《數(shù)值分析》楊大地-答案(第八章)

數(shù)值分析第 8 章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 8.1 填空題 （ 1） n+1 個點的插值型數(shù)值積分公式 b f(x)dx n Aj f(x j ) 的代數(shù)精度至少是 n ∫ ≈ ∑ ，最高不超過 a j=0 2n+1 ?！咀ⅲ旱? 1 空，見定理 8.1】 （ 2）梯形公式有 1 次代數(shù)精度， Simpson 公司有 3 次代數(shù)精度。【注：分別見定理 8.1,8.3】 h h 2 ′ ′ （ 3）求積公式 ∫ f(x)dx [ ( ) ( )] [ ) ] ≈ h + ah f ( 0 - f (h) 中的參數(shù) a= 1/12 時，才能保證該求積 0 2 f 0 + f 公式的代數(shù)精度達到最高，最高代數(shù)精度為 3 。 解：令 f(x)=1,x,x2 帶入有， h 2 [ 1 + 1 ] + ah 2[0 - 0 ] = h h h] + ah2 [1 - 1] = 1 ( h2) // 注： x 的導(dǎo)數(shù) =1 [ 0 + 2 2 h 1 { 2 [ 0 + h2 ] + ah2 [ 0 - 2h ] = 3 ( h3 ) 解之得， a=1/12 ，此時求積公式至少具有 2 次代數(shù)精度。 ∴ 積分公式為： h f(x)dx h h2 ′ ′ ∫ [ ( ) + f ( )] + 12 [ f ( 0 ) - f (h) ] 0 ≈ 2 f 0 h h h 3 h 2 3h 2 ] 1 h4 )，與 f(x)= x4 的定積分計算值 1 (h 4) 相等， 令 f(x)= x3 帶入求積公式有： 2 [ 0 + ] + 12 [ 0 - = 4 ( 4 所以，此求積公式至少具有 3 次代數(shù)精度。 令 f(x)= x4 帶入求積公式有， h [ 0 + h 4] + h 2 [ 0 - 4h 3] = 1 ( h5 )，與 f(x)= x5 的定積分計算值 1 ( h 5 )不相 2 12 6 5 等，所以，此求積公式的最高代數(shù)精度為 3 次代數(shù)精度。 8.2 確定下列求積公式的求積系數(shù)和求積節(jié)點，使其代數(shù)精度盡量高，并指出其最高代數(shù)精度。 解題思路：按照 P149 中 8.3 式進行求解，根據(jù)求積公式中未知量 n 的數(shù)量決定代入多少 f(x) ，當積 分公式代入求積節(jié)點 xn 的計算結(jié)果與定積分的計算結(jié)果一致，繼續(xù)代入求積節(jié)點 Xn+1,，若計算結(jié)果 與對應(yīng)的定積分計算結(jié)果不一致時，求積公式擁有最高 n 次的代數(shù)精度。 （ 1） ???? ∫ ??(??)???? ( ) ( ) ?? ≈ ?? ???? + ?? ???? + ?? ??(????) ?? ?? ?? 解：令 f(x)=1,x,x 2 代入有 , A 0、 A1、 A2 共 3 個未知量，故需 3 個相異求積節(jié)點 f(x) 】 【注：本例中需求解 A0 + A1 + A 2 = 2h { A1 h + A2 2h = 1 ( 2h ) 2 求解得 A0 = 1 h ， A1 = 4 h， A2 = 1 h ， 2 A1 h2 + A2( 2h) 2 = 1 3 3 3 3 ( 2h ) 3 ∴求積公式為： 2h f(x)dx ≈ 1 hf (0) + 4 hf ( h) + 1 hf(2h) ∫ 3 3 3 0 ∵該求積公式對 3 個相異節(jié)點 1,x,x2 均有余項 E(f ) = 0， // 注：參見 P149 定理 8.1 ∴該求積公式至少具有 2 次代數(shù)精度。 令 f(x)= x3，代入求積公式有： 4 hh 3 + 1 h (2h ) 3 = 4h4 3 3 2h x3 1 4 4 ∵函數(shù) f(x) = x3 的定積分結(jié)果為： ∫ dx = 4 ( 2h) = 4h ，與求積公式計算值相等， 0 ∴該求積公式具有 3 次代數(shù)精度。 4 1 20 令 f(x)= x4，代入求積公式有： 3 hh 4 + 3 h(2h ) 4 = 3 h5 ∵函數(shù) f(x) = x4 的定積分結(jié)果為 2h 1 ) 5 5] 32 5 ，與求積公式計算值不相等， ∫ x4 dx = [( 2h - 0 = 5 h 0 5 ∴該求積公式的最高代數(shù)精度為 3 次代數(shù)精度。 （ 2） ?? ??(??)???? [ ( ) ( ) + ) ] ∫ -?? ≈ ????-?? + ??????? ????(?? 解：令 f(x)=1,x,x2 代入有 ,【注：本例中需求解 A、X1、X2 共 3 個未知量， 故需 3 個相異求積節(jié)點 f(x)】 A[1 + 2 + 3] = 2 { A[-1 + 2x 1 + 3x2 ] = 0 2 求解得 [( ) 2 2 2 ] 1 3 ( ) 3] + 2x = [ 1 - -1 = 3 A -1 1 + 3x2 3 A = 1 ， x1 = 0.6899 ， x2 = -0.1260 ，或 A = 1 ， x1 = -0.2899 ，x2 = 0.5266 3 3 ∴求積公式為： 求積公式 1 f (x)dx ≈ 1 [f( -1 ) + 2f( 0.6899 ) + 3f( -0.1260 )] 1：∫ 3 -1 求積公式 1 1 [ 1：∫ f(x)dx ≈ 3 f( -1 ) + 2f( -0.2899 ) + 3f( 0.5266 )] -1 ∵該求積公式對 3 個相異節(jié)點 1,x,x2 均有余項 E(f ) = 0，// 注：參見 P149 定理 8.1 ∴該求積公式至少具有 2 次代數(shù)精度。 令 f(x)= x3 代入求積公式 1 有： 1 [( -1 )3 + 2 ( 0.6899 ) 3 + 3 (-0.1260 )3 ] = -0.2245 3 令 f(x)= x3 代入求積公式 2 有： 1 [( -1 )3 + 2 ( -0.2899 ) 3 + 3( 0.5266 )3 ] = -0.2928 3 ∵函數(shù) f(x) = x3 的定積分結(jié)果為： 1 x3 1 ) 4 ( ) 4] ∫ [( 1 — -1 = 0 ，與求積公式計算值均不相等， -1 dx = 4 ∴該求積公式的最高代數(shù)精度為 2 次代數(shù)精度。 （ 3） ?? ??(??)???? ( ) ?? ?? ∫ ≈ + ??????(- ) + ??????() -?? ??????-?? ?? ?? 解：令 f(x)=1,x,x2 代入有 ,【注：本例中需求解 A1、A2 、A3 共 3 個未知量， 故需 3 個相異求積節(jié)點 f(x)】 A1 + A2 + A3 = [1 - ( -1 )] = 2 1 1 1 [ 1 2 - ( -1 )2 ] = 0 求解得 A1 = A1 (-1 ) + A2 (- 3) + A3 ( 3) = 2 1 ，A 2 = 0， A3 = 3 ， 1 2 1 2 1 2 2 2 A1 ( -1 ) 2 + A 2 (- ( [ 1 3 - ( -1 )3 ] = { 3 ) + A3 3 ) = 3 3 1 ≈ 1 f( -1 ) + 3 1 ) ∴求積公式為： ∫ f(x)dx 2 2 f( -1 3 ∵ 該求積公式對 3 個相異節(jié)點 1,x,x2 均有余項 E(f) = 0 ，// 注：參見 P149 定理 8.1 ∴ 該求積公式至少具有 2 次代數(shù)精度。 令 f(x)= x3，代入求積公式有： 1 ( -1 ) 3 3 1 3 2 + 2 ( 3) = -0.4444 ∵ 函數(shù) f(x) = x3 的定積分結(jié)果為： 1 1 4 — (-1 ) 4 ] = 0，與求積公式計算值不相等， ∫ x3 dx = [( 1 ) -1 4 ∴ 該求積公式的最高代數(shù)精度為 2 次代數(shù)精度。 ?? （ 4） ∫ ??(??)???? -?? ≈ ?? ??(??) + ?? ??( ??) + ?? ??(??) ?? ?? ?? ?? 解：令 f(x)=1,x,x ,x 代入有 , A1、 A2、 A3、X1 共 4 個未知量，故需 4 個相異求積節(jié)點 f(x)】 2 3 【注：本例中需求解 A1 + A2 + A3 = 2 A1x1 + 0 + A3 = 0 2 求解得 A1 = 1 ， A 2 = 4 ， A 3 = 1 ， x 1 = -1 2 + 0 + A3 ( 1) 2 = A1 x1 3 3 3 3 { A1 x1 3 + 0 + A3 (1 ) 3 = 0 ∴求積公式為： 1 f(x)dx 1 ) 4 ) 1 ∫ ≈ ( -1 ( + 3 f(1) -1 3 f + 3 f 0 ∵該求積公式對 4 個相異節(jié)點 1,x,x2,x3 均有余項 E( f) = 0 ，// 注：參見 P149 定理 8.1 ∴該求積公式至少具有 3 次代數(shù)精度。 1 1 ( 1) 4 = 2 令 f(x)= x4，代入求積公式有： 3 ( -1 ) 4 + 0 + 3 3 1 1 [( 5 5 ] 2 ∵ 函數(shù) f(x) = x4 的定積分結(jié)果為： ∫ x4 dx = 5 1) — (-1 ) = ，與求積公式計算值不相等， -1 5 ∴ 該求積公式的最高代數(shù)精度為 3 次代數(shù)精度。 ?? （ 5） ∫ ??(??)????≈??(????) + ??(????) ?? 解：令 f(x)=1,x,x 2 代入有 , 1 + 1 = 2 x1 = 1 - { x1 + x2 = 2 求解得 { x12 + x22 = 8 1 + x 2 = 3  √3 x1 = 1 + 3 或 { √3 x2 = 1 - 3  √3 3 √3 3 ∴求積公式為： 2 - √3 ) + f (1 + √3 ) ∫ f(x)dx ≈ f (1 3 3 0 ∵該求積公式對 3 個相異節(jié)點 1,x,x2 均有余項 E(f) = 0，// 注：參見 P149 定理 8.1 ∴該求積公式至少具有 2 次代數(shù)精度。 √3 3 3 1 令 f(x)= x3，代入求積公式有： (1 - √3 [2 4— 04 ] = 4 3 ) + (1 + 3 ) = 4 ∵函數(shù) f(x) = x4 的積分結(jié)果為： 2 x3 dx = 1 4 — 0 4] = 4 ，與求積公式計算值相等， ∫ [2 0 4 ∴該求積公式具有 3 次代數(shù)精度。 令 f(x)= x4，代入求積公式有： (1 - √3 4 √3 4 3 ) + (1 + 3 ) =6.2222 ∵函數(shù) f(x) = x4 的積分結(jié)果為： 2 1 5 — 0 5] = 6.4 ，與求積公式的計算結(jié)果不相等， ∫ x4 dx = [2 0 5 ∴該求積公式的最高代數(shù)精度為 3 次代數(shù)精度。 8.3 分別用復(fù)化梯形公式，復(fù)化 Simpson 公式，復(fù)化 Cotes 公式計算下列積分： 解題要點：復(fù)化梯形公式【 Tn，Un】-P154\P155 ，復(fù)化 Simpson 公式【 Sn】-P155\P156 ，復(fù)化 Cotes 公式【 Cn】 -P156。若在積分范圍內(nèi)劃分的小區(qū)間數(shù) n=2k,則直接用對應(yīng)的公式從 T1、 U1 開始計算， 然后按照 T2n、 T4n 的公式利用前面計算的數(shù)據(jù)進行計算，若 n≠ 2k，在直接利用梯形求積公式8.7 直接計算 Tn 和 Un，再利用 Tn、 Un 求解 Sn、 Cn。 ?? ?? ， ??= ?? （ 1） ∫ ?????? ????+?? 解：由題，設(shè) ??(??)= ?? ?? ??+?? 1）用復(fù)化梯形公式求解有 // 因為 n=8=23，本題從 T1、 U1 開始計算，然后按照 T2n、 T4n 的 公式利用前面計算的數(shù)據(jù)進行計算得到 T10 ∵ T1 = 1 [ ( ) ] = 0.1 ， // 見 P154 公式 8.7， n=1 2 f 0 + f(1) U1 1 ) = 0.11764706 // 見 P154 Un 的計算公式， n=1 = f ( 2 ∴ T2 = 1 [T1 + U1 ] = 0.10882353 // 見 P155 公式 8.8 2 1 1 3 ∵ U2 = 2 [f ( 4) + f( 4)] = 0.11296096 ∴ T4 = 1 [T2 + U2 ] = 0.11089224 2 ∵ U4 == 1 1 3 5 7 4 [f ( ) + f( ) + f( ) + f( )] = 0.11191244 8 8 8 8 1 ∴ T8 = 2 [T4 + U4 ] = 0.11140235 2）用復(fù)化 Simpson 公式求解有： Sn 4T 2n -T n // 見 P155 公式 8.12 ∵ = 3 ∴ S 4T 16 -T 8 // 由此可知，要求出 8 ，必須先求出 16 U 8 8 = 3 S T ，進而得先求出 ∵ U8 = 1 ∑i=17 f(x i+1/2 ) = 1 [f ( 1 ) + f( 3 ) + f( 5 ) + f( 7 ) + f( 9 ) + f( 11 ) + f( 13 ) + f( 15 )] = 0.11165540 8 8 16 16 16 16 16 16 16 16 T16 1 [T8 + U8] = 0.11152888 ∴ = 2 ∴ S8 4T 16 -T 8 = 0.11157106 = 3 3）用復(fù)化 Cotes 公式求解有： ∵ 16S 2n -S n Cn = 15  // 見 P156 公式 8.14 ∴ C8 = 16S 16 -S 8 S16，由復(fù)化 Simpson 公式可知需先求出 T32，進而得知需先求 U16。 15 // 由此可知需先求出 ∵ U16 = 1 ∑15 f(x i+1/2 ) = 1 [f ( 1 ) + f( 3 ) + f( 5 ) + f( 7 ) + f( 9 ) + f( 11 ) + f( 13 ) + f( 15 ) + f( 17 ) + f( 19 ) + 16 i=1 16 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 21 23 25 27 29 31 f( 32 ) + f( 32 ) + f( 32 ) + f( 32 ) + f( 32 ) + f( 32 )] = 0.11159294 ∴ T32 = 1 [ T16 + U16 ] = 0.11156091 2 ∴ S16 = 4T 32 -T 16 = 0.11157159 3 ∴ C8 = 16S16 -S 8 = 0.11157163 15 ?? -???? ， ??= ???? （ 3） ∫ ?? ?? ???? -???? 解：由題，設(shè) ??(??)= ?? 1）用復(fù)化梯形公式求解有 // 因為 n=10≠ 2n，故本題直接用復(fù)化梯形公式直接計算得到 T10 ∵ Tn = h [f( a) + f (b ) + 2 ∑i=1n-1 f(x i )] ， h = b-a = 1 2 n 10 ∴ T10 = 1 [f( 0) + f( 1) + 2 ∑i=19 f(x i ) ]，其中 xi = a + ih = 0.1i 20 ∴ T10 = 1 { f (0 ) + f( 1) + 2 [ f( 0.1) + f ( 0.2) + f( 0.3) + f( 0.4 ) + f( 0.5) + f( 0.6 ) + f ( 0.7) + f ( 0.8) + f (0.9)]} 20 =0.74621080 2）用復(fù)化 Simpson 公式求解有： ∵ Sn = 4T 2n -T n // 見 P155 公式 8.12 3 ∴ S = 4T 20 -T 10 // 由此可知，要求出 S ，必須先求出 T ，進而得先求出 U 10 10 3 10 20 ∵U10 = 1 ∑i=17 f(x i+1/2 ) = 1 10 10  [ f( 0.05 ) + f(0.15) + f(0.25) + f(0.35) + f(0.45) + f(0.55) + f(0.65) + f(0.75) + f(0.85) + f(0.95) ] = 0.74713088 ∴ T20 = 1 [ T10 + U10 ] = 0.74667084 2 ∴ S10 = 4T 20 -T 10 = 0.74682419 3 3）用復(fù)化 Cotes 公式求解有： ∵ 16S 2n -S n Cn = 15  // 見 P156 公式 8.14 ∴ C 16S20 -S 10 // 由此可知需先求出 S20，由復(fù)化 Simpson 公式可知需先求出 T40，進而得知需先求 U20。 10 = 15 ∵ U20 = 1 19 1 ) = [f( 0.025 ) + f(0.075) + f(0.125) + f(0.175) + f(0.225) + f(0.275) + f(0.325) + ∑i=1 f(x i+1/2 20 20 f(0.375) + f(0.425) + f(0.475) + f(0.525) + f(0.575) + f(0.625) + f(0.675) + f(0.725) + f(0.775) + f(0.825) + f(0.875) + f(0.925) + f(0.975) ] = 0.74690079 ∴ T40 = 1 [ T20 + U20 ] = 0.74678581 2 ∴ S20 = 4T 40 -T 20 = 0.74682414 3 ∴ C8 = 16S20 -S 10 = 0.74682413 15 8.4 利用 Romberg 公式計算以下積分： 解題要點：其主要內(nèi)容仍為復(fù)化梯形公式，復(fù)化 Simpson 公式，復(fù)化 Cotes 公式 3 個公式，利用前 一步驟的計算數(shù)據(jù)進行遞推計算，具體參見 P159 公式 8.1 。 注意：例如計算出 T03 后，就直接用 Simpson 公式計算出 T12，然后用復(fù)化 Cotes 公式計算出 T21、 T30，若滿足要求則停止計算，不用事先花時間去計算無用的 T04。 （ 1） ?? ?? -???? -?? ∫ ?? ????,精度要求 ??= ???? √?? ?? ?? -?? ?? 解：由題，設(shè) ??(??)= √???? 按照 Romberg 分法求解： 在[a,b] 上，由梯形公式 算有 ∵ T00 = b-a 1 [ f(a) + f(b) ] = [f( 0) + f(1) ] = 0.77174333 2 2 a+b 1 U00 = (b - a) f( 2 ) = f( 2) = 0.87878258 ∴ T01 = 1 [ T00 + U00 ] = 0.82526296 2 T10 = 4T 01 -T 00 = 0.84310283 4-1 ∵ | T10 - T00 | = 0.07135950 > ?? ，不 足停止條件，需 算； 按公式 U0， i-1 b-a i-1 b-a 1 = 2i-1 ∑j=12 f (a + ( 2j - 1 ) 2 i ) 、T0i = 2 [T0 ，i-1 + U0,i-1 ] 和 T = 4m T m-1,k+1 -T m-1,k ,m = 1,2, ?, i, k = i - m 行 算，當 |T - T | < ?? 停止 算， 有： 4m -1 ，0 mk i0 i-1 1 1 3 U01 = 2 [f ( 4) + f( 4)] = 0.85147260 T02 = 1 [ T01 + U01 ] = 0.83836778 2 T = 4T 02 -T 01 = 0.84273605 11 4-1 T20 = 4 2 T 11 -T 10 = 0.84271160 4 2 -1 | T20 - T10 | = 0.00039123 > ?? ，不 足停止條件， 算： 1 1 3 5 7 U02 = 4 [f ( 8) + f( 8) + f( 8 ) + f( 8 )] = 0.84487067 T03 = 1 [ T02 + U02 ] = 0.84161922 2 T12 = 4T 03 -T 02 = 0.84270304 4-1 T21 = 4 2 T 12 -T 11 = 0.84270997 4 2 -1 T = 4 3 T 21 -T 20 = 0.84270995 30 4 3 -1 | T30 - T20 | = 0.00000165 < ??， 足停止條件； ∴ T30 = 0.84270995 i T T T T 0i 1i 2i 3i 0 0.77174333 //T00 1 0.82526296 //T01 0.84310283 //T10 2 0.83836778 //T02 0.84273605 //T11 0.84271160 //T20 3 0.84161922 //T03 0.84270304 //T12 0.84270997 //T21 0.84270995 //T30