加法原理與乘法原理

§10。1　分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 教學(xué)目標(biāo) 1．理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和“步"． 2．會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 學(xué)習(xí)內(nèi)容 知識(shí)梳理 1． 分類加法計(jì)數(shù)原理 做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法． 2． 分步乘法計(jì)數(shù)原理 做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟,做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同的方法……做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法． 3． 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān),各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成． 例題講解 題型一　分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 例1　高三一班有學(xué)生50人，男生30人,女生20人；高三二班有學(xué)生60人，男生30人,女生30人;高三三班有學(xué)生55人，男生35人,女生20人． （1)從高三一班或二班或三班中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席,有多少種不同的選法？ (2）從高三一班、二班男生中,或從高三三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)，有多少種不同的選法? 思維啟迪　用分類加法計(jì)數(shù)原理． 解　(1)完成這件事有三類方法 第一類，從高三一班任選一名學(xué)生共有50種選法； 第二類，從高三二班任選一名學(xué)生共有60種選法; 第三類,從高三三班任選一名學(xué)生共有55種選法， 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,任選一名學(xué)生任校學(xué)生會(huì)主席共有50＋60＋55＝165(種）選法． （2)完成這件事有三類方法 第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法; 第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法; 第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法． 綜上知，共有30＋30＋20＝80(種)選法． 思維升華　分類時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次分類時(shí)要注意滿足一個(gè)基本要求，就是完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法,只有滿足這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理． 鞏 固　 （1）在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)? （2）方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其中m∈{1，2，3，4，5｝，n∈｛1，2，3,4,5,6,7}，那么這樣的橢圓有多少個(gè)？ 解　（1)分析個(gè)位數(shù)字，可分以下幾類： 個(gè)位是9，則十位可以是1，2,3，…，8中的一個(gè)，故有8個(gè)； 個(gè)位是8，則十位可以是1，2,3，…，7中的一個(gè)，故有7個(gè)； 同理，個(gè)位是7的有6個(gè); 個(gè)位是6的有5個(gè)； … 個(gè)位是2的只有1個(gè)． 由分類加法計(jì)數(shù)原理,滿足條件的兩位數(shù)有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個(gè))． （2）以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為五類． 第一類：m＝1時(shí)，使n〉m，n有6種選擇； 第二類:m＝2時(shí)，使n>m，n有5種選擇; 第三類:m＝3時(shí)，使n>m，n有4種選擇； 第四類：m＝4時(shí)，使n〉m,n有3種選擇； 第五類:m＝5時(shí)，使n〉m,n有2種選擇． ∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20（種)方法， 即有20個(gè)符合題意的橢圓． 題型二　分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 例2　有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法?（不一定六名同學(xué)都能參加) (1）每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限； （2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)； (3)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限． 思維啟迪　可以根據(jù)報(bào)名過(guò)程，使用分步乘法計(jì)數(shù)原理． 解?。?）每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理, 知共有選法36＝729(種）． (2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人,第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有報(bào)名方法6×5×4＝120（種）． （3)由于每人參加的項(xiàng)目不限,因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有不同的報(bào)名方法63＝216（種）． 思維升華　利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題：①要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步,即分步是有先后順序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事． 鞏 固　已知集合M＝｛－3，－2，－1，0，1,2｝,若a，b，c∈M,則： (1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個(gè)不同的二次函數(shù)； （2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個(gè)圖象開(kāi)口向上的二次函數(shù)． 解?。?)a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180（個(gè)）不同的二次函數(shù)． (2）y＝ax2＋bx＋c的圖象開(kāi)口向上時(shí),a的取值有2種情況，b、c的取值均有6種情況，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(個(gè))圖象開(kāi)口向上的二次函數(shù)． 題型三　兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用 例3　如圖所示,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同 一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用，求不同的 染色方法總數(shù)． 思維啟迪　染色問(wèn)題是常見(jiàn)的計(jì)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，可從選顏色、選頂點(diǎn)進(jìn)行分類、分步，從不同角度解決問(wèn)題． 解　方法一　可分為兩大步進(jìn)行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色，然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論．由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法． 當(dāng)S、A、B染好時(shí),不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法;若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見(jiàn)，當(dāng)S、A、B已染好時(shí),C、D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420(種)． 方法二　以S、A、B、C、D順序分步染色． 第一步，S點(diǎn)染色，有5種方法； 第二步，A點(diǎn)染色，與S在同一條棱上，有4種方法； 第三步，B點(diǎn)染色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法； 第四步，C點(diǎn)染色，也有3種方法，但考慮到D點(diǎn)與S、A、C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類，當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S、B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法．由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2）＝420(種）． 方法三　按所用顏色種數(shù)分類． 第一類,5種顏色全用，共有A種不同的方法； 第二類，只用4種顏色，則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色（A與C，或B與D），共有2×A種不同的方法; 第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色,共有A種不同的方法． 由分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為 A＋2×A＋A＝420(種）． 思維升華　用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步． （1）分類要做到“不重不漏"，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)． (2）分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)． （3）對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，可同時(shí)運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來(lái)幫助分析． 鞏 固　用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？ 解　如圖所示，將4個(gè)小方格依次編號(hào)為1，2,3,4，第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法． ①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有A＝12(種）不同的涂法， 第4個(gè)小方格有3種不同的涂法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，有5×12×3＝180（種） 不同的涂法; ②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于 相鄰方格不同色，因此,第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知．有5×4×4＝80（種)不同的涂法． 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有180＋80＝260(種)不同的涂法． 易錯(cuò)題　(1）把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法共有 (　　) A．24種 B．4種 C．43種 D．34種 (2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時(shí)間里,火車有4趟,輪船有3次，問(wèn)此人的走法可有________種． 易錯(cuò)分析　解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本策略是合理分類和分步，然后應(yīng)用加法原理和乘法原理來(lái)計(jì)算．解決本題易出現(xiàn)的問(wèn)題是完成一件事情的標(biāo)準(zhǔn)不清楚導(dǎo)致計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，對(duì)于(1),選擇的標(biāo)準(zhǔn)不同，誤認(rèn)為每個(gè)信箱有三種選擇，所以可能的投法有34種，沒(méi)有注意到一封信只能投在一個(gè)信箱中；對(duì)于(2)，易混淆“類”與“步"，誤認(rèn)為到達(dá)乙地先坐火車后坐輪船,使用乘法原理計(jì)算． 解析?。?)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法．只要把這3封信投完，就做完了這件事情,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有43種方法． （2）因?yàn)槟橙藦募椎氐揭业?，乘火車的走法?種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(種）． 答案　(1)C?。?)7 溫馨提醒　(1)每封信只能投到一個(gè)信箱里，而每個(gè)信箱可以裝1封信，也可以裝2封信，其選擇不是唯一的，所以應(yīng)注意由信來(lái)選擇信箱，每封信有4種選擇． （2）在處理具體的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，首先必須弄清楚“分類”與“分步"的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么．選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情，可以避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏。 綜合題庫(kù) A組 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同． （　×　） （2）在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事． （　√　) （3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的,其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事,只有兩個(gè)步驟都完成后,這件事情才算完成． (　√　) (4)如果完成一件事情有n個(gè)不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi（i＝1,2,3，，…,n),那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法． (　√?。? 2． 5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有________種． 答案　32 解析　每位同學(xué)有兩種不同的報(bào)名方法，而且只有這5位同學(xué)全部報(bào)名結(jié)束,才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32（種）． 3． 有不同顏色的4件上衣與不同顏色的3件長(zhǎng)褲，如果一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)是________． 答案　12 解析　由分步乘法計(jì)數(shù)原理,一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套,分兩步，第一步選上衣有4種選法，第二步選長(zhǎng)褲有3種選法，所以有4×3＝12(種）選法． 4． 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有________種． 答案　24 解析　分步完成．首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2＝24（種）． 5． 用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(gè)．(用數(shù)字作答） 答案　14 解析　數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次,包括以下情況： “2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C＝4（個(gè)）四位數(shù)． “2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C＝6(個(gè))四位數(shù)． “2"出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次,共可組成C＝4(個(gè))四位數(shù)． 綜上所述,共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù). B組 1． 從集合{1,2，3,…，10｝中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為 （　?。? A．3 B．4 C．6 D．8 答案　D 解析　按從小到大順序有124，139，248,469共4個(gè)，同理按從大到小順序也有4個(gè)，故這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為8個(gè)． 2. 現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊 界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有 （　　） A．24種 B．30種 C．36種 D．48種 答案　D 解析　共有4×3×2×2＝48（種),故選D. 3． 集合P＝｛x,1}，Q＝｛y，1，2}，其中x,y∈｛1，2，3，…，9｝，且P?Q.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y）作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 （　?。? A．9 B．14 C．15 D．21 答案　B 解析　當(dāng)x＝2時(shí)，x≠y,點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1×7＝7（個(gè)）;當(dāng)x≠2時(shí)，x＝y(tǒng),點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7×1＝7（個(gè)），則共有14個(gè)點(diǎn)，故選B。 4． (2013·山東)用0,1，…,9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（　　） A．243 B．252 C．261 D．279 答案　B 解析　0，1，2，…,9共能組成9×10×10＝900（個(gè)）三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648（個(gè))． ∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252（個(gè)）． 5． (2013·四川)從1，3，5,7，9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b,共可得到lg a－lg b的不同值的個(gè)數(shù)是 （　　) A．9 B．10 C．18 D．20 答案　C 解析　由于lg a－lg b＝lg(a>0，b〉0），從1,3，5,7,9中任取兩個(gè)作為有A＝20種,又與相同,與相同,∴l(xiāng)g a－lg b的不同值的個(gè)數(shù)有A－2＝20－2＝18，選C. 6． 一個(gè)乒乓球隊(duì)里有男隊(duì)員5名,女隊(duì)員4名，從中選取男、女隊(duì)員各一名組成混合雙打，共有________種不同的選法． 答案　20 解析　先選男隊(duì)員，有5種選法，再選女隊(duì)員有4種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有5×4＝20（種)不同的選法． 7． 某次活動(dòng)中，有30人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列,則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_______（用數(shù)字作答)． 答案　7 200 解析　其中最先選出的一個(gè)人有30種方法,此時(shí)不能再?gòu)倪@個(gè)人所在的行和列上選人，還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形，故選第二個(gè)人有20種方法,此時(shí)不能再?gòu)脑撊怂诘男泻土猩线x人,還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形，此時(shí)第三個(gè)人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30×20×12＝7 200。 8． 已知集合M＝｛1，－2,3｝，N＝{－4,5,6，－7｝，從M，N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________． 答案　6 解析　分兩類:第一類，第一象限內(nèi)的點(diǎn),有2×2＝4（個(gè))； 第二類,第二象限內(nèi)的點(diǎn),有1×2＝2（個(gè)）．共4＋2＝6（個(gè))． 9． 某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門,其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人，有多少種不同的選法? 解　由題意得有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，6人只會(huì)英語(yǔ),2人只會(huì)日語(yǔ)． 第一類：從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人說(shuō)英語(yǔ),共有6種方法，則說(shuō)日語(yǔ)的有2＋1＝3(種），此時(shí)共有6×3＝18（種）； 第二類：不從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人說(shuō)英語(yǔ)，則只有1種方法，則選會(huì)日語(yǔ)的有2種，此時(shí)共有1×2＝2（種）; 所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有18＋2＝20(種）選法． 10．在某種信息傳輸過(guò)程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息,不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為多少？ 解　方法一　分0個(gè)相同、1個(gè)相同、2個(gè)相同討論． （1）若0個(gè)相同，則信息為1001。共1個(gè)． （2)若1個(gè)相同，則信息為0001,1101,1011，1000。共4個(gè)． (3）若2個(gè)相同，又分為以下情況： ①若位置一與二相同,則信息為0101； ②若位置一與三相同，則信息為0011; ③若位置一與四相同，則信息為0000； ④若位置二與三相同，則信息為1111; ⑤若位置二與四相同，則信息為1100； ⑥若位置三與四相同，則信息為1010. 共6個(gè)． 故與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為1＋4＋6＝11。 方法二　若0個(gè)相同,共有1個(gè)； 若1個(gè)相同，共有C＝4（個(gè))； 若2個(gè)相同，共有C＝6(個(gè))． 故共有1＋4＋6＝11（個(gè))． C組 1． 三邊長(zhǎng)均為整數(shù),且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)為 (　?。? A．24 B．26 C．36 D．37 答案　C 解析　設(shè)另兩邊長(zhǎng)分別為x、y，且不妨設(shè)1≤x≤y≤11,要構(gòu)成三角形，必須x＋y≥12。 當(dāng)y取11時(shí)，x＝1，2，3，…，11,可有11個(gè)三角形； 當(dāng)y取10時(shí)，x＝2，3，…,10,可有9個(gè)三角形； ……; 當(dāng)y取6時(shí),x只能取6,只有1個(gè)三角形． ∴所求三角形的個(gè)數(shù)為11＋9＋7＋5＋3＋1＝36. 2． 將1，2，3,4,5，6，7,8，9這9個(gè)數(shù)字填在如圖的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當(dāng)3,4固定在圖中的位置時(shí)，填寫空格的方法種數(shù)為 (　　) 3 4 A。4 B．6 C．9 D．12 答案　B 解析　如圖所示，根據(jù)題意，1，2，9三個(gè)數(shù)字的位置是確定的，余下的數(shù)中,5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依（a，b，c,d）順序，具體有（5,8,6,7）,(5,6，7，8)，(5,7,6,8），（6，7,5,8）,(6，8,5，7),(7,8,5，6），合計(jì)6種。 1 2 a 3 4 b c d 9 3. 如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種， 要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為 （　?。? A．96 B．84 C．60 D．48 答案　B 解析　可依次種A、B、C、D四塊，當(dāng)C與A種同一種花時(shí)，有4×3×1×3＝36(種)種法；當(dāng)C與A所種花不同時(shí)，有4×3×2×2＝48(種）種法，由分類加法計(jì)數(shù)原理,不同的種法種數(shù)為36＋48＝84。 4． 直線方程Ax＋By＝0，若從0,1，2，3,5，7這6個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為A、B的值，則可表示________條不同的直線． 答案　22 解析　分成三類:A＝0，B≠0；A≠0，B＝0和A≠0，B≠0,前兩類各表示1條直線； 第三類先取A有5種取法，再取B有4種取法，故有5×4＝20（種)． 所以可以表示22條不同的直線． 5. 某電子元件,是由3個(gè)電阻組成的回路，其中有4個(gè)焊點(diǎn)A、B、 C、D，若某個(gè)焊點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就不通，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通 了，那么焊點(diǎn)脫落的可能情況共有________種． 答案　15 解析　方法一　當(dāng)線路不通時(shí)焊點(diǎn)脫落的可能情況共有2×2×2×2－1＝15(種）． 方法二　恰有i個(gè)焊點(diǎn)脫落的可能情況為C(i＝1,2,3,4）種,由分類加法計(jì)數(shù)原理,當(dāng)電路不通時(shí)焊點(diǎn)脫落的可能情況共C＋C＋C＋C＝15(種)． 6． 五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則報(bào)名方法的種數(shù)為_(kāi)_______．五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列），獲得冠軍的可能性有________種． 答案　45　54 解析　報(bào)名的方法種數(shù)為4×4×4×4×4＝45（種）． 獲得冠軍的可能情況有5×5×5×5＝54（種）． 7． 已知集合A＝｛a1,a2,a3，a4}，B＝｛0,1，2，3}，f是從A到B的映射． （1)若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個(gè)？ (2)若B中的元素0必?zé)o原象,這樣的f有多少個(gè)？ （3）若f滿足f（a1）＋f（a2)＋f（a3)＋f（a4)＝4，這樣的f又有多少個(gè)？ 解　(1）顯然對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)的，即為a1找象有4種方法，a2找象有3種方法，a3找象有2種方法，a4找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(個(gè))． （2)0必?zé)o原象，1，2,3有無(wú)原象不限，所以為A中每一元素找象時(shí)都有3種方法．所以不同的f共有34＝81（個(gè))． (3）分為如下四類： 第一類:A中每一元素都與1對(duì)應(yīng)，有1種方法； 第二類：A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，一個(gè)元素對(duì)應(yīng)2,另一個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，有C·C＝12（種)方法； 第三類，A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)2，另兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)0，有C·C＝6(種）方法； 第四類，A中有一個(gè)元素對(duì)應(yīng)1，一個(gè)元素對(duì)應(yīng)3，另兩個(gè)元素與0對(duì)應(yīng)，有C·C＝12(種）方法． 所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(個(gè))． 歸納總結(jié) 方法與技巧 1．分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理,都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題,區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事． 2．混合問(wèn)題一般是先分類再分步． 3．分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏． 4．要恰當(dāng)畫出示意圖或樹(shù)狀圖，使問(wèn)題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律． 失誤與防范 1．切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行． 2．分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”,分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步． 3．確定題目中是否有特殊條件限制．