( 2 3 )6 , 0 0 ( , ) 0 , xye x y f x y ， 其 他 2 ( , ) ( , )yxF x y f u v d u d v ( 2 3 )03 ( ) 6 xyyP Y X e d x d y ( 2 3 ) 00 6

11、 , 0 , 0 0 , yx uv e d u d v x y 其 他 23 00 2 3 , 0 , 0 0 , xy uv e d u e d v x y 其 他 23( 1 ) ( 1 ) , 0 , 0 0 , xye e x y 其 他 32 0 3 ( | ) yx ye e d y 32 0 3 yye e d y 5 0 3 ye dy 5 033|55ye 例 4：設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)具有概率密度 (1) 求常數(shù) k； (2) 求概率 解： , 0 1( , ) 0 , k x y x yf x y 其他 1 ( , ) 1f x y d x d y 利用 1 ( ,

12、 )f x y d x d y 得： 2 ( 1 )P X Y ( 1)P X Y 1 00 y kx dxdy 1 3 0 28 kky dy 8k 1 1 2 0 8 x xdx x y dy 1 222 0 4 ( 1 ) x x x dx 1 2 0 1 1 14 ( 1 2 ) 2 3 6x x d x 1 x y yx 0 2 邊緣分布 二維隨機(jī)變量 (X,Y)作為整體，有分布函數(shù) 其中 X和 Y都是隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù) 記為： 稱為 邊緣分布函數(shù) 。 ( , ),F x y ( ) ( )XYF x F y， ( ) ( , ) ( ) ( , ) X Y F x F x F

13、 y F y ( ) ( ) ( , )YF y P Y y F y 同理得： ( ) ( ) ( , ) ( , )XF x P X x P X x Y F x ( , ) ( )XF x y y F x 即在分布函數(shù) 中令 ，就能得到 事實(shí)上， 對于 離散型 隨機(jī)變量 (X,Y)， 分布律為 ( ) , 1 , 2 ,i j i jP X x Y y p i j ， 1 ( ) ( ) 1 , 2 ,i i ij i j P X x P X x Y p p i 記為， = 1 ( ) ( ) 1 , 2 ,j j i j j i P Y y P X Y y p p j 記為， = = i

14、i ij j ij p p p jp pi 記號(hào) 中 表示 是由 關(guān)于 求和后得到的；同樣 是由 關(guān)于 求和后得到的； p11 p12 p1j p1 1x p 21 p22 p2j p2 2x pi1 pi2 pij pi ix X Y y1 y2 yj iP X x p1 p2 p.j 1 jP Y y X,Y的邊緣分布律為： 注意： 我們常在表格上直接求邊緣分布律 232221 131211 ppp ppp jp X Y 321 yyy 321 ppp 1 1x 2x 1p 2p ip 1 1 j jp 1 2 j jp 1 1 i ip 1 3 i ip 例 : 求例 1中二維隨機(jī)變量

15、(X,Y)關(guān)于 X與 Y的 邊緣分布律 . 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 jp. .ip X Y 8 1 8 6 8 2 1 8 3 8 3 8 1 X與 Y的邊緣分布律如下 : 0 1 2 3 jp. .ip X 8 1 8 3 8 3 8 1 8 2 8 6 Y 1 3 實(shí)際應(yīng)用例子 X Y 53 52 51 51 50 51 53 53 50 51 51 50 50 52 53 53 53 52 52 52 52 52 53 53 51 51 51 51 51 53 55 54 52 52 52 51 51 53 55 55 52 51 50 5

16、0 51 51 53 53 50 51 51 50 51 53 55 55 52 51 51 51 52 52 53 53 53 51 50 52 51 52 54 55 0 0 0 0 52 52 52 53 0 0 0 0 51 52 52 52 0 0 0 0 51 51 51 52 0 0 0 0 52 52 51 52 0 0 0 0 53 53 52 53 0 0 0 0 52 53 53 54 0 0 0 0 53 53 52 52 0 0 0 0 54 54 53 52 0 0 0 0 54 53 52 52 上頁 下頁 返回 對于 連續(xù)型 隨機(jī)變量 (X,Y)， 概率密度為

17、( , )f x y ( ) ( , ) ( ) ( , ) X Y f x f x y dy f y f x y dx ()XFx ( , )Fx ( , )x f t y dy dt ()x Xf t dt ()YFy ( , )Fy ( , )y f x t dx dt ()y Yf t dt 事實(shí)上， 同理： X,Y的邊緣概率密度為： 例 2： (X,Y)的聯(lián)合分布律為 求： (1)a,b的值； (2)X,Y的邊緣分布律； (3) ( 1 | 1 )P X Y Y X -1 1 0 0.2 0.1 a 1 2 0.1 0.2 b ( 1 | 1 ) 0 .5P Y X 已知： 0 .

18、2( 1 | 1 ) 0 . 3 aP Y X 又 X 1 0.4 2 0.6 ip jp Y 0.3 0.5 -1 1 0 0.2 23 ( 1 | 1 ) 0 . 45P X Y 0.2 10.3 a 2 a 0 . 1 b = 0 . 3 ， (2) 解： (1) 由分布律性質(zhì)知 a+b+0.6=1 即 a+b=0.4 例 3：設(shè) G是平面上的有界區(qū)域，其面積為 A，若二維隨機(jī) 變量 (X,Y)具有概率密度 則稱 (X,Y)在 G上服從 均勻分布 。 現(xiàn)設(shè) (X,Y)在有界區(qū)域 上均勻分布，其概 率密度為 求邊緣概率密度 解： 1 , ( , )( , ) 0 , A x y Gf x

19、y 其他 2x y x 26 , ( , ) 0 , x y xf x y 其他 ( ) ( )XYf x f y， ( ) ( , )Xf x f x y d y 2 26 6 ( ) , 0 1 0 , x x d y x x x 其他 ( ) ( , )Yf y f x y d x 6 6 ( ) , 0 1 0 , y y d x y y y 其他 2 12 22 1 1 2 2 2 2 2 12 12 1 2 1 2 1 2 4 1 ( , ) 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 e xp 2 2( 1 ) , 0 0 1 1 , f x y x x y y X XY y Y

20、x 例 ： 設(shè) 二 維 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 密 度 為 ： 其 中 ， ， ， ， 都 是 常 數(shù) ， 且 ， ， ； ， 我 們 稱 為 服 從 參 1 2 1 2 22 ( , ) ( ; ; ) 1 2 1 2 X Y N 數(shù) 為 ， ， ， ， 的 二 維 正 態(tài) 分 布 ， 記 為 ： ； 試 求 二 維 正 態(tài) 隨 機(jī) 變 量 的 邊 ， ， 緣 概 率 密 度 。 二維正態(tài)分布的圖形 22 1 1 2 2 2 2 22 121212 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )11 e xp 2 2( 1 )21 Xf x f x y dy x x y y dy 解

21、 ： 22 1 21 2 2 21 1 () 1 2 2 ( 1 ) 2 12 1 21 x yx e e dy 22 12 212 2 2 1 () 1 () 2 2 ( 1 ) 2 1 2 11 2 21 x yx e e d y 2 1 2 1 () 2 1 1 2 x ex 2 2 2 2 () 2 2 1 ( ) , 2 x Yf y e y 同 理 即 二 維 正 態(tài) 分 布 的 兩 個(gè) 邊 緣 分 布 都 是 一 維 正 態(tài) 分 布 ， 并 且 都 不 依 賴 于 參 數(shù) 作業(yè)題（同濟(jì)大學(xué)） P64： 3 題、 5題、 6題和 7題 )( ji yYxXP 1. 當(dāng)（ X， Y）

22、為離散型 三 . 二維隨機(jī)變量的條件分布 定義 在 (X,Y)中，當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量取固定值的條件 下，另一個(gè)隨機(jī)變量的分布，此分布為 條件分布 在 條件下， X的條件分布 jyY )( jiYX yxp 固定值 自變量 )( ),( )( ),( jY ji j ji yp yxp yYP yYxXP 同理 )( ijXY xyp )( ),( iX ji xp yxp ,2,1i ,2,1j 總和 分量 1/16 1/12 0 0 3 1/16 0 0 0 4 1/16 1/12 1/8 0 2 1/16 1/12 1/8 1/4 1 4 3 2 1 X Y 1/4 1/4 1/4 1/4 )

23、(Xp )(Yp 25/48 13/48 7/48 3/48 例 8 在例 2中， 求： (1) 在 X=3的條件下 Y的條件分 布律； (2) 求在 Y=1的條件下 X的條件分布律。 3 1)31( 4 1 12 1 XYP 3 1)32( 4 1 12 1 XYP 3 1)33( 4 1 12 1 XYP 00)34( 4 1 XYP 因?yàn)椋?0 3 1 3 1 3 1 )3( 4321 XyYP Y j 25 3 25 4 25 6 25 12 )1( 4321 YxXP X i 所以， 類似可求： 2.當(dāng)（ X， Y）為連續(xù)型 的條件概率密度條件下在 XyY )( yxf YX 固定值

24、 自變量 )()( yYxXPyxF YX )( yYyxXP 0lim yYyP yYyxXP ),(l i m 0 y y Y x y y dyyf dyyxfdx )( ),( l i m 0 y f dxxf Y x 21 1 2 0 ,-y : 2)( 2),( l i m 其中 )( ),( yf dxyxf Y x )( ),()()( yf yxfyxFyxf Y YXYX 總和 分量 )( ),()( xf yxfxyf X XY 的條件概率密度為條件下在同理 YxX , )0)( xf X )0)( yf Y )(,0)2(;)(,0)1(: yxfyxyfx YXXY 求

25、 例 :設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的 概率密度為： 其他,0 0,0,6),( 32 yxeyxf yx 解 dyyxfxf X ),()( 0,0 0,6 0 32 x xdye yx 0,0 0,2 2 x xe x dxyxfyf Y ),()( 0,0 0,6 0 32 y ydxe yx 0,0 0,3 3 y ye y 0,0 0,3)(, 0,0 0,2)( 32 y yeyf x xexf y Y x X )( xyf XY )( ),( xf yxf X )( 0,0 0,2 2 xf x xe X x 0,0 0, 3 6 3 32 x x e e y yx )( yxf

26、YX )( ),( yf yxf Y )( 0,0 0,3 3 yf y ye Y y 0,0 0, 2 6 2 32 y y e e x yx 獨(dú)立性 獨(dú)立性 復(fù)習(xí) : 兩個(gè)事件 A與 B獨(dú)立性的定義 P(AB)=P(A)P(B) 四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性 1、定義 ： 設(shè) X與 Y是兩個(gè)隨機(jī)變量 ,若對任意的 相互獨(dú)立。與則稱 有 YX yYPxXPyYxXP yx )()(),( :, (1)由定義可知 ：若 X與 Y獨(dú)立 ,則 為任意可能值點(diǎn)),()()(),( jijYiXji yxypxpyxp (2)離散型 隨機(jī)變量 ， X與 Y相互獨(dú)立的充要條件為 : RyxyFxFyxF YX

27、,)()(),( (3)連續(xù)型隨機(jī)變量， X與 Y相互獨(dú)立的充要條件為 : )()(),( yfxfyxf YX 2、 隨機(jī)變量獨(dú)立性的重要結(jié)論 Ryx , (4) 聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系 聯(lián)合分布 邊緣分布 條件：獨(dú)立性 例 : 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的 概率密度為 : 是否獨(dú)立。與問 其他 YX yxxe yxf yx ,0 0,0, ),( )( 解： 0, 0 )( xdyxe yx 0, 0 xxedyexe xyx dyyxfxf X ),()( dxyxfyf Y ),()( 0, 0 )( ydxxe yx 0, 0 ydxxee xy )( 0 xy edxe 0 0

28、dxexee xxy 0, 0 yedxee yxy 其他,0 0, )( xxe xf x X 其他,0 0, )( ye yf y Y )()(),( yfxfyxf YX 。YX 相互獨(dú)立與 12 Y X 0 1 P(y=j) 161 26 2 16 26 12 P(X=i) 13 23 ( 0 , 1 ) 1 6P X Y ( 0) ( 1 )P X P Y ( 0 , 2 ) 1 6P X Y ( 0) ( 2)P X P Y ( 1 , 1 ) 2 6P X Y ( 1 ) ( 1 )P X P Y ( 1 , 2 ) 2 6P X Y ( 1 ) ( 2)P X P Y ,XY因

29、而 是相互獨(dú)立的。 Y X 0 1 P(y=j) 12161 26 2 1626 12 P(X=i) 12 12 ,XY例3 : 若 具有分布律 右圖 ，則： ( 0 , 1 ) 1 6P X Y ( 0 ) ( 1 ) 1 2 1 2 1 4P X P Y ( 0 , 1 ) ( 0 ) ( 1 )P X Y P X P Y 故 XY因而 與 不相互獨(dú)立。 ,XY例2 : 具有分布律 右圖 ，則： ,XY 例 4: 設(shè) X 與 Y 是 相 互 獨(dú) 立 的 隨 機(jī) 變 量 ， 已 知 的 聯(lián) 合 分 布 律 ， 求 其 余 未 知 的 概 率 值 。 0 1 2 ( ) 1 0.01 0.2

30、2 0.03 () X Y P X i P Y j 0.04 0.250.04 0.8 0.6 0.12 , 0XY XY 例 5 證 明 ： 對 于 二 維 正 態(tài) 隨 機(jī) 變 量 ， 與 相 互 獨(dú) 立 的 充 要 條 件 是 參 數(shù) ,XY證：因?yàn)?的概率密度為： 2 12 22 1 1 2 2 2 2 2 1212 1( , ) 21 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 ( 1 ) f x y x x y y exp 23又由 例 知，其邊緣概率密度的乘積為： 22 12 22 12 12 ( ) ( )11 ( ) ( ) 22XY xyf x f y e x p , ( ,

31、) , ( ) , ( )XY XY f x y f x f y 反 之 ， 若 相 互 獨(dú) 立 ， 由 于 都 是 連 續(xù) 函 數(shù) ， 0 , ( , ) ( ) ( )XYx y f x y f x f y 如 果 ， 則 對 于 所 有 ， 有 ,XY即 相互獨(dú)立。 , ( , ) ( ) ( )XYx y f x y f x f y故對于所有的 ，有 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ,XYf f f 特別的有 2 12 12 11 221 即 0 一般 n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果 1 1 2 2 12 ; , , , , , , nn n n E S e X X e X X

32、 e X X e S n X X X n 維隨機(jī)變量 設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是 設(shè) 是定義在 上的隨機(jī)變量， 由它們構(gòu)成的一 維個(gè) 隨維向量 稱為 機(jī)變量 。 12 1 2 1 1 2 2 12 , , , ( , , ) ( , , , ) , , , n n n n n n x x x n F x x x P X x X x X x n X X X 分布函數(shù) 對于任意 個(gè)實(shí)數(shù) ， 元函數(shù)： 稱為 維隨機(jī)變量 的 分布函數(shù) 。 12 12 1 2 1 2 1 1 2 2 12 , , , ( , , , ) 1 , 2 , ( , , , ) 1 , 2 , , 1 , 2 , ,

33、 , , n n n i i ni j i i n ni j n X X X x x x i P X x X x X x j n i n X X X 離散型隨機(jī)變量的分布律 設(shè) 所有可能取值為 稱為 維離散型隨機(jī)變量 的 分布律 。 11 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) , , , ( , , ) ( , , )nn nn x x x n n n f x x x x x x F x x x f x x x d x d x d x 連續(xù)型隨機(jī)變量的 若存在非負(fù)函數(shù) ，使得對于任 概 意實(shí)數(shù) 率密度 邊緣分布 如： 1 2 1 2, , , ( , , )nnX X X

34、 F x x x的分布函數(shù) 已知， 1 11( ) ( , , , , )XF x F x 12, , , ( 1 )nX X X k k n則 的 維邊緣分布函數(shù)就隨之確定。 12( , ) 1 2 1 2( , ) ( , , , , )XXF x x F x x 1 1 2 23 1 1 1 1 2 2,( ) ( , , , )n n i i i n n ii i iP X x P X x X x X x 1 2 1 2 34 1 1 2 2 1 1 2 2,( , ) ( , , , )n n i i i i n n ii i iP X x X x P X x X x X x 1 1

35、 1 2 2 3( ) ( , , , )X n nf x f x x x d x d x d x 12( , ) 1 2 1 2 3 4( , ) ( , , , )X X n nf x x f x x x d x d x d x 相互獨(dú)立 12 12 1 2 1 2 , , , , ( , , , ) ( ) ( ) ( )n n n X X X n x x x F x x x F x F x F x 若對于所有的 有： 12, , , nX X X則稱 是相互獨(dú)立的 1 2 1 2, , , , , ,mnX X X Y Y Y與 的獨(dú)立性 1 2 1 1 2, , , ( , , )

36、,mmX X X F x x x設(shè) 的分布函數(shù)為 1 2 2 1 2, , , ( , , ) ,nnY Y Y F y y y的分布函數(shù)為 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , , ( , , , , , )m n m nX X X Y Y Y F x x x y y y的分布函數(shù)為 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2( , , , , , , , ) ( , , ) ( , , )m n m nF x x x y y y F x x x F y y y若 1 2 1 2, , , , , ,mnX X X Y Y Y稱 與 相互獨(dú)立。 作業(yè)題（同濟(jì)大學(xué)） P65： 12

37、題、 14題 1. (X,Y)離散 ,:),( 21 kzzzYXgZ 離散 ),()( kk zYXgPzZP )(),( 關(guān)鍵反解 GYX ),( GYP ),(),(),(, 2211 mm iiiiii yxyxyxG 如加法 使 對應(yīng)的 (X,Y)的那些可能 值 , 其概率之和 k zYXg ),( 5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 例 1:設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布律為 : 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 求 Z=X+Y的分布律 . 解 :Z的所有取值為 : X Y 1, 2, 3, 4, 5, 6. 0)1,0()1( YXPZP 8 3

38、)1,1()2( YXPZP Z 1 2 3 4 5 6 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8 8 4 8 1 8 3)3,0()1,2()3( YXPYXPZP 2. (X,Y)連續(xù)型 方法 : 分布函數(shù)法 ),(,),( yxfYXgZ Z求連續(xù) ),()()()1( zYXgPzZPzF Z )(),( 關(guān)鍵反解 GYX G d x d yyxf ),( )()()2( zFzf ZZ ),( GYXP 解：由 x, y, 的取值及 Z與 X、 Y的函數(shù)關(guān)系可知， Z的取值范圍（ Z的密度函數(shù)不為 0的范圍）是 0 z 1, 首先求 Z的分布函數(shù) ； 設(shè) (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)

39、如下， ， Z = , 求 Z 的密度函數(shù)。 當(dāng) 0z1時(shí)，如圖： = 則 Z的密度函數(shù)為： 0z1 下面我們就幾個(gè)具體的函數(shù)來討論 ,;,.3 .2 .1 YXM i nNYXM a xM YXZ YXZ Z=X+Y的分布 )( zZPzF Z zyxD dxdyyxf : , )( zYXP 這里積分區(qū)域 zyxD : 是直線 x+y=z 左下方的半平面 ( 如圖 ), 化 成累次積分 , 得 dydxyxfzF yz Z , dxyxfyz yz ),(, 對積分和固定 得作變量代換，令 yux z yuxyz duyyufdxyxf , dyduyyufzF zZ ,于是 z dudy

40、yyuf , 由概率密度的定義可得 Z的概率密度為： dyyyzfzf Z , 固定 dxxzxfzf Z , 特別地，當(dāng) X和 Y相互獨(dú)立時(shí)，上述兩式變?yōu)?（稱為 卷積公式 ）： dyyfyzfzf YXZ dxxzfxfzf YXZ 又可寫作：的對稱性，與由 )( zfyx Z 例 1:設(shè) X和 Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 , 它們都服從 N(0,1),即有 xexf x X , 2 1 )( 2 2 yeyf y Y , 2 1 )( 2 2 求 Z=X+Y的概率密度。 dxee xzx 22 22 2 1 dxee zxz 2 2 ) 2 ( 4 2 1 dxxzfxfzf YXZ 解

41、： 由卷積公式 4)2( 2 2 zzx ) 2 ( 2 2 zzxx tzx 2 令 d2 te t dteezf t z Z 2 2 4 2 1)( 2 2 2 22 )0( 4 22 1 2 1 zz ee )2,0( NZ 結(jié)論 : 獨(dú)立,2,1),( 2 niNX iii 正態(tài)分布)1( 21 nXXX 正態(tài)分布)2( 2211 nn XcXcXc 分布的可加性 1 、設(shè) 22 1 1 2 2( , ) , ( , ) ,X N Y N X Y 和 相 互獨(dú)立，則 221 2 1 2,X Y N 2 、 設(shè) 12( ) , ( ) ,X Y X Y 和 相互獨(dú)立， 則 12()XY

42、3 、 設(shè) ( , ) , ( , ) ,X B m p Y B n p X Y和相互獨(dú) 立，則 ( , )X Y B m n p 例 2:設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y獨(dú)立同分布， X的概率密 度為： 其它,0 10,1 )( x xf 求 Z=X+Y的概率密度。 dxxzfxfzf YXZ 解： 由卷積公式 范圍的被積函數(shù)不為的積分范圍 xx 0 其它,0 21,2 10, )( 1 1 0 zzdx zzdx zf z z Z zxz x xz x 1 10 10 10 0 1 1z 1z zz 10 z 21110 zz dxzxxfzf Z , dyyyzfzf Z , 特別地 ,當(dāng) X和 Y

43、相互獨(dú)立時(shí) ,有 dyyfyzfzf YXZ dxzxfxfzf YXZ 2. Z=X-Y 類似與 Z=X+Y的情形 ,可知 x-y=z 例 3:設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y獨(dú)立同分布 ,X的概率密度為： 其他,0 100, 50 10 )( x x xf 求 Z=X-Y的概率密度。 dxzxfxfzf YXZ 解： 由卷積公式 其它,0 100, 1 5 0 0 0 3 0 02 0 0 0 010, 1 5 0 0 0 )102 0 0)(10( )( 3 2 z zz z zzz zf Z 3. M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布 設(shè) X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 ,它們 的分

44、布函數(shù)分別為 FX(x)和 FY(y)。 由于 zYzXzYX 且,),m a x ( 現(xiàn)在來求 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的 分布函數(shù)。 zYzXzYX 且,),m i n ( (1)M=max(X,Y)的分布函數(shù)為： )()(ma x zMPzF )()( zFzF YX ),( zYzXP )()( zYPzXP (2) N=min(X,Y)的分布函數(shù)為： )()(m i n zNPzF ),(1 zYzXP )(1)(11 zYPzXP )(1)(11 zFzF YX )(1 zNP ）（）（ zYPzXP 1 例 1： 設(shè)系統(tǒng) L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng) L1， L2

45、聯(lián)接 而成，聯(lián)接方式分別為 : (1)串聯(lián) ;(2)并聯(lián) ;(3)備用 (當(dāng) L1損壞時(shí)， L2開始工作 )，如圖所示。 （ 1） （ 2） （ 3） L1， L2的壽命分別用 X， Y表示，已知它們的概率密 度分別為 : 0,0 0, )( x xe xf x X 0,0 0,2 )( 2 y ye yf y Y 試就以上三種聯(lián)接方式分別寫出 L的壽命 Z的概率密度 . 解 :(1)串聯(lián)的情況 : Z = min (X,Y) X,Y的分布函數(shù)分別為： ,0,0 0,1 )( x xe xF x X 0,0 0,1)( 2 y yeyF y Y Z = min (X,Y)的分布函數(shù)為： 0,0

46、 01 )(1) (11)( 3 m i n x xe xFxFxF x YX ， Z的概率密度為 : 0,0 0,3 )( 3x m i n x xe xf （ 2）并聯(lián)的情況： Z=max(X,Y) )()()(m a x xFxFxF YX Z = max (X,Y)的分布函數(shù)為： Z的概率密度為 : 0,0 0,32 )( 3x2xx m a x x xeee xf 0,0 0),1)(1( 2 x xee xx （ 3）備用的情況： Z=X+Y Z的概率密度為 : dxxzfxfzf YXZ )()()( 0,0 0,2 0 )(2x z zdxee z xz 0,0 0,2 0,0

47、 0,2 2 0 x2 z zee z zdxee zz z z 例 4: 設(shè) X 與 Y 的 聯(lián) 合 分 布 律 為 ： 12 1 0.2 0.1 2 0.3 0.4 XY , m a x ( , ) ,) U X Y V X Y UV 令 ， 求 ( 的 聯(lián) 合 分 布 率 。 12 2 0.2 0 3 0 0.4 4 0 0.4 UV解 ： 作業(yè)題（同濟(jì)大學(xué)） P64： 1題、 3 題、 9 題和 12題 復(fù)習(xí) 聯(lián)合分布函數(shù)，聯(lián)合分布律， 聯(lián)合概率密度 ( , ) ( ) ( ) ( , )F x y P X x Y y P X x Y y 記 成 ijjiji pyYxXPyxp ),

48、(),( ),2,1,( ji Gyx ij ji pGYXP ),( ),( 復(fù)習(xí) -邊緣分布 1 ( ) ( ) 1 , 2 ,i i ij i j P X x P X x Y p p i 記為 ， = 1 ( ) ( ) 1 , 2 ,j j ij j i P Y y P X Y y p p j 記為 ， = ( ) ( , ) ( ) ( , ) X Y f x f x y dy f y f x y dx )( ji yYxXP )( jiYX yxp . ( , ) () i j ij Y j j p x y p p y p )( ijXY xyp . ( , ) () i j ij

49、 X i i p x y p p x p )( ),()()( yf yxfyxFyxf Y YXYX )( ),()( xf yxfxyf X XY 復(fù)習(xí) -條 件分布律， 條 件密度函 數(shù) (1)由定義可知 ：若 X與 Y獨(dú)立 ,則 為任意可能值點(diǎn)),()()(),( jijYiXji yxypxpyxp (2)離散型 隨機(jī)變量 ， X與 Y相互獨(dú)立的充要條件為 : RyxyFxFyxF YX ,)()(),( (3)連續(xù)型隨機(jī)變量， X與 Y相互獨(dú)立的充要條件為 : )()(),( yfxfyxf YX 隨機(jī)變量獨(dú)立性的重要結(jié)論 Ryx , 1. (X,Y)離散 ,:),( 21 kzz

50、zYXgZ 離散 ),()( kk zYXgPzZP )(),( 關(guān)鍵反解 GYX ),( GYP ),(),(),(, 2211 mm iiiiii yxyxyxG 如加法 使 對應(yīng)的 (X,Y)的那些可 能值 ,其概率之和 k zYXg ),( 5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 2. (X,Y)連續(xù)型 方法 : 分布函數(shù)法 ),(,),( yxfYXgZ Z求連續(xù) ),()()()1( zYXgPzZPzF Z )(),( 關(guān)鍵反解 GYX G d x d yyxf ),( )()()2( zFzf ZZ ),( GYXP dxxzxfzf Z , 特別地，當(dāng) X和 Y相互獨(dú)立時(shí)，上述兩式變?yōu)?/p>

51、 （稱為 卷積公式 ）： dyyfyzfzf YXZ dxxzfxfzf YXZ 1 Z X Y（ ） ： ,f z y y d y dxzxxfzf Z , dyyyzfzf Z , 特別地 ,當(dāng) X和 Y相互獨(dú)立時(shí) ,有 dyyfyzfzf YXZ dxzxfxfzf YXZ (2). Z=X-Y 類似與 Z=X+Y的情形 ,可知 x-y=z (3) X,Y相互獨(dú)立時(shí)， M=max(X,Y)的分布函數(shù)為： )()(ma x zMPzF )()( zFzF YX ),( zYzXP )()( zYPzXP (4) X,Y相互獨(dú)立時(shí)， N=min(X,Y)的分布函數(shù)為： )()(m i n zNPzF ),(1 zYzXP )(1)(11 zYPzXP )(1)(11 zFzF YX )(1 zNP ）（）（ zYPzXP 1