加法原理與乘法原理

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1、§10。1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 教學(xué)目標(biāo) 1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理,能正確區(qū)分“類”和“步". 2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題. 學(xué)習(xí)內(nèi)容 知識(shí)梳理 1. 分類加法計(jì)數(shù)原理 做一件事,完成它有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法. 2. 分步乘法計(jì)數(shù)原理 做一件事,完成它需要分成n個(gè)步驟,做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法,做第二個(gè)步驟有m2種不同的方法……做第n

2、個(gè)步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法. 3. 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理,都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù).它們的區(qū)別在于:分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān),各種方法相互獨(dú)立,用其中的任一種方法都可以完成這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān),各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了,這件事才算完成. 例題講解 題型一 分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 例1 高三一班有學(xué)生50人,男生30人,女生20人;高三二班有學(xué)生60人,男生30人,女生30人;高三三班有學(xué)生55人,男生35人,女生20人. (1)從高三一班或二班或三班中選一名

3、學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席,有多少種不同的選法? (2)從高三一班、二班男生中,或從高三三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長,有多少種不同的選法? 思維啟迪 用分類加法計(jì)數(shù)原理. 解 (1)完成這件事有三類方法 第一類,從高三一班任選一名學(xué)生共有50種選法; 第二類,從高三二班任選一名學(xué)生共有60種選法; 第三類,從高三三班任選一名學(xué)生共有55種選法, 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,任選一名學(xué)生任校學(xué)生會(huì)主席共有50+60+55=165(種)選法. (2)完成這件事有三類方法 第一類,從高三一班男生中任選一名共有30種選法; 第二類,從高三二班男生中任選一名共有30種選法; 第三類,從高三

4、三班女生中任選一名共有20種選法. 綜上知,共有30+30+20=80(種)選法. 思維升華 分類時(shí),首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合它的分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類;其次分類時(shí)要注意滿足一個(gè)基本要求,就是完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類,并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法,只有滿足這些條件,才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理. 鞏 固  (1)在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)? (2)方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,其中m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},那么這樣的橢圓有多少個(gè)? 解 (1)分析個(gè)位數(shù)字,可分以下幾類:

5、 個(gè)位是9,則十位可以是1,2,3,…,8中的一個(gè),故有8個(gè); 個(gè)位是8,則十位可以是1,2,3,…,7中的一個(gè),故有7個(gè); 同理,個(gè)位是7的有6個(gè); 個(gè)位是6的有5個(gè); … 個(gè)位是2的只有1個(gè). 由分類加法計(jì)數(shù)原理,滿足條件的兩位數(shù)有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(個(gè)). (2)以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類,分為五類. 第一類:m=1時(shí),使n〉m,n有6種選擇; 第二類:m=2時(shí),使n>m,n有5種選擇; 第三類:m=3時(shí),使n>m,n有4種選擇; 第四類:m=4時(shí),使n〉m,n有3種選擇; 第五類:m=5時(shí),使n〉m,n有2種選擇. ∴共有6+5+4+3+2=2

6、0(種)方法, 即有20個(gè)符合題意的橢圓. 題型二 分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 例2 有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競賽項(xiàng)目,在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法?(不一定六名同學(xué)都能參加) (1)每人恰好參加一項(xiàng),每項(xiàng)人數(shù)不限; (2)每項(xiàng)限報(bào)一人,且每人至多參加一項(xiàng); (3)每項(xiàng)限報(bào)一人,但每人參加的項(xiàng)目不限. 思維啟迪 可以根據(jù)報(bào)名過程,使用分步乘法計(jì)數(shù)原理. 解?。?)每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng),各有3種不同選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理, 知共有選法36=729(種). (2)每項(xiàng)限報(bào)一人,且每人至多參加一項(xiàng),因此可由項(xiàng)目選人,第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法,第二個(gè)項(xiàng)目有5種選

7、法,第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有報(bào)名方法6×5×4=120(種). (3)由于每人參加的項(xiàng)目不限,因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有不同的報(bào)名方法63=216(種). 思維升華 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題:①要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的;②各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事. 鞏 固 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,則: (1)y=ax2+bx+c可以表示多少個(gè)不同的二次函數(shù); (2)y=ax2+bx+c可以表示多少個(gè)圖象開口向上的二次函數(shù).

8、 解?。?)a的取值有5種情況,b的取值有6種情況,c的取值有6種情況,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180(個(gè))不同的二次函數(shù). (2)y=ax2+bx+c的圖象開口向上時(shí),a的取值有2種情況,b、c的取值均有6種情況,因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72(個(gè))圖象開口向上的二次函數(shù). 題型三 兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用 例3 如圖所示,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同 一條棱上的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,求不同的 染色方法總數(shù). 思維啟迪 染色問題是常見的計(jì)數(shù)應(yīng)用問題,可從選顏色、選頂點(diǎn)進(jìn)行分類、分步,從不同角度解決問題. 解 方法一

9、 可分為兩大步進(jìn)行,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論.由題設(shè),四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S、A、B所染的顏色互不相同,它們共有5×4×3=60(種)染色方法. 當(dāng)S、A、B染好時(shí),不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3,若C染2,則D可染3或4或5,有3種染法;若C染4,則D可染3或5,有2種染法;若C染5,則D可染3或4,有2種染法.可見,當(dāng)S、A、B已染好時(shí),C、D還有7種染法,故不同的染色方法有60×7=420(種). 方法二 以S、A、B、C、D順序分步染色. 第一步,S點(diǎn)染色,有5種方法; 第二步,A點(diǎn)染色,與S在同一條棱上,有

10、4種方法; 第三步,B點(diǎn)染色,與S、A分別在同一條棱上,有3種方法; 第四步,C點(diǎn)染色,也有3種方法,但考慮到D點(diǎn)與S、A、C相鄰,需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類,當(dāng)A與C同色時(shí),D點(diǎn)有3種染色方法;當(dāng)A與C不同色時(shí),因?yàn)镃與S、B也不同色,所以C點(diǎn)有2種染色方法,D點(diǎn)也有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(種). 方法三 按所用顏色種數(shù)分類. 第一類,5種顏色全用,共有A種不同的方法; 第二類,只用4種顏色,則必有某兩個(gè)頂點(diǎn)同色(A與C,或B與D),共有2×A種不同的方法; 第三類,只用3種顏色,則A與C、B與D必

11、定同色,共有A種不同的方法. 由分類加法計(jì)數(shù)原理,得不同的染色方法總數(shù)為 A+2×A+A=420(種). 思維升華 用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí),關(guān)鍵是明確需要分類還是分步. (1)分類要做到“不重不漏",分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù),最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和,得到總數(shù). (2)分步要做到“步驟完整”,只有完成了所有步驟,才完成任務(wù),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,把完成每一步的方法數(shù)相乘,得到總數(shù). (3)對(duì)于復(fù)雜問題,可同時(shí)運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析. 鞏 固 用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏

12、色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法? 解 如圖所示,將4個(gè)小方格依次編號(hào)為1,2,3,4,第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法. ①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí),有A=12(種)不同的涂法, 第4個(gè)小方格有3種不同的涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,有5×12×3=180(種) 不同的涂法; ②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí),有4種涂法,由于 相鄰方格不同色,因此,第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知.有5×4×4=80(種)不同的涂法. 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得,共有180+80=260(種)不同的涂法. 易錯(cuò)題 (1)把

13、3封信投到4個(gè)信箱,所有可能的投法共有 (  ) A.24種 B.4種 C.43種 D.34種 (2)某人從甲地到乙地,可以乘火車,也可以坐輪船,在這一天的不同時(shí)間里,火車有4趟,輪船有3次,問此人的走法可有________種. 易錯(cuò)分析 解決計(jì)數(shù)問題的基本策略是合理分類和分步,然后應(yīng)用加法原理和乘法原理來計(jì)算.解決本題易出現(xiàn)的問題是完成一件事情的標(biāo)準(zhǔn)不清楚導(dǎo)致計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤,對(duì)于(1),選擇的標(biāo)準(zhǔn)不同,誤認(rèn)為每個(gè)信箱有三種選擇,所以可能的投法有34種,沒有注意到一封信只能投在一個(gè)信箱中;對(duì)于(2),易混淆“類”與“步",誤認(rèn)為到達(dá)乙地先坐火車后坐輪船,使用乘法原理計(jì)算.

14、解析?。?)第1封信投到信箱中有4種投法;第2封信投到信箱中也有4種投法;第3封信投到信箱中也有4種投法.只要把這3封信投完,就做完了這件事情,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有43種方法. (2)因?yàn)槟橙藦募椎氐揭业?,乘火車的走法?種,坐輪船的走法有3種,每一種方法都能從甲地到乙地,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,可得此人的走法可有4+3=7(種). 答案 (1)C?。?)7 溫馨提醒 (1)每封信只能投到一個(gè)信箱里,而每個(gè)信箱可以裝1封信,也可以裝2封信,其選擇不是唯一的,所以應(yīng)注意由信來選擇信箱,每封信有4種選擇. (2)在處理具體的應(yīng)用問題時(shí),首先必須弄清楚“分類”與“分步"的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么.

15、選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情,可以避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏。 綜合題庫 A組 1. 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同. ( × ) (2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事. ( √ ) (3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,事情是分兩步完成的,其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事,只有兩個(gè)步驟都完成后,這件事情才算完成. ( √ ) (4)如果完成一件事情有n個(gè)不同步驟,在每一步中都有若干種不同的方法mi(i=1,2,3,,…,n),那么完成這件事共有m1m2m3…

16、mn種方法. ( √ ) 2. 5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組,每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組,則不同的報(bào)名方法共有________種. 答案 32 解析 每位同學(xué)有兩種不同的報(bào)名方法,而且只有這5位同學(xué)全部報(bào)名結(jié)束,才算事件完成.所以共有2×2×2×2×2=32(種). 3. 有不同顏色的4件上衣與不同顏色的3件長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,則不同的配法種數(shù)是________. 答案 12 解析 由分步乘法計(jì)數(shù)原理,一條長褲與一件上衣配成一套,分兩步,第一步選上衣有4種選法,第二步選長褲有3種選法,所以有4×3=12(種)選法. 4. 甲、乙兩人從4門

17、課程中各選修2門,則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有________種. 答案 24 解析 分步完成.首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門,有4種方法,其次甲從剩下的3門課程中任選1門,有3種方法,最后乙從剩下的2門課程中任選1門,有2種方法,于是,甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2=24(種). 5. 用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有________個(gè).(用數(shù)字作答) 答案 14 解析 數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次,包括以下情況: “2”出現(xiàn)1次,“3”出現(xiàn)3次,共可組成C=4(個(gè))四位數(shù). “2”出現(xiàn)2次,“3”出現(xiàn)2次,共

18、可組成C=6(個(gè))四位數(shù). “2"出現(xiàn)3次,“3”出現(xiàn)1次,共可組成C=4(個(gè))四位數(shù). 綜上所述,共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù). B組 1. 從集合{1,2,3,…,10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù),使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為 (  ) A.3 B.4 C.6 D.8 答案 D 解析 按從小到大順序有124,139,248,469共4個(gè),同理按從大到小順序也有4個(gè),故這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為8個(gè). 2. 現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色,要求有公共邊 界的兩塊不能用同一種顏色,則不同的著色方法共有 (  )

19、 A.24種 B.30種 C.36種 D.48種 答案 D 解析 共有4×3×2×2=48(種),故選D. 3. 集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P?Q.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x,y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 (  ) A.9 B.14 C.15 D.21 答案 B 解析 當(dāng)x=2時(shí),x≠y,點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1×7=7(個(gè));當(dāng)x≠2時(shí),x=y(tǒng),點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7×1=7(個(gè)),則共有14個(gè)點(diǎn),故選B。 4. (2013·山東)用0,1,…,9十個(gè)數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為( ?。? A.

20、243 B.252 C.261 D.279 答案 B 解析 0,1,2,…,9共能組成9×10×10=900(個(gè))三位數(shù),其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8=648(個(gè)). ∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900-648=252(個(gè)). 5. (2013·四川)從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中,每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的個(gè)數(shù)是 (  ) A.9 B.10 C.18 D.20 答案 C 解析 由于lg a-lg b=lg(a>0,b〉0),從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)作為有A=20種,又與相同,與相同,∴l(xiāng)g a-l

21、g b的不同值的個(gè)數(shù)有A-2=20-2=18,選C. 6. 一個(gè)乒乓球隊(duì)里有男隊(duì)員5名,女隊(duì)員4名,從中選取男、女隊(duì)員各一名組成混合雙打,共有________種不同的選法. 答案 20 解析 先選男隊(duì)員,有5種選法,再選女隊(duì)員有4種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有5×4=20(種)不同的選法. 7. 某次活動(dòng)中,有30人排成6行5列,現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演,要求這3人中的任意2人不同行也不同列,則不同的選法種數(shù)為________(用數(shù)字作答). 答案 7 200 解析 其中最先選出的一個(gè)人有30種方法,此時(shí)不能再從這個(gè)人所在的行和列上選人,還剩一個(gè)5行4列的隊(duì)形,故選第二個(gè)人有

22、20種方法,此時(shí)不能再從該人所在的行和列上選人,還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形,此時(shí)第三個(gè)人的選法有12種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,總的選法種數(shù)是30×20×12=7 200。 8. 已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},從M,N這兩個(gè)集合中各選一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________. 答案 6 解析 分兩類:第一類,第一象限內(nèi)的點(diǎn),有2×2=4(個(gè)); 第二類,第二象限內(nèi)的點(diǎn),有1×2=2(個(gè)).共4+2=6(個(gè)). 9. 某外語組有9人,每人至少會(huì)英語和日語中的一門,其中7人會(huì)英語,3人會(huì)日語

23、,從中選出會(huì)英語和日語的各一人,有多少種不同的選法? 解 由題意得有1人既會(huì)英語又會(huì)日語,6人只會(huì)英語,2人只會(huì)日語. 第一類:從只會(huì)英語的6人中選1人說英語,共有6種方法,則說日語的有2+1=3(種),此時(shí)共有6×3=18(種); 第二類:不從只會(huì)英語的6人中選1人說英語,則只有1種方法,則選會(huì)日語的有2種,此時(shí)共有1×2=2(種); 所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有18+2=20(種)選法. 10.在某種信息傳輸過程中,用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息,不同排列表示不同信息.若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為多少? 解

24、 方法一 分0個(gè)相同、1個(gè)相同、2個(gè)相同討論. (1)若0個(gè)相同,則信息為1001。共1個(gè). (2)若1個(gè)相同,則信息為0001,1101,1011,1000。共4個(gè). (3)若2個(gè)相同,又分為以下情況: ①若位置一與二相同,則信息為0101; ②若位置一與三相同,則信息為0011; ③若位置一與四相同,則信息為0000; ④若位置二與三相同,則信息為1111; ⑤若位置二與四相同,則信息為1100; ⑥若位置三與四相同,則信息為1010. 共6個(gè). 故與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為1+4+6=11。 方法二 若0個(gè)相同,共有1個(gè); 若1個(gè)相

25、同,共有C=4(個(gè)); 若2個(gè)相同,共有C=6(個(gè)). 故共有1+4+6=11(個(gè)). C組 1. 三邊長均為整數(shù),且最大邊長為11的三角形的個(gè)數(shù)為 ( ?。? A.24 B.26 C.36 D.37 答案 C 解析 設(shè)另兩邊長分別為x、y,且不妨設(shè)1≤x≤y≤11,要構(gòu)成三角形,必須x+y≥12。 當(dāng)y取11時(shí),x=1,2,3,…,11,可有11個(gè)三角形; 當(dāng)y取10時(shí),x=2,3,…,10,可有9個(gè)三角形; ……; 當(dāng)y取6時(shí),x只能取6,只有1個(gè)三角形. ∴所求三角形的個(gè)數(shù)為11+9+7+5+3+1=36. 2. 將1,2,3,4,5,6,7,8

26、,9這9個(gè)數(shù)字填在如圖的9個(gè)空格中,要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大,當(dāng)3,4固定在圖中的位置時(shí),填寫空格的方法種數(shù)為 (  ) 3 4 A。4 B.6 C.9 D.12 答案 B 解析 如圖所示,根據(jù)題意,1,2,9三個(gè)數(shù)字的位置是確定的,余下的數(shù)中,5只能在a,c位置,8只能在b,d位置,依(a,b,c,d)順序,具體有(5,8,6,7),(5,6,7,8),(5,7,6,8),(6,7,5,8),(6,8,5,7),(7,8,5,6),合計(jì)6種。 1 2 a 3 4 b c d 9 3. 如圖,一環(huán)形花壇分成

27、A,B,C,D四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種, 要求在每塊里種1種花,且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法總數(shù)為 ( ?。? A.96 B.84 C.60 D.48 答案 B 解析 可依次種A、B、C、D四塊,當(dāng)C與A種同一種花時(shí),有4×3×1×3=36(種)種法;當(dāng)C與A所種花不同時(shí),有4×3×2×2=48(種)種法,由分類加法計(jì)數(shù)原理,不同的種法種數(shù)為36+48=84。 4. 直線方程Ax+By=0,若從0,1,2,3,5,7這6個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為A、B的值,則可表示________條不同的直線. 答案 22 解析 分成三類:A=0,B≠0;A≠0,B=0和A≠

28、0,B≠0,前兩類各表示1條直線; 第三類先取A有5種取法,再取B有4種取法,故有5×4=20(種). 所以可以表示22條不同的直線. 5. 某電子元件,是由3個(gè)電阻組成的回路,其中有4個(gè)焊點(diǎn)A、B、 C、D,若某個(gè)焊點(diǎn)脫落,整個(gè)電路就不通,現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通 了,那么焊點(diǎn)脫落的可能情況共有________種. 答案 15 解析 方法一 當(dāng)線路不通時(shí)焊點(diǎn)脫落的可能情況共有2×2×2×2-1=15(種). 方法二 恰有i個(gè)焊點(diǎn)脫落的可能情況為C(i=1,2,3,4)種,由分類加法計(jì)數(shù)原理,當(dāng)電路不通時(shí)焊點(diǎn)脫落的可能情況共C+C+C+C=15(種). 6. 五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體

29、育比賽,每人限報(bào)一項(xiàng),則報(bào)名方法的種數(shù)為________.五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列),獲得冠軍的可能性有________種. 答案 45 54 解析 報(bào)名的方法種數(shù)為4×4×4×4×4=45(種). 獲得冠軍的可能情況有5×5×5×5=54(種). 7. 已知集合A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f是從A到B的映射. (1)若B中每一元素都有原象,這樣不同的f有多少個(gè)? (2)若B中的元素0必?zé)o原象,這樣的f有多少個(gè)? (3)若f滿足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,這樣的f又有多少個(gè)? 解 (1)顯然對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)的,即為

30、a1找象有4種方法,a2找象有3種方法,a3找象有2種方法,a4找象有1種方法,所以不同的f共有4×3×2×1=24(個(gè)). (2)0必?zé)o原象,1,2,3有無原象不限,所以為A中每一元素找象時(shí)都有3種方法.所以不同的f共有34=81(個(gè)). (3)分為如下四類: 第一類:A中每一元素都與1對(duì)應(yīng),有1種方法; 第二類:A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)1,一個(gè)元素對(duì)應(yīng)2,另一個(gè)元素與0對(duì)應(yīng),有C·C=12(種)方法; 第三類,A中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)2,另兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)0,有C·C=6(種)方法; 第四類,A中有一個(gè)元素對(duì)應(yīng)1,一個(gè)元素對(duì)應(yīng)3,另兩個(gè)元素與0對(duì)應(yīng),有C·C=12(種)方法. 所以不同的f共

31、有1+12+6+12=31(個(gè)). 歸納總結(jié) 方法與技巧 1.分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理,都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題,區(qū)別在于:分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問題,各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事. 2.混合問題一般是先分類再分步. 3.分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)要明確,做到不重復(fù)不遺漏. 4.要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖,使問題的分析更直觀、清楚,便于探索規(guī)律. 失誤與防范 1.切實(shí)理解“完成一件事”的含義,以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行. 2.分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”,分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序,即合理分類,準(zhǔn)確分步. 3.確定題目中是否有特殊條件限制.

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