【備戰(zhàn)2014】高中數(shù)學(xué)第44講立體幾何中的向量方法(二)空間角與距離的求解配套試題(含解析)理新人教B版

[ 第 44 講 立體幾何中的向量方法 ( 二) ——空間角與距離的求解 ] ( 時(shí)間： 45 分鐘 分值： 100 分 ) 基礎(chǔ)熱身 1．設(shè)平面 α 的法向量為 a＝ (1 ，2，－ 2) ，平面 β 的法向量為 b＝ ( －2，－ 4，k) ，若 α∥ β ，則 k 等于 ( ) A． 2 B ．－ 4 C． 4 D ．－ 2 2．[2013 銀川一模 ] 如果平面的一條斜線和它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是 a＝(0 ， 2， 1) ， b＝ ( 2， 5， 5) ，那么這條斜線與平面的夾角是 ( ) A． 90 B ． 60 C． 45 D ． 30 3．[2013 沈陽一模 ] 正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都是 1，則側(cè)棱與底面所成的角為 ( ) A． 75 B ． 60 C． 45 D ． 30 4．[2013 蘭州一模 ] 在空間直角坐標(biāo)系 O－ xyz 中，平面 OAB的法向量為 n＝ (2 ，－ 2， 1) ，已知 P( － 1， 3， 2) ，則點(diǎn) P 到平面 OAB的距離 d 等于 ( ) A． 4 B ． 2 C． 3 D ． 1 能力提升 ABCD－A BCD 中，底面是邊長(zhǎng)為 2 的正方形，高 5．[2013 長(zhǎng)春一模 ] 已知在長(zhǎng)方體 為 4，則點(diǎn) 1 到截面 1 1 的距離是 ( 1 1 1 1 ) A ABD 8 3 A. 3 B. 8 4 3 C. 3 D. 4 6．[2013 西寧一模 ] 正方體 ABCD－ A B CD 中，二面角 A－ BD－ B 的大小為 () 1 1 1 1 1 1 A． 60 B ． 30 C． 120 D ． 150 已知△ ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(2 ， 3， 1) ， B(4 ， 1，－ 2) ， 7．[2013 西安一模 ] (6 ， 3， 7) ，則△ 的重心坐標(biāo)為 ( ) C ABC 7 7 A. 6， ， 3 B. 4， ， 2 2 3 14 7 C. 8， 3 ， 4 D. 2， 6， 1 8．在正方體 1 1 1 1－ 中， E 是 1 1 的中點(diǎn)，則異面直線 與 夾角的余弦值為 A B CD ABCD CD DE AC ( ) 1 10 1 A．－ 10 B ．－ 20 1 10 C. 20 D. 10 9．在直三棱柱 A1B1C1－ ABC中，∠ BCA＝ 90，點(diǎn) D1， F1 分別是 A1B1， A1C1 的中點(diǎn)， BC＝ CA＝ CC1，則 BD1 與 AF1 所成的角的余弦值是 ( ) 30 1 30 15 A. 10 B. 2 C. 15 D. 10 10．已知正方體 ABCD－ A1B1C1D1，直線 BC1與平面 A1BD所成的角的余弦值是 ________． 11．如圖 K44－1，在空間直角坐標(biāo)系中有棱長(zhǎng)為 a 的正方體 ABCD－ A1B1C1D1，點(diǎn) M是線 段 DC1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) M到直線 AD1距離的最小值是 ________． 圖 K44－ 1 圖 K44－ 2 12．[2013 鄭州二模 ] 如圖 K44－ 2 所示， ⊥平面 ， ⊥ ， ＝ ＝ 1， ＝ 2， PA ABC AC BC PA AC BC 則二面角 A－ PB－ C的余弦值為 ________． 13．在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面α 的一般方程為： Ax＋ By＋ Cz＋ D＝ 0( A，B， C， ∈ R，且 ， ， 不同時(shí)為零 ) ，點(diǎn) ( 0， 0， 0) 到平面 α 的距離為： ＝ | Ax ＋ By ＋Cz ＋ D| ， 0 0 0 D A B C P x y z d A2＋ B2＋ C2 則在底面邊長(zhǎng)與高都為 2 的正四棱錐中，底面中心 O到側(cè) 面的距離等于 ________． 14．(10 分) 如圖 K44－ 3，在四棱錐 P－ ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA⊥底面 ABCD， E 是 PC的中點(diǎn)，已知 AB＝ 2， AD＝ 2 2， PA＝ 2，求： (1) 三角形 PCD的面積； (2) 異面直線 BC與 AE所成的角的大小． 圖 K44－ 3 15． (13 分 ) 如圖 K44－ 4 甲，在直角梯形 ABCD中， AB∥ CD，∠ BAD＝ 90， AB＝2， AD ＝3， ＝ 1，點(diǎn) ， F 分別在 ， 上，且 ＝ 1 ， ＝ 1 . 現(xiàn)將此梯形沿 EF 折至使 AD CD E AD BC AE 3AD BF 3BC 2 ＝ 3的位置 ( 如圖乙 ) ． (1) 求證： AE⊥平面 ABCD； (2) 求點(diǎn) B 到平面 CDEF的距離； (3) 求直線 CE與平面 BCF所成角的正弦值． 圖 K44－ 4 難點(diǎn)突破 16．(12 分)[2013 長(zhǎng)沙三模 ] 如圖 K44－ 5，正△ ABC的邊長(zhǎng)為 2a，CD是 AB邊上的高，E， F 分別是 AC和 BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ ABC沿 CD翻折成直二面角 A－CD－ B. (1) 試判斷翻折后直線 AB與平面 DEF的位置關(guān)系，并說明理由； (2) 求異面直線 AB與 DE所成角的余弦值； (3) 求二面角 B－ AC－ D的余弦值． 圖 K44－ 5 3 4 5 課時(shí)作業(yè) ( 四十四 ) 【基礎(chǔ)熱身】 1． C [ 解析 ] ∵ α ∥ β，∴ ( － 2，－ 4， k) ＝ λ (1 ，2，－ 2) ，∴－ 2＝λ ， k＝－ 2λ ， ∴k＝ 4. a b 3 2． D [ 解析 ] cos θ ＝ | a|| b| ＝ 2 ，因此所求的夾角為 30. 3． C [ 解析 ] 如圖，四棱錐 P— ABCD中，過 P作 PO⊥平面 ABCD于 O，連接 AO，則 AO 是 AP在底面 ABCD上的射影， ∴∠ PAO即為所求線面角， ∵ AO＝ 2 AO 2 ，PA＝ 1，∴ cos ∠ PAO＝ ＝ ，∴ ∠ PAO＝ 45， 2 PA 2 即所求線面角為 45 . → | － 2－ 6＋ 2| 6 4． B [ 解析 ] d＝ | OP n| ＝ 2. | n| ＝ 22＋（－ 2） 2＋ 12＝ 3 【能力提升】 5． C [ 解析 ] 如圖，以 D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 D－ xyz， → → ＝ 則 A1(2 ， 0， 4) ， A(2 ， 0， 0) ， B1(2 ， 2， 4) ， D1(0 ， 0， 4) ，AD1＝ ( － 2，0， 4) ， AB1 → → n＝ ( x， y，z) ，則 nAD1＝ 0， 即 (0 ， 2， 4) ， AA＝ (0 ， 0， 4) ，設(shè)平面 ABD 的法向量為 1 1 1 → ＝ 0， nAB1 － 2x＋ 4z＝ 0， 解得 x＝ 2z 1 1 1 2y＋ 4z＝0， 且 y＝－ 2z，不妨設(shè) n＝(2 ，－ 2，1) ，設(shè)點(diǎn) A 到平面 ABD 的距 → 4 離為 d，則 d＝ | AA1 n| | n| ＝ 3. 6． C [ 解析 ] 以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖． 設(shè) A(1 ， 0， 0) ， D1(0 ， 0，1) ， B(1 ，1， 0) ， B1(1 ， 1， 1) ， C(0 ，1， 0) ， → 則 AC＝ ( － 1， 1， 0) 為平面 BBD 的一個(gè)法向量． 1 1 設(shè) n ＝ ( ， ， ) 為平面 1 的一個(gè)法向量． x y z ABD → → 則 nAD1＝ 0， nAB＝ 0， 6 → → － x＋ z＝ 0， z＝ x， 又 AD1＝ ( － 1， 0，1) ， AB＝(0 ， 1， 0) ，∴ y＝ 0. ∴ y＝ 0. 取 n＝ (1 ， 0， 1) ． ∴ cos 〈 → ， 〉＝－ 1 . ∴〈 → ， 〉＝ 120，結(jié)合圖形知二面角 － 1 － 1 的大小為 AC n 2 AC n A BD B 120 . 7．B [ 解析 ] △ 的重心坐標(biāo)為 x ＝ 2＋ 4＋ 6 3＋ 1＋ 3 7 1＋（－ 2）＋ 7 3 ＝ 4， ＝ 3 ＝ ， ＝ 3 ABC y 3 z ＝2. 8．D [ 解析 ] 如圖建立直角坐標(biāo)系 D－ xyz ，設(shè) DA＝ 1，A(1 ，0，0) ，C(0 ，1，0) ，E 0，1， 1 . 2 → → 1 ，若異面直線 DE與 AC所成的角為 θ， 則 AC＝ ( － 1， 1， 0) ， DE＝ 0， ， 1 2 則 cos θ ＝ |cos 〈 → ， → 〉| ＝ 10 . AC DE 10 1 9． A [ 解析 ] 建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè) 1 － ， 0， 1 ， BC＝ 1，則 A( － 1， 0， 0) ， F 2 1 1 → 1 →1 1 1 ， 1 →1 →1 1 － ，－ ， 1 1 ， 0， 1 － ， B(0 ，－ 1，0) ，D 2 2 ，AF＝ 2 ，BD＝ 2 2 . ∴ cos〈 AF，BD〉＝ → → 30 AF BD 1 1 ＝ 10 . → → | AF| | BD| 1 1 10. 3 [ 解析 ] 如下圖，以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 DA， DC， DD1 分別為 x 軸， y 軸， z 軸 3 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 1，則 D(0 ，0，0) ，A1( 1，0，1) ，B(1 ，1，0) ，C1(0 ， → → ， 1，0) → 1， 1) ，∴ DA＝(1 ， 0， 1) ，DB＝ (1 ，BC＝ ( － 1， 0， 1) ，設(shè)平面 A BD的一個(gè)法向量 1 1 1 → x＋ z＝ 0， z＝－ x， n DA＝ 0， 為 ＝ ( x ， ， z ) ，則 1 ∴ ∴ n y → x＋ y＝ 0， y＝－ x， 令 x＝1 n DB＝ 0， 得，n＝ (1 ，－1，－ 1) ，設(shè)直線 BC 與平面 A BD所成的角為 θ，則 sin θ＝ |cos 1 1 → | →1 | 2 6 BC n ＝ ＝ 3 ， 〈BC， n〉 | ＝ → 1 2 3 | BC1| | n| 2 3 ∴ cosθ ＝ 1－ sin θ ＝ 3 . 7 11. 3 [ 解析 ] 設(shè) (0 ， ， )(0 ≤ ≤ ) ， →1＝( － ，0， ) ，直線 1 的一個(gè)單位方 3 a M m m m a AD a a AD 向向量 s0＝ － 2 2 → 的距離 ，0， ，由 MD1＝ (0 ，－ m， a－m) ，故點(diǎn) M到直線 AD1 2 2 d＝ → 2 →2 2 2 1 2 3 2 1 2 | MD| － | MDs | ) ＝ m＋（ a－ m） － 2（ a－ m） ＝ 2m－ am＋ 2a ，根式 1 1 0 － a a 3 a 2 a 1 21 2 3 內(nèi)的二次函數(shù)當(dāng) m＝－ 3＝ 3時(shí)取最小值 2 3 － a 3＋ 2a ＝ 3a ，故 d 的最小值為 3 a. 2 2 12. 3 [ 解析 ] 以 C為原點(diǎn)， CA為 x 軸， CB為 y 軸建立空間直角坐標(biāo)系 C－ xyz， 3 則 A(1 ， 0， 0) ， B(0 ， 2， 0) ，C(0 ， 0，0) ， P(1 ，0， 1) ， → → 2，－ 1) → ， 2， 0) ， ∴ AP＝ (0 ， 0， 1) ， PB＝ ( －1， ，CB＝ (0 設(shè)平面 APB 的法向量為 1＝ ( x 1， y 1， 1) ，平面 的法向量為 n 2＝ ( x 2， 2， 2) ，則 n z PBC y z z1＝ 0， － x1＋ 2y1－ z1＝ 0，2y2＝ 0， 取 n1＝ (2 ， 2 ，0) ， n2＝ ( －1， 0， 1) ． － x2＋ 2y2－ z2＝ 0， ∴ cos〈 1， 2〉＝ － 2 ＝－ 3 . n n 6 2 3 3 結(jié)合圖形知二面角 A－ PB－ C的余弦值為 3 . 2 5 如圖，以底面中心 O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 O－ xyz，則 A(1 ，1， 13. [ 解析 ] 5 0) ， ( － 1， 1， 0) ， (0 ， 0，2) ，設(shè)平面 的方程為 ＋ ＋ ＋ ＝ 0，將以上 3 個(gè)坐 B P PAB Ax By Cz D 標(biāo)代入計(jì)算得 1 A＝ 0，B＝－ D，C＝－ 2D， 8 1 ∴平面 PAB的方程為－ Dy－ 2Dz＋ D＝0， 即 2y＋ z－ 2＝ 0，∴ d＝ |2 0＋ 0－2| 2 5 22＋ 12 ＝ 5 . 14．解： (1) ∵ PA⊥底面 ABCD，∴ PA⊥ CD，又∵ CD⊥AD， ∴ CD⊥平面 PAD， ∴ CD⊥PD， 又∵ PD＝ 22＋（ 2 2） 2＝ 2 3， CD＝ 2， 1 ∴△ PCD的面積為 2 2 2 3＝ 2 3. (2) 方法一：取 PB的中點(diǎn) F，連接 EF，AF，則 EF∥ BC，∴∠ AEF( 或其補(bǔ)角 ) 是異面直線BC與 AE所成的角． 在△ AEF中， EF＝ 2，AF＝ 2， AE＝ 2， ∴△ AEF是等腰直角三角形， π π ∴∠ AEF＝ 4 ，∴異面直線 BC與 AE所成的角大小為 4 . 方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則 B(2 ， 0， 0) ， C(2 ， 2 2，0) ，E(1 ， 2， 1) ， → ， 2， → 2， 0) ， ∴ AE＝ (1 1) ， BC＝ (0 ， 2 → → 設(shè) AE與BC的夾角為 θ ，則 → → 4 2 AEBC cos θ＝ → → ＝ ＝ 2 . | AE|| BC| 2 2 2 π π 又∵ 0＜ θ ≤ 2 ，∴ θ ＝ 4 . 故異面直線 BC與 AE所成的角的大小是 π4 . 15．解： (1) 證明：由題意知 AE＝1， DE＝ 2， AD＝ 3， 2 2 2 ∴ AE＋ AD＝ DE. ∴∠ EAD＝ 90，即 EA⊥AD. 又 EA⊥ AB， AB∩ AD＝ A，∴ AE⊥平面 ABCD. (2) 作 AK⊥ DE于點(diǎn) K. 由題知 AB∥ EF. ∵ AB?平面 CDEF， EF? 平面 CDEF，∴ AB∥平面 CDEF. ∴點(diǎn) B到平面 CDEF的距離即為點(diǎn) A 到平面 CDEF的距離． ∵ EF⊥AE， EF⊥ED， ED∩EA＝ E， 9 ∴ EF⊥平面 AED，∵ AK? 平面 AED，∴ AK⊥ EF. 又 AK⊥ DE， DE∩ EF＝ E，∴ AK⊥平面 CDEF. ∴ AK的長(zhǎng)即為點(diǎn) B 到平面 CDEF的距離． 3 在 Rt△ ADE中， AK＝ 2 ， 3 ∴點(diǎn) B到平面 CDEF的距離為. 2 (3) 以點(diǎn) A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 所在直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角 AD AB AE 坐標(biāo)系， 如圖，則 (0 ，2，0) ， ( 3，1，0) ， (0 ，0，1) ， F 5 ，→ 1 ， → 0， ， 1 ＝ 0，－ ，1 B C E 3 BF 3 BC ＝( → 3，－ 1， 1) ，設(shè)平面 BCF的法向量 n＝ ( x， y， z) ， 3，－ 1， 0) ，CE＝ ( － → 3 BFn＝ 0， 由 → 可取 n＝ 1， 3， 3 . BC n＝0， → 5 3 | | 3 65 設(shè)直線 CE與平面 BCF所成的角為 α ，則 sin α ＝ CE n ＝ 13 ＝. → n| 13 | CE|| 5 3 所以直線 與平面 所成角的正弦值為 65 . CE BCF 13 【難點(diǎn)突破】 16．解： (1) 以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則 (0 ，0，0) ， (0 ，0， ) ， ( ，0，0) ， (0 ， 3 ，0) ， 3 a ， a 3 . D A a B a C a E 0， 2 a，2 F 2 ， 2 a， 0 → → a a ∴ AB＝ ( a， 0，－ a) ， EF＝ 2， 0，－ 2 ， 從而 → ＝ 1 → ， EF 2 AB ∴ → ∥ →，又 ?平面 ， ? 平面 ， AB EF AB DEF EF DEF 故 AB∥平面 DEF. → → AB與 DE所成的角 ( 或其補(bǔ)角 ) ． (2) ∵ AB∥ EF，∴∠ DEF即為異面直線 → 3 a ∵ ED＝ 0，－ 2 a，－ 2 ， 10 → a a EF＝ 2， 0，－ 2 ， ∴ cos〈 → ， → 〉＝ → → EF ED ＝ 2 . EF ED → → 4 | EF|| ED| ∴異面直線 AB與 DE所成角的余弦值為 2 4 . (3) ∵ n0＝(1 ，0，0) 為平面 ACD的一個(gè)法向量，設(shè) n＝ ( x，y，z) 為平面 ABC的一個(gè)法向 量， 則 → ＝ － az → ay － ＝ 0，取 z ＝ 1，則 x 3 ＝ 3 ， ＝ 0， ＝ 3 ＝ 1 ，＝ . ∴ 1， ，1 AB n ax AC n az y n 3 3 從而 cos 〈 n，n0〉＝ n n0 21 ＝. | n|| n0| 7 所以二面角 B－AC－ D的余弦值為 21 7 . 11