數(shù)學物理方程主要內(nèi)容

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1、數(shù) 學 物 理 方 程 主 要 內(nèi) 容三 種 基 本 方 程 、 五 種 基 本 解 法 、 兩 個 基 本 原 理 、 兩 個 特 殊 函 數(shù)通 解 法行 波 法 （ 達 朗 貝 爾 公 式 ）分 離 變 量 法(Fourier級 數(shù) 法 ) 積 分 變 換 法格 林 函 數(shù) 法波 動 方 程熱 傳 導拉 普 拉 斯 方 程 貝 塞 爾 函 數(shù)勒 讓 德 函 數(shù)疊 加 原 理齊 次 化 原 理三 種 基 本 問 題 初 值 問 題邊 值 問 題混 合 問 題 回 顧 一 ： 哈 密 爾 頓 算 子 或 梯 度 算 子 ， 讀 作 nabla kzjyix 22222223 zyx 22222

2、2 yuxuu uu grad AA div AA rot拉 普 拉 斯 算 子 一 些 常 見 符 號與 梯 度 算 子 有 關(guān) 的 場 論 運 算 平 面 上 的 拉 普 拉 斯 算 子 (4) 按 未 知 函 數(shù) 及 其 導 數(shù) 的 系 數(shù) 是 否 變 化 分 為 常 系 數(shù) 和 變 系 數(shù) 微 分 方 程 ；(5) 按 自 由 項 是 否 為 零 分 為 齊 次 方 程 和 非 齊 次 方 程(1) 按 自 變 量 的 個 數(shù) ， 分 為 二 元 和 多 元 方 程 ；(2) 按 未 知 函 數(shù) 及 其 導 數(shù) 的 冪 次 ， 分 為 線 性 微 分 方 程 和 非 線 性 （ 包 括

3、 半 線 性 ， 擬 線 性 ， 完 全 非 線 性 ） 微 分 方 程 ；(3) 按 方 程 中 未 知 函 數(shù) 導 數(shù) 的 最 高 階 數(shù) ， 分 為 一 階 、 二 階 和 高 階 微 分 方 程 ；回 顧 二 ： 偏 微 分 方 程 的 一 般 分 類 判 斷 下 列 方 程 類 型 ： 2 0;u uxyx y 3 3 0;u u uut x x 2 2( ) ( ) 0;u ux y 一 階 線 性三 階 擬 線 性一 階 非 線 性 Warm-up 調(diào) 和 方 程 ： 熱 傳 導 方 程 ： 波 動 方 程 ： 回 顧 三 ： 三 類 典 型 偏 微 分 方 程 琴 弦 的 振

4、動 ； 桿 、 膜 、 液 體 、 氣 體 等 的 振 動 ； 電 磁 場 的 振 蕩等 熱 傳 導 中 的 溫 度 分 布 ； 流 體 的 擴 散 、 粘 性 液 體 的 流 動 空 間 的 靜 電 場 分 布 ； 靜 磁 場 分 布 ； 穩(wěn) 定 溫 度 場 分 布 2 222 2 ( , )u ua f x tt x 2 ( , , , )u a u f x y z tt fu fu2 或 1.3 定 解 條 件 和 定 解 問 題 通 解 和 特 解 定 解 條 件 定 解 問 題第 一 章 偏 微 分 方 程 定 解 問 題1.5 疊 加 原 理 和 齊 次 化 原 理 （ 沖 量 原

5、 理 ） 7 舉 例 （ 設(shè) 未 知 函 數(shù) 為 二 元 函 數(shù) ）0 xu1. 0 xuatu2. atxx作 變 量 代 換解 為 ： )(yfu 解 為 ： )( atxfu 0 ua 1.2.1 通 解 與 特 解 )(1 atx 為 任 意 函 數(shù)f 為 任 意 函 數(shù)f 8 舉 例 （ 未 知 函 數(shù) 為 二 元 函 數(shù) ）022222 xuatu4. 02 tx u3. 解 為 ： )()( thxgu atx atx變 換 02 u 解 為 ： )()( atxhatxgu 例 驗 證 ( , ) ( ) ( )u x t f x at g x at 2 222 2 0u ua

6、t x 是 方 程的 解 ， 其 中 f,g是 任 意 兩 個 二 階連 續(xù) 可 微 函 數(shù) ， a為 正 常 數(shù) 。解 ： 2 2 222 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )u af x at ag x attu a f x at a g x attu f x at g x atxu f x at g x atx 故 2 222 2 ,u uat x 移 項 即 證 。 例 ： 二 維 Laplace方 程 的 一 些 特 解 ：特 解 )0(1ln rru 011 222222 urrurruu yeu x sin 中 心 對 稱 解 ： 周 期 稱 解 ： 多

7、項 式 稱 解 ： 22 yxu 什 么 是 定 解 問 題 ？ 泛 定 方 程 ： 描 述 某 類 物 理 現(xiàn) 象 共 同 規(guī) 律 的 數(shù) 學 表 達 式 偏 微 分 方 程 （ 比 如 ， 波 動 方 程 、 熱 傳 導 方 程 、 拉 普 拉斯 方 程 等 等 ） 。 注 -它 的 解 可 含 任 意 函 數(shù) ， 因 而 不 能 用來 確 定 或 反 映 一 個 真 實 的 物 理 過 程 。 定 解 條 件 ： 伴 隨 一 個 完 整 的 物 理 過 程 發(fā) 生 的 具 體 條 件 ，一 般 包 括 初 始 條 件 與 邊 界 條 件 。 初 始 條 件 ： 用 來 說 明 某 一 具

8、 體 物 理 現(xiàn) 象 初 始 狀 態(tài) 的 條 件 。 邊 界 條 件 ： 用 來 說 明 某 一 具 體 物 理 現(xiàn) 象 邊 界 上 的 約 束 情 況 的 條 件 。 注 ： 初 始 條 件 的 個 數(shù) 與 方 程 中 出 現(xiàn) 的 未 知 函 數(shù) u對 時 間 變 量 t的 導 數(shù)的 階 數(shù) 有 關(guān) 。 邊 界 條 件 和 初 始 條 件 反 映 了 具 體 問 題 的 特 殊 環(huán) 境 和 歷 史 ， 即 個 性 。 其 他 條 件 ： 能 夠 用 來 說 明 某 一 具 體 物 理 現(xiàn) 象 情 況 的 條 件 。 定 解 問 題 ： 泛 定 方 程 加 上 適 當 的 定 解 條 件 就

9、構(gòu) 成 一 個 定解 問 題 ， 即 定 解 問 題 =泛 定 方 程 +定 解 條 件 。 基本概念 初 始 時 刻 的 溫 度 分 布 ：B、 熱 傳 導 方 程 的 初 始 條 件 0( , )| ( )tu M t M C、 泊 松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 的 初 始 條 件不 含 初 始 條 件 ， 只 含 邊 界 條 件 條 件A、 波 動 方 程 的 初 始 條 件00| ( )( )ttu xu xt 1、 初 始 條 件 描 述 系 統(tǒng) 的 初 始 狀 態(tài)系 統(tǒng) 各 點 的 初 位 移系 統(tǒng) 各 點 的 初 速 度1.3 定 解 條 件 (2)自 由 端 ： 彈

10、性 桿 x=a 端 既 不 固 定 ， 又 不 受 位 移 方 向 力 的 作 用 。2、 邊 界 條 件 描 述 系 統(tǒng) 在 邊 界 上 的 狀 況A、 波 動 方 程 的 邊 界 條 件(1)固 定 端 ： 對 于 兩 端 固 定 的 弦 的 橫 振 動 ， 其 為 ：0| 0,xu ( , ) 0u a t 或 ：0 x aux ( , ) 0 xu a t (3) 彈 性 支 承 端 ： 在 x=a端 受 到 彈 性 系 數(shù) 為 k 的 彈 簧 的 支 承 。 x ax auT kux 或 0 x au k ux T 或 ： B、 熱 傳 導 方 程 的 邊 界 條 件(1) 第 一

11、類 （ Dirichlet） 邊 界 條 件| ( )su f t (設(shè) S為 給 定 區(qū) 域 V 的 邊 界 )(2) 第 二 類 （ Neumann） 邊 界 條 件( ) 0q t 當(3) 第 三 類 （ Robin） 邊 界 條 件牛 頓 冷 卻 定 律 ： 單 位 時 間 內(nèi) 從 物 體 通 過 邊 界 上 單 位 面 積 流到 周 圍 介 質(zhì) 的 熱 量 跟 物 體 表 面 和 外 面 的 溫 差 成 正 比 。 1( )d d d dudQ h u u S t k S tn 熱 交 換 系 數(shù) ； 周 圍 介 質(zhì) 的 溫 度 ,h 1u 1 SSuh u k h un (齊 次

12、 邊 界 條 件 )（ 齊 次 ， 表 示 絕 熱 ）k為 熱 傳 導 系 數(shù) 11uu 當 =0（ 第 三 類 齊 次 邊 界 條 件 ） ， 當 0（ 第 三 類 非 齊 次 邊 界 條 件 ） 熱 場 SV nd S 1uu( ) 0f t 當( )suk q tn 1、 定 解 問 題定 解 問 題 的 概 念(1) 初 始 問 題 （ Cauchy問 題 ） =泛 定 方 程 +初 始 條 件 ： 只 有 初 始 條 件 ， 沒 有 邊 界 條 件 的 定 解 問 題 ；(2) 邊 值 問 題 =泛 定 方 程 +邊 界 條 件 ： 沒 有 初 始 條 件 ， 只 有 邊 界 條 件

13、 的 定 解 問 題 ；(3) 混 合 問 題 =泛 定 方 程 +初 始 條 件 +邊 界 條 件 ： 既 有 初 始 條 件 ， 也 有 邊 界 條 件 的 定 解 問 題 。 波 動 方 程輸 運 方 程拉 普 拉 斯 方 程泊 松 方 程第 一 類 邊 界 條 件第 二 類第 三 類周 期 性 邊 界 條 件有 界 性 條 件 演 化 方 程 穩(wěn) 定 方 程線 性 邊 界 條 件自 然 邊 界 條 件初 始 狀 態(tài)初 始 速 度泛 定 方 程邊 界 條 件初 始 條 件定 解 問 題 2、 定 解 問 題 的 適 定 性一 個 定 解 問 題 是 否 能 夠 反 映 實 際 ， 從 數(shù)

14、 學 的 角 度 看 主 要 是 三 個 方 面 的 問 題 ： 解 的 存 在 性 : 在 給 定 的 定 解 條 件 下 ， 定 解 問 題 是 否 有 解 ? 解 的 唯 一 性 : 在 給 定 的 定 解 條 件 下 ， 定 解 問 題 的 解 若 存 在 ，是 否 唯 一 ? 解 的 穩(wěn) 定 性 ： 當 定 解 條 件 及 方 程 中 的 參 數(shù) 有 微 小 變 動 時 ，解 是 否 有 相 應(yīng) 的 微 小 變 動 。 如 果 當 定 解 條 件 及 方 程 中 的 參數(shù) 有 微 小 變 化 時 ， 其 解 僅 有 微 小 的 變 動 , 則 稱 該 定 解 問 題的 解 是 穩(wěn) 定

15、 的 ， 否 則 稱 它 的 解 是 不 穩(wěn) 定 的 。 因 為 定 解 條 件中 的 一 些 已 知 量 ， 通 常 總 是 利 用 實 驗 得 到 的 數(shù) 據(jù) ， 不 可 避免 地 會 有 一 定 的 誤 差 ， 所 以 人 們 自 然 會 關(guān) 心 定 解 條 件 的 微小 擾 動 是 否 會 導 致 解 的 變 化 很 大 。 定 解 問 題 的 適 定 性 （ 存 在 + 唯 一 + 穩(wěn) 定 ） ： 如 果 一 個 定 解 問 題 存 在 唯 一 的 穩(wěn) 定 解 ， 則 此 問 題 是 適 定 的 。否 則 就 稱 它 為 不 適 定 的 。 由 于 許 多 數(shù) 學 物 理 問 題 均

16、 可 以 用 適 定 的 定 解 問 題來 處 理 ， 長 期 以 來 ， 人 們 認 為 不 適 定 數(shù) 學 物 理 問 題的 研 究 是 沒 有 意 義 的 ， 然 而 在 實 際 問 題 中 經(jīng) 常 遇 到 不適 定 的 問 題 。 例 如 ， 對 于 某 物 體 ， 希 望 在 某 時 刻 具 有 一 個 實 際 的溫 度 分 布 ， 那 么 在 初 始 時 刻 物 體 應(yīng) 當 具 有 一 個 什 么 樣 的溫 度 分 布 才 能 達 到 此 目 的 ？ 這 就 是 一 個 不 適 定 的 問 題 它 是 所 謂 的 數(shù) 學 物 理 問 題的 反 問 題 。 通 過 研 究 ， 人 們

17、 找 到 了 處 理 這 類 不 適 定 問 題 的一 些 辦 法 。 現(xiàn) 在 對 不 適 定 問 題 的 研 究 已 成 為 偏 微 分方 程 的 一 個 重 要 的 研 究 方 向 。 線 性 方 程 的 解 具 有 有 限 （ 無 限 ） 疊 加 特 性 1.5.1 疊 加 原 理 ： 物 理 上 ， 幾 種 不 同 的 原 因 的 綜 合 所 產(chǎn) 生 的 效 果 等 于 這 些 不 同原 因 單 獨 產(chǎn) 生 的 效 果 的 累 加 。 利 用 此 原 理 ， 可 以 把 一 個 復 雜的 線 性 問 題 分 解 成 若 干 個 簡 單 線 性 問 題 來 求 解 。 。ii fLu f

18、fii iiuu ffLuLu iiii 0iLu iiuu 0Lu 12, 1 1 ( , , );nn nij i ii j ii j iL x x xL a b cx x x 這 里 ， 為 關(guān) 于 空 間 坐 標 的 偏 微 分 算 子 ，比 如 ： = 為 常 數(shù) 。 -設(shè) 滿 足 方 程 為 常 數(shù) ， 而 級 數(shù) 收 斂 ， 且 能 夠 逐 項 微 分 兩 次 ， 則 滿 足 方程 ， 若 級 數(shù) 收 斂 。 另 ， 參 見 課 本 230頁 的 （ 積 分 ） 疊 加 原 理 3。 ( 1,2,3, )iu i ( 1,2,3, ),i iLu f i ( 1,2,3, )i

19、i 1 i iiu u uLu f 1 i iif f 疊 加 原 理 的 應(yīng) 用 應(yīng) 用 ： 齊 次 方 程 的 兩 個 解 的 線 性 組 合 仍 為 原 方 程 的 解 ； 非 齊 次 方 程 的 特 解 加 對 應(yīng) 的 齊 次 方 程 的 解 ， 結(jié) 果 為非 齊 次 方 程 的 解 ； 兩 個 非 齊 次 方 程 的 解 的 線 性 組 合 ， 為 一 個 新 的 非 齊次 方 程 的 解 ， 新 方 程 的 自 由 項 為 原 方 程 自 由 項 的 同樣 組 合 。 多 個 非 齊 次 方 程 的 解 的 線 性 組 合 情 況 類 似 。 一 維 非 齊 次 波 動 方 程 的

20、 cauchy問 題 ：考 慮 無 界 弦 的 強 迫 振 動 問 題（ A） （ B） 解 記 為（ C） 解 記 為由 疊 加 原 理 可 知2 , , 0,( ,0) ( ), ( ,0) ( ).tt xx tu a u x tu x x u x x 2 ( , ), , 0,( ,0) ( ), ( ,0) ( ).tt xx tu a u f x t x tu x x u x x 1( , )u x t2 ( , ), 0, ,( ,0) 0, ( ,0) 0.tt xx tu a u f x t t xu x u x 2( , )u x t（ 可 由 達 朗 貝 爾 公 式 給

21、出 ）1.5.2 齊 次 化 原 理 （ 沖 量 原 理 ） 一 維 非 齊 次 波 動 方 程 的 cauchy問 題 ：考 慮 無 界 弦 的 強 迫 振 動 問 題（ A） （ B） 解 記 為（ C） 解 記 為由 疊 加 原 理 可 知2 , , 0,( ,0) ( ), ( ,0) ( ).tt xx tu a u x tu x x u x x 2 ( , ), , 0,( ,0) ( ), ( ,0) ( ).tt xx tu a u f x t x tu x x u x x 1( , )u x t2 ( , ), 0, ,( ,0) 0, ( ,0) 0.tt xx tu a

22、u f x t t xu x u x 2( , )u x t 1 2( , ) ( , ) ( , ).u x t u x t u x t （ 可 由 達 朗 貝 爾 公 式 給 出 ） 1.5.2 齊 次 化 原 理 （ 沖 量 原 理 ） （ D） 2 , ,| 0, | ( , )tt xxt t ta t xf x ( )( )1( , ; ) ( , ) .2 x a tx a tx t f da 由 達 朗 貝 爾 公 式 ， 可 得 問 題 （ D） 的 解 為 定 理 （ 齊 次 化 原 理 1） 設(shè) 是 問 題 （ D） 的 解 ， 則 是 問 題 （ C） 的 解 。 另

23、參 見 課 本 231-233頁 。 ( , ; )x t 0( , ) ( , ; )tu x t x t d 注 ： 齊 次 化 原 理 的 作 用 就 是 將 非 齊 次 方 程 的 定 解問 題 的 求 解 轉(zhuǎn) 化 為 齊 次 方 程 的 定 解 問 題 的 求 解 。 設(shè) 滿 足 柯 西 問 題 其 中 ， 為 關(guān) 于 自 變 量 的 常 系 數(shù) 線 性 偏 微 分 算 子 。則 柯 西 問 題 的 解 為 ),( ,),( 3zyxf tRzyxLtt );,( zyxt zyx , 0 0,),(),(0 3tu tRzyxzyxtfLutu t dzyxtu 0 );,( 齊 次 化 原 理 2L 作 業(yè) #1DUE Next Wednesday, March 11 第 一 章 習 題 ， 234-236頁 ， 1(1)， 4,6,8,10更 正 ： 題 6中 ， 即 是 的 函 數(shù) 。),( yxuu yx,u