江蘇專轉本高數第九節(jié)連續(xù)函數的運算

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1、機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 1/18第 九 節(jié) 連 續(xù) 函 數 的 運 算一 、 四 則 運 算 的 連 續(xù) 性二 、 反 函 數 與 復 合 函 數 的 連 續(xù) 性三 、 初 等 函 數 的 連 續(xù) 性四 、 小 結 思 考 題與 初 等 函 數 的 連 續(xù) 性 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 2/18一 、 連 續(xù) 函 數 的 四 則 運 算 的 連 續(xù) 性【 定 理 1】 例 如 . ),(cos,sin 內 連 續(xù)在 xx . csc,sec,cot,tan 在 其 定 義 域 內 連 續(xù)xxxx （ 上 節(jié) 已 證 ）由 函 數 “ 連 續(xù) ” 的

2、 定 義 和 極 限 四 則 運 算 法 則 ， 立 得 :【 推 廣 】 有 限 個 連 續(xù) 函 數 的 和 、 差 、 積 仍 為 連 續(xù) 函 數 ?！?結 論 】 三 角 函 數 在 其 定 義 域 內 連 續(xù) .若 f(x) , g(x)在 點 x0處 連 續(xù) ， 則 f(x) g(x) ，f(x)g(x) , f(x)/g(x)g(x0)0在 點 x0處 也 連 續(xù) . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 3/18二 、 反 函 數 與 復 合 函 數 的 連 續(xù) 性【 定 理 2】 嚴 格 單 調 的 連 續(xù) 函 數 必 有 嚴 格 單 調 的 連 續(xù) 反 函 數 .（

3、 證 明 略 ） 例 如 上 單 調 增 加 且 連 續(xù)在 2,2sin xy 上 也 是 單 調 增 加 且 連 續(xù)在故 1,1arcsin xy 上 單 調 減 少 且 連 續(xù)在同 理 1,1arccos xy 上 單 調 且 連 續(xù)在 ,cot,arctan xarcyxy【 結 論 】 反 三 角 函 數 在 其 定 義 域 內 皆 連 續(xù) .1. 反 函 數 的 連 續(xù) 性 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 4/18).(lim)()(lim)(lim , )(,)(lim 000 0 0 00 xgfufufxgf uufuxg xxuuxx xx 則 有 連 續(xù)在

4、點函 數若【 定 理 3】【 證 】 ,)( 0連 續(xù)在 點 uuuf . )()( ,0,0 0 0成 立恒 有 時使 當 ufuf uu,)(lim 0 0 uxgxx 又 ,0,0,0 0 時使 當對 于 xx 2、 復 合 函 數 的 連 續(xù) 性 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 5/18.)( 00 成 立恒 有 uuuxg將 上 兩 步 綜 合 起 來 : ,0,0,0 0 時使 當 xx)()()()( 00 ufxgfufuf .成 立)()(lim 00 ufxgfxx ).(lim 0 xgf xx 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 6/18【

5、意 義 】 .)(.1 的 理 論 依 據變 量 代 換 xu 【 例 1】 .)1ln(lim0 x xx 求 .1xx x 10 )1ln(lim 原 式 )1(limln 10 xx x eln【 解 】 )(lim)(lim 2 00 xgfxgf xxxx 由 可 知極 限 符 號 可 以 與 函 數 符 號 f 交 換 次 序 ;0limxx同 理 x xax )1(loglim0 aln1 （ 即 教 材 例 6）利 用 lnu的 連 續(xù) 性 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 7/18【 教 材 例 3】 93lim 23 xxx求【 解 】 932 xxy 可 視

6、 為 由 、 uy 932 xxu復 合 而 成 ， 6193lim 23 xxx又 61 連 續(xù)在 點而 uuy則 93lim 23 xxx 93lim 23 xxx交 換 次 序 6661 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 8/18又 如 )arccos(lim 2 xxxx xxx xx 2arccoslim 111 1arccoslim xx 111 1limarccos xx21arccos 3 交 換 次 序 ：分 子 有 理 化分 離 無 窮 小 量 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 9/18【 例 2】 .1lim0 xexx 求 .1)1ln(li

7、m0 yyy 原 式【 解 】 ,1 yex 令 ),1ln( yx 則 .0,0 yx 時當 yy y 10 )1ln( 1lim 同 理 可 得 .ln1lim0 axa xx （ 即 教 材 例 7）yy y 10 )1ln(lim 1 交 換 次 序 eln1yy y 10 )1(limln 1 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 10/18.)( ,)(,)( ,)( 0 000 0也 連 續(xù)在 點則 復 合 函 數 連 續(xù)在 點而 函 數 且連 續(xù)在 點設 函 數 xxxgfy uuufyuxg xxxgu 【 定 理 4】 例 如 xy 1sin 是 由 連 續(xù) 函

8、數 鏈),(,sin uuy ,1xu *Rx因 此 xy 1sin 在 *Rx 上 連 續(xù) .復 合 而 成 , xyo xy 1sin 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 11/18三 、 初 等 函 數 的 連 續(xù) 性三 角 函 數 及 反 三 角 函 數 在 它 們 的 定 義 域 內 是連 續(xù) 的 . )1,0( aaay x指 數 函 數 內 單 調 且 連 續(xù)在 ),( )1,0( log aaxy a對 數 函 數 內 單 調 且 連 續(xù)在 ),0( 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 12/18【 定 理 5】 基 本 初 等 函 數 在 定 義 域

9、內 是 連 續(xù) 的 . xy xaa log ,uay .log xu a , ),0( 內 連 續(xù)在 ,不 同 值討 論 (均 在 其 定 義 域 內 連 續(xù) )定 義 區(qū) 間 是 指 包 含 在 定 義 域 內 的 區(qū) 間 .基 本 初 等 函 數 在 定 義 域 內 連 續(xù)連 續(xù) 函 數 經 四 則 運 算 仍 連 續(xù)連 續(xù) 函 數 的 復 合 函 數 連 續(xù) 一 切 初 等 函 數在 定 義 區(qū) 間 內連 續(xù) 【 定 理 6】 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 13/18【 例 3】 .1sinlim1 xx e求 1sin 1 e原 式 .1sin e【 例 4】 .1

10、1lim 20 xxx 求【 解 】【 解 】 )11( )11)(11(lim 2 220 xx xxx原 式 11lim 20 xxx 20 .0 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 14/18【 教 材 例 8】 xx x sin30 )21(lim 求【 解 】 xx sin3)21( 6sin21)21( xxxxxxxxe 21)21ln(sin6 由 定 理 3及 極 限 運 算 法 則 得xx x sin30 )21(lim xx xxxe 210 )21ln(sin6lim 6e【 解 】 xx x sin30 )21(lim )21ln(sin3 lim 0 x

11、xxe 62sin3 lim 0 ee xxx ln(1+2x) 2x (x0) 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 15/18【 一 般 地 】 )1)(,0)( )( )( xuxuxu xv形 如的 函 數 稱 為 冪 指 函 數若 0)(lim axu bxv )(lim則 bxv axu )()(lim 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 16/18四 、 小 結3.定 義 區(qū) 間 與 定 義 域 的 區(qū) 別 ;求 極 限 的 又 一 種 方 法 .2.兩 個 定 理 （ 3、 4） ;兩 點 意 義 .1.基 本 初 等 函 數 在 定 義 域 內 連 續(xù)連

12、 續(xù) 函 數 的 四 則 運 算 的 結 果 連 續(xù)連 續(xù) 函 數 的 反 函 數 連 續(xù)連 續(xù) 函 數 的 復 合 函 數 連 續(xù) 初 等 函 數在 定 義 區(qū)間 內 連 續(xù)【 說 明 】 分 段 函 數 在 分 界 點 處 是 否 連 續(xù) 需 討 論 其 左 、 右 連 續(xù) 性 . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 17/18【 思 考 題 】 設 xxf sgn)( ， 21)( xxg ， 試 研 究 復 合 函 數 )( xgf 與 )( xfg 的 連 續(xù) 性 . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 18/18【 思 考 題 解 答 】 21)( xxg )1sgn()( 2xxgf 1 2sgn1)( xxfg 0,1 0,2 xx 在 ),( 上 處 處 連 續(xù) )( xgf 在 )0,( ),0( 上 處 處 連 續(xù) )( xfg 0 x 是 它 的 可 去 間 斷 點 0,1 0,0 0,1)( xxxxf