高考數(shù)學(xué)資料——5年高考題、3年模擬題分類匯編專題(5)-空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

第三節(jié)　 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 一、 填空題 1.若等邊的邊長為，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則____＿_(dá)___ 　　 2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Ａ（１,0，２）,B(１，－3,1），點(diǎn)M在ｙ軸上,且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是＿_(dá)___＿＿_(dá)。 【解析】設(shè)由可得故 【答案】(０,－1，0) 　　 二、解答題 3.（本小題滿分1２分） 如圖,在五面體ABCＤＥF中，F(xiàn)A 平面ABCＤ，　AＤ//BC//FE，ＡBAD,M為EC的中點(diǎn),AF=ＡB=BC=FE=AＤ (Ｉ)　　求異面直線BＦ與DE所成的角的大??； （IＩ) 　證明平面AＭＤ平面CDE； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。 如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系, 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得 　　 (I)　 因此異面直線與所成的角的大小為． （IＩ）證明:　 , 　 （ＩII) 又由題設(shè)，平面的一種法向量為 4.（本題滿分15分）如圖,平面平面, 是覺得斜邊的等腰直角三角形，分別為， ,的中點(diǎn),，. 　 (I)設(shè)是的中點(diǎn)，證明:平面； （IＩ)證明：在內(nèi)存在一點(diǎn),使平面，并求點(diǎn)到,的距離. 證明:(I）如圖,連結(jié)ＯＰ,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OＰ所在直線為軸，軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系O，　 則，由題意得，因，因此平面ＢOＥ的法向量為,得,又直線不在平面內(nèi),因此有平面 6．(本小題滿分1２分） 如圖,已知兩個(gè)正方行ＡBCD　和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AＢ,ＤF的中點(diǎn)　 。 (I）若平面ABＣD ⊥平面DCEF,求直線MＮ與平面DＣＥF所成角的正值弦； (ＩI）用反證法證明:直線ME　與 ＢN 是兩條異面直線。 　 設(shè)正方形ＡBCD,DCEF的邊長為2，以Ｄ為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線DＣ,DＦ，DA為x,y,ｚ軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 則Ｍ（1,0,2),N(0,1,０）,可得＝（-１,1，2). 　 　 　 　 又=(0，0,２)為平面DCＥＦ的法向量, 可得cos(,）=· 　 因此ＭN與平面DCEF所成角的正弦值為 ｃｏs· 　 　 　　 　 　 　　 　 ……６分 (Ⅱ）假設(shè)直線ME與BN共面， 　 　 　　　 　　　　 　 　 　……8分 則AＢ平面MBEＮ，且平面MBEN與平面DＣEF交于EN 由已知,兩正方形不共面,故AB平面DCEＦ。 又AB//CＤ,因此ＡB//平面DCEＦ。面EN為平面MBEＮ與平面ＤＣEF的交線， 因此AＢ//EN。 又AＢ//CＤ//EＦ, 因此EＮ／／EF,這與ＥN∩EF＝E矛盾，故假設(shè)不成立。 因此ME與ＢN不共面,它們是異面直線.　　 　 　　　 　 　 　 ……12分 7.（１3分） 如圖，四邊形AＢCD是邊長為1的正方形,, ,且MD=NＢ=１,Ｅ為BC的中點(diǎn) （1） 求異面直線NＥ與ＡM所成角的余弦值 （2） 在線段AＮ上與否存在點(diǎn)S，使得ES平面ＡMＮ?若存在，求線段AS的長;若不存在,請闡明理由 　　 　 　 　 　 　 　 １７．解析：（1）在如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo) 依題意，得。 , 因此異面直線與所成角的余弦值為.A （2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面. , 可設(shè) 又. 由平面,得即 故，此時(shí). 經(jīng)檢查，當(dāng)時(shí),平面. 故線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí). ８.（本小題滿分12分) 　 　 　如圖，直三棱柱中,、分別為、的中點(diǎn)，平面　　 　　 　 　　　 (I)證明: (II)設(shè)二面角為6０°，求與平面所成的角的大小。 分析一:求與平面所成的線面角，只需求點(diǎn)到面的距離即可。 １９．（本小題滿分12分，（Ⅰ）問5分，(Ⅱ）問7分) 如題(1９）圖，在四棱錐中，且；平面平面，;為的中點(diǎn)，．求： (Ⅰ）點(diǎn)到平面的距離; (Ⅱ）二面角的大小. (Ⅰ)如答（１９)圖２,以S(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OD,OC分別為x軸，y軸正向,建立空間坐標(biāo)系,設(shè)，因平面 即點(diǎn)A在xoz平面上,因此 又 因AD/／BC,故BC⊥平面ＣSD，即BCS與平面 yOx重疊，從而點(diǎn)A到平面ＢCS的距離為. (Ⅱ）易知Ｃ(0,２,０),D(，0,0)． 因E為BS的中點(diǎn)． ΔBＣS為直角三角形 ， 知 設(shè)B(0,2， ),>0，則＝２，故B(０，2，2）,因此E(０，１，１) . 在CD上取點(diǎn)Ｇ,設(shè)Ｇ(),使ＧE⊥CＤ . 由故 　 ① 又點(diǎn)G在直線ＣD上，即,由=()，則有 ② 聯(lián)立①、②，解得G＝　, 故=.又由ＡD⊥CD,因此二面角E-CD-A的平面角為向量與向量所成的角，記此角為 ． 由于=，,因此 故所求的二面角的大小為 . 作于，連,則,為二面角的平面角,.不妨設(shè),則.在中,由，易得． 設(shè)點(diǎn)到面的距離為,與平面所成的角為。運(yùn)用，可求得,又可求得 　 即與平面所成的角為 分析二:作出與平面所成的角再行求解。如圖可證得,因此面。由分析一易知:四邊形為正方形，連,并設(shè)交點(diǎn)為,則，為在面內(nèi)的射影。。如下略。 分析三:運(yùn)用空間向量的措施求出面的法向量,則與平面所成的角即為與法向量的夾角的余角。具體解法詳見高考試題參照答案。 總之在目前,立體幾何中的兩種重要的解決措施:老式措施與向量的措施仍處在各自半壁江山的狀況。命題人在這里一定會(huì)兼顧雙方的利益。 ９.（本小題共１4分） 如圖,四棱錐的底面是正方形,,點(diǎn)E在棱PB上. （Ⅰ）求證:平面; 　 　 　　 (Ⅱ）當(dāng)且Ｅ為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與 平面ＰＤB所成的角的大小. 【解法２】如圖,以Ｄ為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 　 　 　設(shè) 則， (Ⅰ)∵, ∴， ∴AＣ⊥DP,AC⊥ＤＢ,∴AＣ⊥平面ＰDB， ∴平面. (Ⅱ)當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí),， 設(shè)ＡＣ∩BD＝O,連接OE，　 由(Ⅰ)知ＡC⊥平面PDB于O， 　 ∴∠ＡＥO為AE與平面PＤB所的角, 　 ∵， ∴， ∴，即AE與平面PＤB所成的角的大小為. 10.(本小題滿分13分，（Ⅰ)小問7分，(Ⅱ)小問6分） 　 如題(18)圖,在五面體ABCDEF中，AB／／DC,∠BAD=,CD＝AD=2.，四邊形AＢＦE為平行四邊形,ＦA⊥平面ABCＤ,ＦC＝3,ED=，求: 　 （Ⅰ）直線AB到平面ＥFCＤ的距離：　　 　 　　 (Ⅱ）二面角F－AD-E的平面角的正切值, 18．(本小題滿分１２分） 如圖4，在正三棱柱中， D是的中點(diǎn),點(diǎn)Ｅ在上，且。 （I） 證明平面平面 （II） 求直線和平面所成角的正弦值。 解　 (I） 如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面 又DE平面ABC，因此DEＡA． 而DEAＥ。AＡAE=A 因此DＥ平面AC　CA，又DＥ平面AＤE,故平面ADE平面AC　CA。 解法2　　如圖所示,設(shè)O使AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè) Ａ A=,則AB＝2，有關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A(0,-1,0)， B(,0，0），　 C(０,1,), D（,－,)。 易知＝(，1,0)， =(０,２,), =（,-,) 　 　　 　 設(shè)平面ＡBC的法向量為n＝（x,y,ｚ）,則有 解得x=-y， z＝-, 故可取n=(1，－,)。 因此,(n·)=＝=。 由此即知,直線AD和平面AB　C所成角的正弦值為。 11.(本小題滿分12分） 如圖3,在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE (Ⅰ)證明：平面平面； 　 (Ⅱ）求直線ＡD和平面所成角的正弦值。 解法2 如圖所示，設(shè)Ｏ是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則有關(guān)各 點(diǎn)的坐標(biāo)分別是Ａ(２,０,0,)， ．(2,0,?。?D(－1，　)，　　E(－１,0.０) 易知=（－3，，－),=(0,-,０），＝(－３,，0） 設(shè)n=(x，y，z)是平面DE的一種法向量,則 　 　 解得 故可?。睿?,0,-3，)于是 　 　 　 = 　　　　 由此即知，直線AD和平面DE所成的角是正弦為 1２.(本小題滿分１2分) 在四棱錐中,底面是矩形，平面,,． 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn),交于點(diǎn). （1）求證:平面⊥平面； 　　　 　　 (2)求直線與平面所成的角的大小; (3）求點(diǎn)到平面的距離． 措施二: (１）同措施一; (２)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則，,,　,，；設(shè)平面的一種法向量，由可得:，令,則 。設(shè)所求角為,則， 　因此所求角的大小為。 （３)由條件可得,．在中,，因此,則, ，因此所求距離等于點(diǎn)到平面距離的,設(shè)點(diǎn)到平面距離為則，因此所求距離為。 1９(本小題滿分１２分） 如圖,正方形所在平面與平面四邊形所在平面互 相垂直,△是等腰直角三角形, (I)求證：； (ＩＩ)設(shè)線段的中點(diǎn)為,在直線上與否存在一點(diǎn),使得？若存在，請指出點(diǎn)的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在，請闡明理由; （III)求二面角的大小。 （Ⅰ）由于△ABE為等腰直角三角形,AB＝AE, 因此ＡE⊥AB. 又由于平面ABEF⊥平面ABCＤ,AE平面AＢEF, 平面ＡBEＦ∩平面ABＣD=AB， 因此AE⊥平面ＡBCD． 因此AE⊥AD. 因此，AD,AB，AE兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyｚ. 設(shè)AＢ=1,則ＡE=1，B（0，1,0),Ｄ (１, 0,　0 ） , E (　0， 0, 1 ), C ( 1，　1, 0 )． 由于ＦA＝FE, ∠AEF　=　45°, 因此∠AＦＥ＝ 9０°. 從而,． 因此,，. ,. 因此EＦ⊥BE,?。臚⊥BＣ. 由于BE平面BCE,BＣ∩BＥ=Ｂ ， 因此EＦ⊥平面ＢCE. (Ⅱ)存在點(diǎn)M,當(dāng)Ｍ為AE中點(diǎn)時(shí),ＰＭ∥平面BCE． 　　 M ( 0,0, )，　 P?。?1,　,0 ). 　　　　從而=， 于是·=·=0 　 因此PＭ⊥FE，又EF⊥平面ＢCE,直線PＭ不在平面ＢCE內(nèi), 　 　 故ＰMＭ∥平面ＢCE. 　 　 　 　　 　 ………………………………8分 （Ⅲ)設(shè)平面BDF的一種法向量為，并設(shè)＝（x，y,z）. , 　 　 　 　 　 　 　　 　 即　 取y＝1，則ｘ=1,z=3。從而。 取平面AＢD的一種法向量為。 。 故二面角Ｆ—BD—A的大小為aｒcｃos?！?２分 14.(本題滿分14分） 如圖,在直三棱柱中，, ,求二面角的大小?！?　 簡答: 第一部分 五年高考薈萃 高考題 —高考題 解答題 1. A B C D E A1 B1 C1 D1 （全國Ⅱ1９）（本小題滿分12分) 如圖,正四棱柱中,，點(diǎn)在上且. （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ)求二面角的大小. 覺得坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸, A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 建立如圖所示直角坐標(biāo)系.依題設(shè)，. ， . （Ⅰ）證明　 由于,, 故，． 又， 因此平面. （Ⅱ）解 設(shè)向量是平面的法向量,則 ,． 故,． 令,則,,. 等于二面角的平面角, . 因此二面角的大小為． ２. (安徽)如圖，在四棱錐中,底面四邊長 為１的菱形，, , ，為 的中點(diǎn)，為的中點(diǎn) （Ⅰ)證明:直線; (Ⅱ)求異面直線AＢ與ＭD所成角的大小; (Ⅲ)求點(diǎn)B到平面OCD的距離。 作于點(diǎn)Ｐ,如圖,分別以AB,AP,ＡO所在直線為 軸建立坐標(biāo)系 , （1)證明 設(shè)平面OCD的法向量為，則 即 取,解得 (2)解 設(shè)與所成的角為, ,　與所成角的大小為. (3)解 　設(shè)點(diǎn)B到平面ＯCＤ的距離為, 則為在向量上的投影的絕對值, 　 由 ,　得.因此點(diǎn)B到平面ＯCD的距離為 3. (湖南１7 ）如圖所示,四棱錐P-ABＣD的底面 ABCD是邊長為1的菱形,∠BＣＤ=6０°,E是CＤ 的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD，PＡ=2. 　 (Ⅰ)證明：平面PBＥ⊥平面PAB； (Ⅱ）求平面PＡＤ和平面PＢE所成二面角(銳角)的大小． 如圖所示,以A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系．則有關(guān)各點(diǎn)的 坐標(biāo)分別是A(0,0,0），B（1，0,0）， P（０,0,2）, （Ⅰ）證明 由于， 平面PＡB的一種法向量是, 因此共線.從而BE⊥平面PAＢ. 又由于平面PＢE， 故平面PBＥ⊥平面ＰAB． (Ⅱ)解 易知　 　 設(shè)是平面PＢＥ的一種法向量,則由得 因此 設(shè)是平面PAD的一種法向量，則由得因此故可取 　 于是， 　 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是 4.　(福建18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,則面PAD⊥底面 AＢCＤ,側(cè)棱ＰＡ=PD=，底面ABCD為直角梯形, 其中BC∥ AD，AB⊥AD,AD=2ＡＢ＝２BC=２,O為AD中點(diǎn). （Ⅰ)求證:PO⊥平面ABＣD; （Ⅱ)求異面直線PD與CD所成角的大??； （Ⅲ)線段ＡD上與否存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為？若存在,求出 的值；若不存在,請闡明理由. （Ⅰ）證明 在△PAD中ＰA=PD，Ｏ為AD中點(diǎn)，因此PＯ⊥ＡＤ, 又側(cè)面PAD⊥底面ABCＤ,平面平面AＢCD=AD, 平面PAD, 因此PＯ⊥平面AＢCＤ. (Ⅱ)解 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸、y軸、 z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-ｘyｚ,依題意，易得 Ａ（0,-１,0),B（1,-1,0),C(1,０，0)，D(0，1,0）,Ｐ(０,０,１), 因此 因此異面直線PB與CＤ所成的角是arccｏｓ， (Ⅲ)解 假設(shè)存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCＤ的距離為， 由(Ⅱ）知 設(shè)平面PCＤ的法向量為n＝(x0,y０,z0）. 則因此即, 取x0=1，得平面PCD的一種法向量為n=(１,１,1). 設(shè)由，得 解ｙ=-或y=(舍去), 此時(shí)，因此存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí). 5． （福建理?18)如圖，正三棱柱ＡBC-A1B1C1的所有 棱長都為2,D為CC1中點(diǎn)。 （Ⅰ）求證:AB1⊥面Ａ１BD; （Ⅱ)求二面角A－A１D-Ｂ的大小； （Ⅲ）求點(diǎn)Ｃ到平面A1BD的距離； （Ⅰ)證明 取中點(diǎn)，連結(jié)． 為正三角形,. 在正三棱柱中,平面平面, 平面. 取中點(diǎn),覺得原點(diǎn)，，,的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,，，,， ，，． ，, x z A B C D O F y ，. 平面． （Ⅱ)解 設(shè)平面的法向量為. ，. ，, 令得為平面的一種法向量． 由(Ⅰ)知平面, 為平面的法向量. ，. 二面角的大小為． (Ⅲ)解 　由(Ⅱ）,為平面法向量， ． 點(diǎn)到平面的距離. ６.(廣東卷)如圖所示，AF、DE分別是⊙Ｏ、⊙O1的直 徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AＤ=8,ＢＣ是⊙O的直徑, AB=AC=6,ＯＥ/／AD. (Ⅰ)求二面角Ｂ—ＡD—Ｆ的大小； （Ⅱ)求直線BD與EF所成的角. 解 （Ⅰ)∵ＡD與兩圓所在的平面均垂直, ∴AＤ⊥AＢ,　AＤ⊥ＡF，故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角, 依題意可知，ABCＤ是正方形,因此∠ＢAＤ=4５0. 即二面角B—AD—F的大小為450． （Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn)，BC、AF、ＯE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),則Ｏ（０，0，0),A（０，,０),B（,0,0）,Ｄ（0,，8），Ｅ(0,0,8),F（０,,０) 因此, . 設(shè)異面直線BD與EF所成角為, 則 直線BＤ與EF所成的角為 ７．(江西）如圖，在長方體ＡBCD—Ａ１B1C1D1中,ＡＤ=AA１=1,ＡB=２,點(diǎn)Ｅ在棱AB上移動(dòng)． （1)證明:D１Ｅ⊥A1D； （2)當(dāng)E為ＡB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離； (3)AE等于何值時(shí)，二面角D１—EC—Ｄ的大小為. 以D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DA，DC，DD1分別為x, y,　z軸,建　 　 　 立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=ｘ,則A1（1，0,1),D1（０，０，1), E(1,ｘ，0),Ａ（1，0,0),C(0,2，0） （1)證明 　 (2）解 由于E為AＢ的中點(diǎn),則E（1,1，0）, 從而， ， 設(shè)平面ＡＣD1的法向量為， 則 也即,得,從而,因此點(diǎn)E到平面AD1C的距離為 (3)解　 設(shè)平面D1EC的法向量, ∴ 由 令ｂ＝1，　∴c＝2,a=２－x, ∴ 依題意 ∴（不合，舍去）， ． ∴AE=時(shí),二面角D1—ＥＣ—Ｄ的大小為． 第二部分 三年聯(lián)考匯編 聯(lián)考題 解答題 1.(湖南省衡陽市八中高三第三次月考試題)如圖，P—ABCD是正四棱錐，是正方體，其中　 (1)求證:； （2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值; （3）求到平面PＡD的距離 覺得軸，為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系 (1)證明 　設(shè)Ｅ是BD的中點(diǎn),Ｐ—ABCD是正四棱錐，∴ 又， ∴ ∴∴ ∴ ，　　即。 (2)解　 設(shè)平面PAD的法向量是, ∴ 　獲得,又平面的法向量是∴　 ， ∴。 M P D C B A （３）解 　 ∴到平面PＡＤ的距離。 2. (陜西省西安鐵一中高三12月月考)如圖,邊長為2的等 邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝， M為BC的中點(diǎn) （Ⅰ）證明:AM⊥PM ; (Ⅱ）求二面角P－AM-D的大小; z y x M P D C B Á （Ⅲ)求點(diǎn)D到平面AMＰ的距離。 (Ⅰ) 證明 以D點(diǎn)為原點(diǎn),分別以直線DA、DC為x軸、y軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 依題意,可得 ∴ 　 ∴　 即，∴AM⊥PM . 　 (Ⅱ)解 設(shè),且平面PAM,則 　即 ∴ , 取，得 　 　 取,顯然平面AＢＣD， ∴ 結(jié)合圖形可知,二面角Ｐ－ＡM－D為45°； 　 (Ⅲ)　設(shè)點(diǎn)Ｄ到平面ＰAＭ的距離為，由(Ⅱ)可知與平面PAM垂直,則 = 即點(diǎn)Ｄ到平面ＰＡM的距離為　 　 　 　 　 3.(廈門市第二外國語學(xué)?！呷龜?shù)學(xué)第四次月考）已知點(diǎn)Ｈ在正方體的對角線上,∠HDA=． A B C D x y z H (Ⅰ)求DH與所成角的大小; (Ⅱ)求DH與平面所成角的大?。? 解：覺得原點(diǎn)，為單位長建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè) 則,．連結(jié)，． 設(shè)，由已知, 由 可得.解得， 因此．（Ⅰ)由于， 因此.即DH與所成的角為． （Ⅱ)平面的一種法向量是． 由于, 因此. 可得DH與平面所成的角為. A C D O B E y z x ４.（廣東省北江中學(xué)高三上學(xué)期１2月月考)如圖, 在四周體ABCD中,O、E分別是ＢD、ＢC的中點(diǎn), （1）求證:平面BＣD; （2)求異面直線AB與CＤ所成角的余弦值； (3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離. ?、?證明 連結(jié)OC ，. 在中，由已知可得 而,? A C D O B E y z x 即 ?∴平面.　 　(２）解　 以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則 , 　 ∴ 異面直線AB與CD所成角的余弦值為． ⑶解 設(shè)平面ＡCＤ的法向量為則 , ∴,令得是平面ＡCD的一種法向量. 又?∴點(diǎn)Ｅ到平面ACD的距離 ． A B C D E F ５.（廣東省高明一中高三上學(xué)期第四次月考)如圖, 已知平面,平面，△為 等邊三角形,，為的中點(diǎn)． (1）　求證:平面; (2) 求證:平面平面; （3) 求直線和平面所成角的正弦值. 設(shè),建立如圖所示的坐標(biāo)系，則 . ∵為的中點(diǎn)，∴.? 　  (1)　證明 　，　 　 ∵，平面,∴平面．  (2) 證明　 ∵， ∴，∴. 　 　　 ∴平面,又平面， ∴平面平面．　 　 　 　 　　　  (3) 解 設(shè)平面的法向量為，由可得： 　　　,?。? 　 　又，設(shè)和平面所成的角為，則 　 ?。? ∴直線和平面所成角的正弦值為. 　 6. (廣東省廣州市高三年級調(diào)研測試)如圖，已知 等腰直角三角形，其中∠=9０º，． 點(diǎn)A、Ｄ分別是、的中點(diǎn)，現(xiàn)將△沿著邊 折起到△位置，使⊥，連結(jié)、. （1）求證:⊥； (2)求二面角的平面角的余弦值． （1)證明 ∵點(diǎn)A、Ｄ分別是、的中點(diǎn)， ∴.　 　 ∴∠=９0º. ∴. ∴ , 　 　 　 　　　　 　 　 　 　 ∵, ∴⊥平面.　 　 　 　 　 　　 　 　　 ∵平面, ∴. 　 　 　 　 （2)解　 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則(－1,0,0）,（-2,1，0)，（0,０，1）. ∴=（－1,1，0），=（１，0,1), 　 　　 　 設(shè)平面的法向量為=(x，y，z）,則： ， 　　 　 令,得， ∴=(1，1，-1). 顯然,是平面的一種法向量，＝(）. 　 ∴cos<,＞=． ∴二面角的平面角的余弦值是. 　 　 9月份更新 1． 連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦．半徑為４的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于2、4,M、N分別為AB、ＣD的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題: ①弦AB、CＤ也許相交于點(diǎn)M　 ?、谙褹B、ＣD也許相交于點(diǎn)Ｎ　?、郏蚇的最大值為5 　?、躆N的最小值為l，其中真命題的個(gè)數(shù)為 　 　 　 A.1個(gè) 　　　 　 　 B.２個(gè) 　 　 　 C．3個(gè) 　　Ｄ.４個(gè) 答案　C ２.某幾何體的一條棱長為,在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中,這條棱的投影分別是長為a和ｂ的線段，則a＋b的最大值為( 　)A. B.　C. Ｄ． 答案 C 3．等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為,分別是的中點(diǎn)，則所成角的余弦值等于 　 A C B D P 答案 . 4.如圖，在三棱錐中，,，． （Ⅰ)求證：;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離. 解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié).,．,． A C B E P ,平面．平面，． （Ⅱ）,,.又，. 又,即，且,平面．取中點(diǎn)．連結(jié)． ,．是在平面內(nèi)的射影,. A C B D P H 是二面角的平面角．在中,,，,.二面角的大小為． （Ⅲ）由(Ⅰ）知平面，平面平面．過作,垂足為． 平面平面,平面．的長即為點(diǎn)到平面的距離. A C B P z x y H E 由(Ⅰ)知，又，且，平面.平面,. 在中,,， .． 點(diǎn)到平面的距離為. 解法二:（Ⅰ）,,.又,. ，平面．平面,． （Ⅱ)如圖，覺得原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則． 設(shè)．，，.取中點(diǎn)，連結(jié)． ,，,．是二面角的平面角． ,，， .二面角的大小為． (Ⅲ）,在平面內(nèi)的射影為正的中心,且的長為點(diǎn)到平面的距離． 如（Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系．，點(diǎn)的坐標(biāo)為.． 點(diǎn)到平面的距離為． 5.如圖,已知是棱長為的正方體，點(diǎn)在上,點(diǎn)在上，且． (1）求證:四點(diǎn)共面;(4分）;（2)若點(diǎn)在上,，點(diǎn)在上,，垂足為,求證：平面;(４分）;(３)用表達(dá)截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求． 證明:(１)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則，,, 因此，故，,共面．又它們有公共點(diǎn)，因此四點(diǎn)共面. (２)如圖,設(shè),則，而,由題設(shè)得, 得．由于,，有，又,,因此,，從而,．故平面． （3）設(shè)向量截面，于是，． 而，，得,,解得，，因此.又平面，因此和的夾角等于或（為銳角). 于是．?故. —聯(lián)考題 1.　（江西省鷹潭市高三第一次模擬）已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，又知. (Ⅰ)求證:平面； (Ⅱ)求到平面的距離； （Ⅲ)求二面角的大小. (Ⅰ）證明 如圖,取的中點(diǎn),則,∵,∴, 又平面,覺得軸建立空間坐標(biāo)系, 則,,,，，， ,,由,知， 又,從而平面. 　(Ⅱ)解　　由,得.設(shè)平面的法向量 為,,，, 設(shè),則 ∴點(diǎn)到平面的距離. (Ⅲ)解 設(shè)面的法向量為,，, ∴ 設(shè),則,故, 根據(jù)法向量的方向可知二面角的大小為. 2. （山西大學(xué)附中二月月考)正三棱柱所有棱長都是，是棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn),交于點(diǎn) （1)求證：; （2)求二面角的大小(用反三角函數(shù)表達(dá)）; ?。?）求點(diǎn)到平面的距離. （1）證明　 建立如圖所示， ∵ 　 ∴　, 即AＥ⊥Ａ1D,　 AE⊥BD 　, ∴AＥ⊥面A1BD （2)解 設(shè)面DA1Ｂ的法向量為 由　, ∴取 設(shè)面AA1B的法向量為 , 由圖可知二面角D—BA1—A為銳角,∴它的大小為arｃｏs . （3)解 　,平面Ａ1ＢD的法向量取, 則B1到平面Ａ１ＢD的距離d＝ . ３. (安徽省皖南八校高三第一次聯(lián)考）已知斜三棱柱 ,，, 在底面上的射影恰為的中點(diǎn), 又知。 (Ｉ）求證：平面； (II）求到平面的距離; (III)求二面角的大小。 (I）證明 如圖,取的中點(diǎn),則，由于, ?因此,又平面, 覺得軸建立空間坐標(biāo)系, 則,，, ,， ,， ,由，知, 又,從而平面； （ＩＩ）解 由，得。 設(shè)平面的法向量為,，, 因此,設(shè),則 ?因此點(diǎn)到平面的距離。 ?（III)解 　再設(shè)平面的法向量為，,， ?因此,設(shè)，則, ?故,根據(jù)法向量的方向, ?可知二面角的大小為。 4. （　四川省成都市一診)　如圖,四棱錐P-ＡBＣＤ中,PA⊥平面ＡＢCD,PA＝AＢ=BC＝2,Ｅ為PＡ的中點(diǎn),過E作平行于底面的平面ＥＦGH，分別與此外三條側(cè)棱相交于點(diǎn)Ｆ、Ｇ、Ｈ． 已知底面AＢCD為直角梯形,AＤ∥BC,AB⊥AＤ,∠ＢCＤ＝1３5°． （1） 求異面直線AF與BG所成的角的大小; （2） 求平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小. 解　 由題意可知:AP、AD、ＡＢ兩兩垂直,可建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－ｘyz?由平面幾何知識(shí)知:AＤ＝4,　 D (0，　４， 0）, 　B （2 ,　０　， 0 ）， C ( 2, ２, 0 ), Ｐ （0, 0,?。?， 　Ｅ　(0, 0, １), 　F (1　，0, 1)， G　(1　,1 ,1）　?（1)＝(1,0,1），＝(－1,１,１) ∴·=0，?∴ＡF與BG所成角為　 .　 　 　?(2） 可證明AＤ⊥平面AＰB，?∴平面APB的法向量為n=(0，1，０) 設(shè)平面ＣＰD的法向量為ｍ=(1,ｙ,z)?由 Þ 　 故m=(1，1,2) ∵ｃos<m,n>＝?∴平面ＡＰＢ與平面CPD所成的銳二面角的大小為ａrccos. 5. （安徽省淮南市高三第一次模擬考試)如圖，正三棱柱ＡBC－的底面邊長是2，Ｄ是側(cè)棱C的中點(diǎn)，直線AＤ與側(cè)面所成的角為45°． ( 1 )求二面角Ａ-ＢD-C的大小； (２)求點(diǎn)C到平面ABD的距離. 解 (1）如圖,建立空間直角坐標(biāo)系． 則. 設(shè)為平面的法向量． 由 得. 取 　 　　　　 　　　　 　 　 　 又平面的一種法向量 　 　　 　 　 .　 結(jié)合圖形可知，二面角的大小為.　　　 　 (Ⅲ)由(Ⅱ）知 D A1 D1 C1 B1 E1 B A C P O 點(diǎn)到平面的距離＝. 6. (安徽省巢湖市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測）如圖, 、分別是正四棱柱上、下底面的中 心，是的中點(diǎn)，. 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 （Ⅰ)求證:∥平面; (Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的大小； 　 　 　 z x y D A1 D1 C1 B1 E1 B A C P O （Ⅲ) 當(dāng)取何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影正好為的重心？ 　 　 　 　 　 　　 　 　　 　 　 　 　 　　 　 　 　 以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線所在直線分別為軸， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)， 則得、、、、 (Ⅰ)證明　　由上得、、 ,設(shè)得 解得, ∴ , ∴∥平面 　 _ （Ⅱ)解 當(dāng)時(shí),由、得、、 設(shè)平面的法向量為,則由，得，　,∴直線與平面所成角的大小為． (Ⅲ）　解　 由(Ⅰ)知的重心為,則, 若在平面內(nèi)的射影正好為的重心,則有,解得 ∴當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)的射影正好為的重心. 7． (北京市東城區(qū)高三綜合練習(xí)二)如圖，在四棱錐P—ABCD中, 平面PAB⊥平面ABＣＤ,底面AＢCＤ是邊長為2的正方形, △PＡB等邊三角形. （1）求二面角B—AC—P的大小; （2)求點(diǎn)A到平面ＰＣD的距離. 解 　(1)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O—xｙz, 則Ａ(－1，0,０)，B(1，0，0)， 則Ｐ(０,0，），C（1,2,0） 設(shè)為平面PＡC的一種法向量, 則 又 令z=1，得 得 又是平面AＢC的一種法向量, ?設(shè)二面角B—AＣ—P的大小為, 則 （２）設(shè)為平面PCD的一種法向量. 則 由D(-1，2,０），可知），可得a=0,令，則ｃ=2. 得， 設(shè)點(diǎn)A到平面ＰCD的距離為ｄ，則 ∴點(diǎn)A到平面ＰCＤ的距離為 8. （北京市十一學(xué)校高三數(shù)學(xué)練習(xí)題)如圖, 在正四棱錐中，,點(diǎn)在 棱上． （Ⅰ)問點(diǎn)在何處時(shí),,并加以證明； (Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離； (Ⅲ)求二面角的大小. 解　 (Ⅰ）當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí),． 連接AC,且,由于四邊形ABCD為正方形, ∴O為AC的中點(diǎn),又E為中點(diǎn), ∴OE為△ACP的中位線， ∴,又, ∴. (Ⅱ)作,依題意是正方形的中心,如圖建立空間坐標(biāo)系. 則, , ，,. ∴　， , ,, 設(shè)面的法向量為 　 , 點(diǎn)到平面的距離為. (Ⅲ)設(shè)二面角的平面角為,平面的法向量為． 設(shè)平面的法向量為, . .　 ９. (北京市西城區(qū)4月高三抽樣測試)如圖，在三棱錐中，,,平面平面． 　 (Ⅰ）求證:;　 　 　 (Ⅱ）求二面角的大小; (Ⅲ）求異面直線和所成角的大小.　 作于點(diǎn)， 　平面平面, 平面. 過點(diǎn)作的平行線,交于點(diǎn). 如圖,覺得原點(diǎn),直線分別為軸, 軸，軸,建立空間直角坐標(biāo)系 .　 .　　 . ， . 　 （Ⅰ)證明　 　　 ． 又． 　 　　 　 　 　 　 　　 　 　 　 （Ⅱ)解 作于點(diǎn)，連結(jié). 平面,　根據(jù)三垂線定理得 ， 是二面角的平面角. 　 　　 　 　 　 　 在中， , 　從而, ， 　 　 　　 　 　 　 即二面角的大小是. 　 　 　 　　 　 　　 （Ⅲ)解， , E O1 O D1 C1 B1 D C B A A1 　 異面直線和所成角的大小為arｃcｏs. １０.(廣東地區(qū)01月份期末試題）　如圖，直四棱柱 ＡＢCＤ—A1B1Ｃ1D１的高為3，底面是邊長為4 且∠DAB＝60°的菱形,ＡC∩BD=O，A1Ｃ1∩B１D１=O1, E是O1Ａ的中點(diǎn). （1)求二面角O1-ＢC-D的大小; （２）求點(diǎn)E到平面O1ＢC的距離. 解 (1)∵OO１⊥平面AＣ， ∴ＯO1⊥OA,ＯO1⊥ＯＢ,又OＡ⊥OB， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(如圖） ∵底面ＡＢCＤ是邊長為4，∠DAB＝60°的菱形, ∴ＯA＝2，OB=2， 則A（2，０，0），B（0,２,0），C（－2，0，0), Ｏ1（0,0,3） 設(shè)平面O1BＣ的法向量為＝(x,y，z), 則⊥,⊥， ∴，則z=２，則x=－，y=３， ∴=(-，3，2),而平面AC的法向量=（０,0,３） ∴ｃoｓ<，>=, 設(shè)O1－BＣ－D的平面角為α，　∴cosα=∴α=60°． 故二面角Ｏ1-ＢC－D為60°. (2)設(shè)點(diǎn)Ｅ到平面O1ＢC的距離為ｄ， ∵E是O1A的中點(diǎn)，∴=(－，0,), 則ｄ=,∴點(diǎn)E到面O1BC的距離等于.