蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊第6章《相似三角形》 專題練習(xí)

《相似三角形》專題練習(xí) 【小題熱身】 1．如圖，已知∠1＝∠2，添加下列條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝ 2．在正方形網(wǎng)格紙上，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫格點(diǎn)三角形．如圖，點(diǎn)A、B、C是44網(wǎng)格中的格點(diǎn)（每個(gè)小正方形的邊長為1），在網(wǎng)格中畫出一個(gè)與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)△DEF，△DEF的面積為　?。? 3．如圖所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（　?。? A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)E、D分別為AB與AC邊上兩個(gè)點(diǎn)，請?zhí)砑右粋€(gè)條件：　　，使得△ADE∽△ABC． 5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（6，0）、B（0，8），點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為　　時(shí)，由點(diǎn)A、C、D組成的三角形與△AOB相似． 6．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），若過點(diǎn)D的直線截得的三角形與△ABC相似，并且平分△ABC的周長，則AD的長為　?。? 7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，E為AD中點(diǎn)，CF⊥BE，垂足為G，交BC邊于點(diǎn)F，則CF的長為　?。? 8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4，BC＝2，D、E、F分別為BC、AB、AC上的點(diǎn)，若四邊形DEFC為正方形，則它的邊長為　?。? 9．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在DC邊上，且PQ＝DC．若AB＝16，BC＝20，則圖中陰影部分的面積是　?。? 10．如圖，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG內(nèi)接于△ABC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，點(diǎn)G、F在邊BC上．如果BC＝20，正方形DEFG的面積為25，那么AH的長是　?。? 11．如圖：已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，一束光線從A點(diǎn)出發(fā)，通過BC邊反射，恰好落在F點(diǎn)，那么反射點(diǎn)E與C點(diǎn)的距離為　?。? 12．如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝12，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，其中BD＝x，AE＝2x．當(dāng)△ADE與△ABC相似時(shí)，x的值可能是　?。? 【典型例題】 1．（相似與二次函數(shù)）如圖，矩形CDEF兩邊EF、FC的長分別為8和6，現(xiàn)沿EF、FC的中點(diǎn)A、B截去一角成五邊形ABCDE，P是線段AB上一動點(diǎn)，試確定AP的長為多少時(shí)，矩形PMDN的面積取得最大值． 2．（相似與圓）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C、D、F，與AD相交于點(diǎn)G． （1）求證：△AFG∽△DFC； （2）若正方形ABCD的邊長為4，AE＝1，求⊙O的半徑． 3．（一線三直角必有相似）（1）如圖1，已知AB⊥l，DE⊥l，垂足分別為B、E，且C是l上一點(diǎn)，∠ACD＝90，求證：△ABC∽△CED； （2）如圖2，在四邊形ABCD中，已知∠ABC＝90，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，求BD的長． 4．（動態(tài)問題與相似）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動時(shí)間（0≤t≤6）．那么： （1）當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形？ （2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？ 5．（相似性質(zhì)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝3，CA＝4，矩形DEFC的頂點(diǎn)D、E、F都在△ABC的邊上． （1）設(shè)DE＝x，則AD＝　?。ㄓ煤瑇的代數(shù)式表示）； （2）求矩形DEFC的最大面積． 6．（一線三直角）如圖，G是邊長為8的正方形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，矩形DEFG的邊EF過點(diǎn)A，GD＝10． （1）求FG的長； （2）直接寫出圖中與△BHG相似的所有三角形． 7．（圓中相似計(jì)算）如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于F、G，且G是的中點(diǎn)，過點(diǎn)G作DE⊥BC，垂足為E，交BA的延長線于點(diǎn)D （1）求證：DE是⊙O的切線； （2）若AB＝6，BG＝4，求BE的長； （3）若AB＝6，CE＝1.2，請直接寫出AD的長． 8．（圓中動態(tài)問題與相似計(jì)算）如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點(diǎn)O為AD上一動點(diǎn)（4＜OA＜8），以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M，連接OM，過點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BC于N． （1）求證：△ODM∽△MCN； （2）設(shè)DM＝x，OA＝R，求R關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （3）在動點(diǎn)O逐漸向點(diǎn)D運(yùn)動（OA逐漸增大）的過程中，△CMN的周長如何變化？說明理由． DD9．（相似與作圖）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），點(diǎn)E是AD邊上一定點(diǎn)，且AE＝1． （1）當(dāng)m＝3時(shí)，AB上存在點(diǎn)F，使△AEF與△BCF相似，求AF的長度． （2）如圖②，當(dāng)m＝3.5時(shí)．用直尺和圓規(guī)在AB上作出所有使△AEF與△BCF相似的點(diǎn)F．（不寫作法，保留作圖痕跡） （3）對于每一個(gè)確定的m的值，AB上存在幾個(gè)點(diǎn)F，使得△AEF與△BCF相似？ 10．（遇到比例式問題處理）如圖，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，連接GD． （1）求證：△ADC∽△BGC； （2）求證：CG?AB＝CB?DG． 11．（一線三等角與相似）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60，BP＝1，CD＝． （1）求證：△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的邊長． 12．（動態(tài)問題中的相似計(jì)算）如圖，在△ABC中，∠B＝90，AB＝12mm，BC＝24mm，動點(diǎn)P以2mm/s的速度從A向B移動，（不與B重合），動點(diǎn)Q以4mm/s的速度從B向C移動，（不與C重合），若P、Q同時(shí)出發(fā)，試問： （1）經(jīng)過幾秒后，△PBQ與△ABC相似． （2）經(jīng)過幾秒后，四邊形APQC的面積最??？并求出最小值． 13．△ABC，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，一條直線DE與邊AC相交于點(diǎn)D，與邊AB相交于點(diǎn)E． （1）如圖①，若DE將△ABC分成周長相等的兩部分，則AD+AE等于多少；（用a、b、c表示） （2）如圖②，若AC＝3，AB＝5，BC＝4．DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，求AD； （3）如圖③，若DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，且DE∥BC，則a、b、c滿足什么關(guān)系？ 【作業(yè)】 1．如圖，△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等邊三角形，點(diǎn)B，B1，B2，B3在同一條直線上，連接A2B交AB1于點(diǎn)P，交A1B1于點(diǎn)Q，則PB1：QB1的值為　?。? 2．如圖，l1∥l2∥l3，直線a、b與l1、l2、l3分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，則BE的長為　?。? 3．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一點(diǎn)，CD＝2，過點(diǎn)D的直線l將△ABC分成兩部分，使其所分成的三角形與△ABC相似，若直線l與△ABC另一邊的交點(diǎn)為點(diǎn)P，則DP＝　　． 4．如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，則AC的長　?。? 5．如圖，正方形ABCD的邊長為12，其內(nèi)部有一個(gè)小正方形EFGH，其中E、F、H分別在BC，CD，AE上．若BE＝9，則小正方形EFGH的邊長　　． 6．如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，連接AC、BE，AC與BE交于點(diǎn)F，則△ABF的面積和四邊形CDEF的面積的比值是　?。? 7．如圖，在△ABC和△APQ中，∠PAB＝∠QAC，若再增加一個(gè)條件就能使△APQ∽△ABC，則這個(gè)條件可以是　?。? 8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，1）和，若在第四象限存在點(diǎn)C，使△OBC和△OAB相似，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是　　． 9．如圖，在△ABC中，∠C＝90，AC＝BC＝1，P為△ABC內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)，∠PAB＝∠PBC，則CP的最小值為　?。? 10．如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，則AC的長　?。? 11．如圖，A、B、C、D依次為一直線上4個(gè)點(diǎn)，BC＝2，△BCE為等邊三角形，⊙O過A、D、E三點(diǎn)，且∠AOD＝120．設(shè)AB＝x，CD＝y(tǒng)，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為　?。? 12．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB向B以2cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向C點(diǎn)以4cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘△PBQ與△ABC相似？ 13．如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝2，點(diǎn)D在邊BC的反向延長線上，且DB＝3，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且∠EAC＝∠D，設(shè)AD＝x，BC＝y(tǒng)． （1）求線段CE的長； （2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域； （3）當(dāng)AC平分∠BAE時(shí)，求線段AD的長． 14．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90，O為BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)E在AB邊上移動，動點(diǎn)F在AC邊上移動． （1）點(diǎn)E，F(xiàn)的移動過程中，△OEF是否能成為∠EOF＝45的等腰三角形？若能，求BE的長；若不能，請說明理由； （2）當(dāng)∠EOF＝45時(shí)，設(shè)BE＝x，CF＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍． 15．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為B、C，且AB＝8，DC＝6，BC＝14，BC上是否存在點(diǎn)P使△ABP與△DCP相似？若有，有幾個(gè)？并求出此時(shí)BP的長，若沒有，請說明理由． 16．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，連接AF交CD的延長線于點(diǎn)E． （1）求證：△AFC∽△ACE； （2）若AC＝5，DC＝6，當(dāng)點(diǎn)F為的中點(diǎn)時(shí)，求AF的值． 17．學(xué)習(xí)《圖形的相似》后，我們可以借助探索兩個(gè)直角三角形全等的條件所獲得經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索兩個(gè)直角三角形相似的條件． （1）“對與兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，兩個(gè)直角三角形全等”．類似地你可以得到：“滿足　　，或　　，兩個(gè)直角三角形相似”． （2）“滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”，類似地你可以得到“滿足　　的兩個(gè)直角三角形相似”． 請結(jié)合下列所給圖形，寫出已知，并完成說理過程． 已知：如圖，　?。? 試說明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′． 13