《數(shù)值分析》作業(yè)參考答案-

《數(shù)值分析》作業(yè)參考答案 一 . 選擇題 1． A； 2.B ； 3.B ； 4.D; 5.C; 6.D; 7.C; 8.B; 9.D; 10.C ； 11.B ； 12.A ； 13.A; 14.C; 15.A; 16.B; 17.D; 18.A 19.D,20.C,21.A,22.D,23.C,24.C. 二 . 填空題 1. 3， 3，3 ； 2. 1， 2/3 ； 3. 100！2^100 ； 4. (-1 ,1) ； 5. 1 ； 6 . g( x) x cos x ( x0 x1 )( x0 x2 ) (x0 xn ) x ，2； 1 sin x 7. (-1, 1) ； 8. x ； 9. 4 ； 10. 5 ， 9 ； 11. xn 1 1 ( xn c ) , 2； 2 xn 12. x3 x 1 ； 13. 10/9, 4； 14. 10, 55, 550; 15. b b a 16. x2 1 17. 1 3 3 3 18． 1 ,1 4 3i , 1 3i 19. 2x 2 x 20. a a b . 2 4 3 三 . 1. p(x) x2 2 x 1 2. p( x) f ( x) 3. 29 12 2. A C 10 16 12 , B , a , 代數(shù)精確度為 5 9 9 5 3.證明： cond ( A A) || A A || || ( A A) 1 || 設(shè) max{ A A的特征值的模 } ， max{( A 1 ) A 1的特征值的模 } ，則 上式 = || A ||2 || A 1 ||2 (cond ( A)) 2 1 2 1 1 1 1 3 1 0 4.1. (12 分 ) L 2 ,U 2 2 1 4 1 , X 1 3 3 3 1 5 0 4 4 2. (8 分 )Seidel 收斂，因為 A 實正定對稱陣 . 迭代格式 x1(k 1) (2 x2(k) ) / 2 x2(k 1) ( x1( k 1) x3(k) ) / 2 x3(k 1) ( 2 x2(k 1) x4(k ) ) / 2 x4(k 1) (1 x3(k 1) ) / 2 42 x2 1 | x2 (x 3 5. p( x) 1 ，余項 cos x p2 (x) ) | 6. 6 2 54 * 6 第 1 頁 共 5 頁 以上僅為參考答案，簡答、論述題均只列及主要的解題知識點，請您結(jié)合自我理解和課本內(nèi)容進行知識掌握和鞏固。如對答案等有疑義，請及時登錄學院網(wǎng)站“輔導論壇”欄目，與老師交流探討！ 6. 證明：當 A 0 時，結(jié)論顯然成立； 當 A 0 時，因 | Y T AX | ||Y ||2 || A ||2 || X ||2 ，故sup | Y T AX | ||A ||2 ； X 0,Y 0 || X ||2 ||Y ||2 又 AT A 是實對稱矩陣，故存在正交陣 P ( p1, p2 , , pn ) 1 使得 PT AT AP D ， Pi 是特征值 i 對應(yīng)的特征向量。 n 不妨設(shè) k max{ i } ， 則 PT AT AP k || A ||2 ，令 X pk , Y APk ，則 k k 2 sup |Y T AX | | PT AT AP | k || A ||22 0 || X ||2 ||Y ||2 || P ||2 ||AP ||2 || AP ||2 || A ||2 X 0,Y || A ||2 ||P ||2 由上，結(jié)論成立。 7. 0 a 0 簡單迭代法 :不收斂 B1 a 0 1 , ( B1 ) 1 0 1 0 0 a 0 Seildel 迭代法 : 不收斂 B2 0 a2 1 ， ( B2 ) 1 0 a2 1 8. n b b n b j a l j ( x)dx a l j ( x) dx a 1dx b a 0 j 0 9. 證明： 當 A 0 時，結(jié)論顯然成立； 當 A 0 時，因 |Y T AX | ||Y ||2 || A ||2 || X ||2 ，故 max |Y T AX | || A ||2 ； ||X ||2 1, ||Y||2 1 又 AT A 是實對稱矩陣，故存在正交陣 P ( p1, p2 , , pn ) 1 使得 PT AT AP  D  ， Pi 是特征值  i 對應(yīng)的特征向量。 n 第 2 頁 共 5 頁 以上僅為參考答案，簡答、論述題均只列及主要的解題知識點，請您結(jié)合自我理解和課本內(nèi)容進行知識掌握和鞏固。如對答案等有疑義，請及時登錄學院網(wǎng)站“輔導論壇”欄目，與老師交流探討！ 不妨設(shè) k max{ i } ， 則 PT AT AP k || A ||2 ， k k 2 令 X Pk , Y APk ，則 || X || || Y || 1 || APk ||2 max |Y T AX | | PkT AT APk | k ||A ||22 || A ||2 ||X ||2 1,||Y||2 1 || APk ||2 || APk ||2 || A ||2 || Pk ||2 由上，結(jié)論成立。 10. 1 2 2 2 1 1. L1 1 0 , U 2 2 2 LT , X 1 1 1 1 2 1 1 1 0 2 2. A 1 1 1 1 , cond ( A) 24 2 2 1 1 022 x1( k 1) ( 2 2x2(k ) 2x3(k ) ) / 2 3. A 正定，收斂，迭代格式 x2(k 1) ( 2x1(k 1) 4x3(k) ) / 4 x3(k 1) ( 2 2x1(k 1) 4 x2(k 1) ) / 6 11. 1. 過等距結(jié)點 0, 1 ,1 的 f ( x) 的插值多項式 p( x) 0 2 2．過等距結(jié)點 0, 1 , 3 , 1的 f ( x) 的插值多項式 p(x) 7 x(x 1 ) 7 x( x 1 )( x 3) 2 4 16 2 4 2 4 3． p( x) f ( x) 12. 證明： 由冪級數(shù)展開， 1, 2 ( h, h) ，使得 f (h) f (0) hf h 2 f ( 0) h3 f ( 1 ) ， (0) 6 2 f ( h) f (0) hf (0) h 2 (0) h 3 ( 2 ) ， f f 2 6 相減，得 1 [ f (h) f ( h)] f (0) h 2 1 [ f ( 1 ) f ( 2 )] f (0) h2 f ( ) 2h 6 2 6 ( ( h, h)) . 四、 第 3 頁 共 5 頁 以上僅為參考答案，簡答、論述題均只列及主要的解題知識點，請您結(jié)合自我理解和課本內(nèi)容進行知識掌握和鞏固。如對答案等有疑義，請及時登錄學院網(wǎng)站“輔導論壇”欄目，與老師交流探討！ 1 1 2 1 2 2 1 U 1 1 2 1. L 2 1 3 det(A)=9 2 3 1 1 0 1 3 1 5 7 6 5 7 / 5 1 U 1/ 5 2 / 5 0 det(A)=1 2. L 2 1 2 3 6 / 5 1 0 3 / 2 1 1/ 2 五、設(shè) f ( x) 在區(qū)間 [ h, h ] 上有三階連續(xù)導數(shù)，證明在 [ h, h] ，使下式成立 1 [ f (h) f ( h)] f (0) h2 f ( ) 2h 6 利用冪級數(shù)展開式可知存在 1 (0, h), 2 ( h,0) 使得 f (h) f ( 0) hf (0) h2 f (0) h3 f ( 1 ) 2 6 f ( h) f (0) hf (0) h 2 f ( 0) h 3 f ( 2 ) 2 6 以上二式相減后除以 2h ,可得 1 [ f (h) f ( h)] f (0) h2 1 [ f ( 1 ) f ( 2 )] 2h 6 2 而 f ( x) 在 [ h, h] 連續(xù)， 1 , 2 [ h, h] 則存在 [ h, h] ，使得 1 [ f ( 1 ) f ( 2 )] f ( ) 即 . 2 六、 1. 設(shè) A 為 n 階非奇異矩陣， I AT A A 1 A AT A A 1 AT A I AAT AA 1 AAT A A 1 AT 從而 I AT A I AAT 故 AT A 與 AAT 有相同的特征值，而 A 2 1/max2 ( AT A) AT 2 1max/2 ( AAT ) 故 A 2 AT 2 . 2. 因為系數(shù)矩陣按行嚴格對角占優(yōu)，則簡單迭代法和塞德爾迭代法均收斂。 第 4 頁 共 5 頁 以上僅為參考答案，簡答、論述題均只列及主要的解題知識點，請您結(jié)合自我理解和課本內(nèi)容進行知識掌握和鞏固。如對答案等有疑義，請及時登錄學院網(wǎng)站“輔導論壇”欄目，與老師交流探討！ x1(m 1) 1 (24 2x2(m) 3x3(m) ) 20 簡單迭代法： x2(m 1) 1 (12 x1( m) x 3(m) ) 8 x3(m 1) 1 (30 2x1( m) 3x2(m ) ) 15 x1( m 1) 1 (24 2x2(m) 3x3(m) ) 20 塞德爾迭代法： x2(m 1) 1 (12 x1( m 1) x3(m) ) 8 x3(m 1) 1 (30 2 x1( m 1) 3x 2(m 1) ) 15 第 5 頁 共 5 頁 以上僅為參考答案，簡答、論述題均只列及主要的解題知識點，請您結(jié)合自我理解和課本內(nèi)容進行知識掌握和鞏固。如對答案等有疑義，請及時登錄學院網(wǎng)站“輔導論壇”欄目，與老師交流探討！