概率論課件 第三章

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1、1 第 三 章 隨 機 變 量 的數(shù) 字 特 征 2 2.1 數(shù) 學 期 望引 例3.1.1 數(shù) 學 期 望 的 定 義某 射 擊 運 動 員 射 擊 結(jié) 果 如 下 ： 10 10 9 9 9 8 8 8 8 8則 他 的 平 均 命 中 的 環(huán) 數(shù) 為 10 2 9 3 8 510 x 2 3 510 9 8 8.710 10 10 3 若 用 X 表 示 他 射 擊 時 命 中 的 環(huán) 數(shù) ， 則 X 是 一 個 隨機 變 量 ， 其 分 布 律 可 表 示 為 1 8 ,2P X 3 9 ,10P X 1 10 5P X 上 面 的 可 理 解 為 以 概 率 為 權(quán) 數(shù) 的 “ 加

2、權(quán) ” 平 均 值 x我 們 稱 之 為 隨 機 變 量 的 “ 數(shù) 學 期 望 ” 或 “ 均值 ” 。 4 定 義 1 離 散 型 隨 機 變 量 的 數(shù) 學 期 望.)( ).(, .,2,1, 1 11 k kk k kkk kk kk pxXE XEX pxpx kpxXP X 即記 為的 數(shù) 學 期 望的 和 為 隨 機 變 量 則 稱 級 數(shù)絕 對 收 斂若 級 數(shù) 的 分 布 律 為設(shè) 離 散 型 隨 機 變 量 L 5 關(guān) 于 定 義 的 幾 點 說 明 (3) 隨 機 變 量 的 數(shù) 學 期 望 與 一 般 變 量 的 算術(shù) 平 均 值 不 同 . (1) E(X)是 一

3、個 實 數(shù) ,而 非 變 量 ,它 是 一 種 加權(quán) 平 均 ,與 一 般 的 平 均 值 不 同 , 它 從 本 質(zhì) 上 體 現(xiàn)了 隨 機 變 量 X 取 可 能 值 的 真 正 平 均 值 , 也 稱均 值 . (2) 級 數(shù) 的 絕 對 收 斂 性 保 證 了 級 數(shù) 的 和 不隨 級 數(shù) 各 項 次 序 的 改 變 而 改 變 , 之 所 以 這 樣 要求 是 因 為 數(shù) 學 期 望 是 反 映 隨 機 變 量 X 取 可 能 值的 平 均 值 ,它 不 應(yīng) 隨 可 能 值 的 排 列 次 序 而 改 變 . 6 , ,甲 乙 兩 個 射 手 他 們 的 射 擊 結(jié) 果 分 別 為試

4、問 哪 個 射 手 技 術(shù) 較 好 ?例 1 誰 的 技 術(shù) 比 較 好 ?甲 射 手 擊 中 環(huán) 數(shù)概 率 0 1 2 30.7 0.1 0.1 0.1乙 射 手 擊 中 環(huán) 數(shù)概 率 0 1 2 30.5 0.3 0.2 0 7 1( ) . .1 . . ,E X 0 07 1 0 2 01+3 0.1 062( ) 0. . . . ,E X 0 5 1 03 2 02+3 0 07., 21 XX為乙 射 手 擊 中 的 環(huán) 數(shù) 分 別設(shè) 甲故 乙 射 手 的 技 術(shù) 比 較 好 .解 8 例 2 泊 松 分 布 .0,2,1,0,! LkekkXP k則 有 0 !)( k k e

5、kkXE 1 1)!1(k kke ee .且 分 布 律 為設(shè) ),(P X 9 例 3 袋 中 有 12個 零 件 ， 其 中 9個 合 格 品 ， 3個 廢品 .安 裝 機 器 時 ， 從 袋 中 一 個 一 個 地 取 出 （ 取 出后 不 放 回 ） ， 設(shè) 在 取 出 第 一 個 合 格 品 之 前 已 取 出的 廢 品 數(shù) 為 隨 機 變 量 X ,求 E(X ). X 的 可 能 取 值 為 0， 1， 2， 3. 為 求 X 的 分 布律 ， 先 求 取 前 面 這 些 可 能 值 的 概 率 ， 易 知解 9 0 0.750,12P X 3 2 9 2 0.041,12 1

6、1 10P X 10 于 是 ， 得 到 X 的 分 布 律 為 ：則 有 : 3 9 1 0.204,12 11P X 3 2 1 9 3 0.005.12 11 10 9P X X 0 1 2 3P 0.750 0.204 0.041 0.005( ) 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.0050.301.E X 11 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 數(shù) 學 期 望 的 定 義定 義 2數(shù) 學 期 望 簡 稱 期 望 ， 又 稱 為 均 值 。 12 例 4 均 勻 分 布則 ( ) ( )d E X xf x x ba xxab d1 ).(21 ba1 , ,( ) 0

7、, . 其 它a x bf x b a 其 概 率 密 度 為設(shè) ),( baUX結(jié) 論 均 勻 分 布 的 數(shù) 學 期 望 位 于 區(qū) 間 的 中 點 . 13, 0,( ) 0.0, 0. 其 中xe xf x x例 5 指 數(shù) 分 布 則 ( ) ( )E X xf x dx 0 xx e dx1 . 0 0 x xxe e dx 某 電 子 元 件 的 壽 命 X 服 從 參 數(shù) 為 的 指數(shù) 分 布 (單 位 ： 小 時 ),求 這 類 電 子 元 件 的 平 均 壽 命 . 0.001 由 已 知 ,X 的 分 布 密 度 為 解 : 14 即 這 類 電 子 元 件 的 平 均

8、壽 命 為 1000小 時 .由 得 ：001.0 1000001.0 1)( XE 指 數(shù) 分 布 是 常 用 的 “ 壽 命 分 布 ” 之 一 ， 由上 述 計 算 可 知 ， 若 一 個 電 子 元 件 的 壽 命 服 從 參數(shù) 為 的 指 數(shù) 分 布 ， 則 它 的 平 均 壽 命 為 . 1 15解 的 分 布 律 為X: ( ), ( ).E X E Y求 例 6 設(shè) (X ,Y ) 的 聯(lián) 合 分 布 律 為X Y 1 2 301 10.0.2 0.210.30. 10.Xp 1 2 0.5 0.5 16( ) .=1 0.3 2 0.4 3 0.3 2E Y 得 Yp 1 2

9、 33.0 4.0 3.0的 分 布 律 為Y ( ) .1 0.5 2 0.5 1.5E X 得 事 實 上 ， 我 們 不 需 要 先 求 關(guān) 于 X 和 Y 的 邊 緣分 布 律 ， 可 以 直 接 由 的 聯(lián) 合 分 布 律 求 X 和 Y 的 數(shù)學 期 望 。 17 i j jYjj jiji i iXij jii ypypyYE xpxpxXE )()( )()( dyyyfdxdyyxyfYE dxxxfdxdyyxxfXE YX )(),()( )(),()( 1o 當 二 維 離 散 型 隨 機 變 量 (X,Y )的 聯(lián) 合 分布 律 為 時( , )i j ijP X x

10、 Y y p 2o 當 二 維 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 (X,Y )的 概 率 函數(shù) 為 時 ( , )f x y 18 例 7 設(shè) 二 維 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 (X,Y )的 聯(lián) 合 密 度 為 10 0 1,0( , ) 0 xy x y xf x y 其 它( )E X ( )E Y求 和解 1 12 40 0 0( ) ( , )10 5 1 xE X xf x y dxdydx x ydy x dx1 12 4 0 0 0( ) ( , ) 10 210 .3 3 xE Y yf x y dxdydx xy dy x dx 19 問 題 的 提 出 ： 設(shè) 已 知 隨 機

11、 變 量 X的 分 布 ， 我 們 需 要 計算 的 不 是 X的 期 望 ， 而 是 X的 某 個 函 數(shù) 的 期望 ， 比 如 說 g(X)的 期 望 . 那 么 應(yīng) 該 如 何 計 算呢 ？3.1.2 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 數(shù) 學 期 望 20 如 何 計 算 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 數(shù) 學 期 望 ? 一 種 方 法 是 ， 因 為 g(X)也 是 隨 機 變 量 ，故 應(yīng) 有 概 率 分 布 ， 它 的 分 布 可 以 由 已 知 的 X的 分 布 求 出 來 . 一 旦 我 們 知 道 了 g(X)的 分 布 ，就 可 以 按 照 期 望 的 定 義 把 Eg(X)計 算

12、 出 來 . 使 用 這 種 方 法 必 須 先 求 出 隨 機 變 量 函 數(shù)g(X)的 分 布 ， 一 般 是 比 較 復(fù) 雜 的 . 21 那 么 是 否 可 以 不 先 求 g(X)的 分 布 而 只根 據(jù) X的 分 布 求 得 Eg(X)呢 ？ 下 面 的 基 本 公 式 指 出 ， 答 案 是 肯 定 的 . 類 似 引 入 上 述 E(X)的 推 理 ， 可 得 如 下的 基 本 公 式 : 22 定 理 1: 設(shè) X是 一 個 隨 機 變 量 ， Y=g(X)， 則 連 續(xù) 型離 散 型Xdxxfxg XpxgXgEYE k kk ,)()( ,)()()( 1當 X為 離 散

13、 型 時 ,P(X= xk)= pk ;當 X為 連 續(xù) 型 時 ,X的 密 度 函 數(shù) 為 f(x).推 廣 到 兩 個 以 上 r.v的 基 本 公 式 ， 見 教 材 . 23 該 公 式 的 重 要 性 在 于 : 當 我 們 求 Eg(X)時 , 不 必 知 道 g(X)的 分 布 ， 而 只 需 知 道 X的 分 布就 可 以 了 . 這 給 求 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 期 望 帶 來很 大 方 便 . 連 續(xù) 型離 散 型Xdxxfxg XpxgXgEYE k kk ,)()( ,)()()( 1 24 例 8 設(shè) 隨 機 變 量 X 的 分 布 律 為X -1 0 1 2P

14、 0.1 0.3 0.4 0.2 ，1 1Y X 22 XY )( 1YE )( 2YE且 ， .試 求 ： ，解 :利 用 定 理 1計 算 得 ： 1( ) ( 1)E Y E X ( 1) 1 0.1 0 1 0.3 1 1 0.42 1 0.2 1.7 同 理 ， 2( ) 1.3E Y 25 例 9 設(shè) 隨 機 變 量 X 的 分 布 密 度 為 0,0 0,)( xxexf x求 :(1) ;(2) 的 數(shù) 學 期 望 .1 2Y X 22 xY e 1 0( ) 2 ( ) 2 xE Y xf x dx xe dx 2022 xx exe2 22 0( ) ( )x x xE Y

15、 e f x dx e e ex 31 103 3xe 解 :(1)(2) 26 例 11 設(shè) (X,Y )服 從 以 點 為 頂 點 的 三角 形 區(qū) 域 A上 的 均 勻 分 布 ,試 求 函 數(shù) 的 數(shù)學 期 望 . (0,0),(0,2),(1,0) XYZ 解 三 角 形 區(qū) 域 A 如 圖 3-1, 易 知 A 的 面 積 為 1， 故 圖 3-12 1yO x A 12yx 其 它0 ),(1),( Dyxyxf 27 于 是 ( ) ( )E Z E XY ( , )xy f x y dxdy 1 2(1 ) 0 01 20 1(1 ) 6 xA xydxdy dx xydyx

16、 x dx 28 1. 設(shè) C 為 常 數(shù) , 則 有 .)( CCE 證 .1)()( CCCEXE 2. 設(shè) X 是 一 個 隨 機 變 量 ， k,b 是 常 數(shù) , 則 有3.1.3 數(shù) 學 期 望 的 性 質(zhì)( ) ( )E kX b kE X b 證 設(shè) X 的 分 布 密 度 為 ， 則 ( )f x( ) ( ) ( ) ( ) E kX b kx b f x dx kE X b 29 3. 設(shè) X、 Y 是 任 意 兩 個 隨 機 變 量 ， 則 ).()()( YEXEYXE 證 設(shè) 的 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù) 為 ,邊 緣 概率 密 度 分 別 為 和 ,則 ( , )X

17、 Y ( , )f x y( )Xf x ( )Yf y( ) ( ) ( , )E X Y x y f x y dxdy ( , ) ( , )xf x y dxdy yf x y dxdy ( ) ( ) ( ) ( )X Yxf x dx yf y dy E X E Y 30 4. 設(shè) X、 Y 是 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量 , 則 有).()()( YEXEXYE 推 廣 ).()( ni iini ii XEaXaE 11 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nE X X X E X E X E XL L推 廣 若 為 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量 ，則

18、有 1 2, , , nX X XL 31 例 12 設(shè) 隨 機 變 量 的 分 布 密 度 分 別 為 1 2,X X2 41 22 , 0 4 , 0( ) , ( )0 , 0 0 , 0 x xe x e xf x f xx x(1)求 21 2 1 2( ), (2 3 );E X X E X X (2)若 設(shè) 相 互 獨 立 ， 求 1 2,X X 1 2( )E X X解 (1) 1 2 1 22 40 0( ) ( ) ( )2 4 x xE X X E X E Xx e dx x e dx 32 2 2 4 41 10 02 41 1 32 4 4 x x x xxe e x

19、e e2 21 2 1 2 2 40(2 3 ) 2 ( ) 3 ( )12 3 42 xE X X E X E Xx e dx2 4 4 411 3 02 83 51 8 8 x x xxx e e e(2) 33 (3)由 相 互 獨 立 ， 易 得 1 2,X X 814121)()()( 2121 XEXEXXE小 結(jié)1. 數(shù) 學 期 望 是 一 個 實 數(shù) , 而 非 變 量 ,它 是 一 種 加權(quán) 平 均 , 與 一 般 的 平 均 值 不 同 ,它 從 本 質(zhì) 上 體現(xiàn) 了 隨 機 變 量 X 取 可 能 值 的 真 正 的 平 均 值 . 34 2.數(shù) 學 期 望 的 性 質(zhì)

20、).()()(,4 );()()(3 );()(2 ;)(10000 YEXEXYEYX YEXEYXE XCECXE CCE 獨 立 35 常 見 離 散 型 隨 機 變 量 的 數(shù) 學 期 望 分 布 分 布 律 E(X)(0-1)分 布 XB(1, p) kk ppkXP 1)1( k=0,1 p 二 項 分 布 XB(n, p) knkkn ppCkXP )1( k=0,1,2,n np 泊 松 分 布 )( PX PX=k= ek k! k=0,1,2, 幾 何 分 布 PX=k= pp k 1)1( k=1,2, p1 36 常 見 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 數(shù) 學 期 望

21、分 布 名 稱 概 率 密 度 )(XE 均 勻 分 布 XUa,b f(x)= 其 他,0 ,1 baxab 2ba 正 態(tài) 分 布 ),( 2smNX f(x)= 2 22 )(21 smsp xe m 指 數(shù) 分 布 )( EX f(x)= )0(,0 0, 其 他xe x 1 37 3.2 方 差 ).(,)( .)()()(),( )(,)( ,)(, XXD XEXEXXDX XDXXEXE XEXEX 記 為為 標 準 差 或 均 方 差稱 即 或記 為的 方 差為則 稱 存 在若是 一 個 隨 機 變 量設(shè) 222 2 2 ss一 、 方 差 的 定 義 38 方 差 是 一

22、個 非 負 值 ， 常 用 來 體 現(xiàn) 隨 機變 量 X取 值 的 分 散 程 度 .如 果 D(X)值 大 , 表 示X 取 值 越 分 散 , E(X)的 代 表 性 差 ;而 如 果 D(X) 值 小 , 則 表 示 X 的 取 值 比 較 集 中 ,以 E(X)作 為隨 機 變 量 的 代 表 性 好 .說 明 39 由 方 差 的 定 義 ， 我 們 不 難 發(fā) 現(xiàn) 方 差 實 際 上 就 是隨 機 變 量 的 函 數(shù) 的 數(shù) 學 期 望 ， 于是 2( ( )Y X E X 離 散 型 隨 機 變 量 X 的 方 差 ,)()( 1 2 kk k pXExXD 連 續(xù) 型 隨 機

23、變 量 X 的 方 差 2( ) ( ) ( )d ,D X x E X f x x .,2,1, 的 分 布 律是其 中 XkpxXP kk L( )f x其 中 為 X 的 分 布 密 度 40 .)()()( 22 XEXEXD 證 明 )()( 2XEXEXD )()(2 22 XEXXEXE 22 )()()(2)( XEXEXEXE 22 )()( XEXE 利 用 數(shù) 學 期 望 的 性 質(zhì) ， 可 得 到 計 算 方 差 的 一 個簡 便 公 式 ： ).()( 22 XEXE 41 例 1 甲 、 乙 兩 人 射 擊 結(jié) 果 分 別 用 X、 Y 表 示 （ 單 位 ：分 ）

24、 。 經(jīng) 統(tǒng) 計 得 X 和 Y 的 分 布 律 如 下 ：X 0 1 2 3 Y 0 1 2 3P 0.3 0.4 0.2 0.1 P 0.4 0.2 0.3 0.1試 問 二 人 誰 更 穩(wěn) 定 些 ？解 由 得 2( ) 1.1, ( ) 2.1 E X E X2 2 2( ) ( ) ( ) 2.1 1.1 0.89D X E X E X 由 得2( ) 1.1, ( ) 2.3 E Y E Y2 2 2( ) ( ) ( ) 2.3 1.1 1.09D Y E Y E Y 可 見 ， 二 人 平 均 水 平相 當 ， 但 甲 更 穩(wěn) 定 些 。 42 例 2 設(shè) X 服 從 區(qū) 間

25、上 的 均 勻 分 布 ， 求 . , a b ( )D X解 在 上 一 節(jié) 例 3中 已 求 得 ， 而( ) 2a bE X 3 2 22 2 1 1( ) |3 3b baa x a ab bE X x dxb a b a 2 2 2( )( ) ( )3 2 12a ab b a b b aD X 于 是 43 , 0,( ) 0.0, 0.xe xf x x 其 中進 而 xxxfXE d)()( 1/ .例 3 設(shè) 隨 機 變 量 X 服 從 參 數(shù) 為 的 指 數(shù) 分 布 ,求 . )(XD解 X 的 分 布 密 度 為 22 )()()( XEXEXD 2 20 1/xx e

26、 dx 22 /1/2 ./1/1 2 和分 別 為指 數(shù) 分 布 的 期 望 和 方 差 21 44 證 明 22 )()()( CECECD 二 、 方 差 的 性 質(zhì)1、 設(shè) C 是 常 數(shù) , 則 有 .0)( CD 22 CC .02、 設(shè) X 是 一 個 隨 機 變 量 , C 是 常 數(shù) , 則 有).()( 2 XDCCXD 證 明 )(CXD )( 22 XEXEC ).(2 XDC )( 2CXECXE 45 4、 設(shè) X和 Y是 兩 個 隨 機 變 量 ， 則 ( )D X Y ( ) ( ) 2 ( ) ( )D X D Y E X E X Y E Y ( ) ( )

27、( )D X Y D X D Y 特 別 地 ， 若 X, Y 相 互 獨 立 , 則 有證 明 )()()( 2YXEYXEYXD 2)()( YEYXEXE )()(2 )()( 22 YEYXEXE YEYEXEXE 46 X,Y 相 互 獨 立 時從 而 有 ， X,Y 相 互 獨 立 時 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0E X E X Y E YE X E X E Y E YE X E X E Y E Y ).()()( YDXDYXD 事 實 上 ， “ 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量 其 各 自 的函 數(shù) 間 ， 仍 然 相 互 獨 立 ”

28、.這 是 一 個 很 有 用 的 結(jié)論 . 47 推 廣 1 1 2 22 2 21 1 2 2( )( ) ( ) ( ).n n n nD a X a X a Xa D X a D X a D X L L 則 有相 互 獨 立若 , 21 nXXX L 1 1 2 22 2 21 1 2 2( )( ) ( ) ( )n n n nD C X C X C XC D X C D X C D X L L 48 例 4 設(shè) 隨 機 變 量 X 具 有 數(shù) 學 期 望 ， 方差 ( )E X m2 0( )D X s * XX ms， 求 的 數(shù) 學 期 望 和 方 差 。 解 利 用 數(shù) 學 期

29、 望 和 方 差 的 性 質(zhì) 得 * 1 1( ) ( ) ( ) 0E X E X E Xm ms s 22 2* * *( ) ( ) ( ) ( ) XD X E X E X E ms 222 21 ( ) 1E X sms s 49 我 們 稱 數(shù) 學 期 望 為 0， 方 差 為 1的 變 量 為 標準 化 變 量 ， 且 稱 為 隨 機 變 量 的 標準 化 。 由 于 標 準 化 變 量 是 無 量 綱 的 ， 所 以 可 用于 不 同 單 位 的 量 的 比 較 ， 因 而 在 統(tǒng) 計 分 析 中 有著 廣 泛 的 應(yīng) 用 。 * XX ms 50 3.3 協(xié) 方 差 與 相

30、關(guān) 系 數(shù)3.3.1 協(xié) 方 差問 題 的 提 出 那 么相 互 獨 立和若 隨 機 變 量 ,YX ).()()( YDXDYXD 不 相 互 獨 立和若 隨 機 變 量 YX ?)( YXD 22 )()()( YXEYXEYXD ).()(2)()( YEYXEXEYDXD 協(xié) 方 差 51 ( ) ( )E X E X Y E Y 定 義 Cov( , ) ( ) ( ).X Y E X E X Y E Y 設(shè) (X,Y )為 二 維 隨 機 變 量 ， 若 存 在 ， 則 稱 它 為 隨 機 變 量 X 與 Y 的 協(xié) 方 差 ， Cov( , ),X Y記 作 或 ， 即 XYs

31、52 由 協(xié) 方 差 的 定 義 易 知 協(xié) 方 差 具 有 下 列 性 質(zhì) :1、 ),(Cov),(Cov XYYX 2、 ),(Cov),(Cov YXabbYaX Cov( , ) Cov( , ) Cov( , )X Y Z X Z Y Z 5、 若 X 和 Y 相 互 獨 立 ， 則 0),(Cov YX7、6、 ),(Cov2)()()( YXYDXDYXD Cov( , ) D( )X X X3、 4、 Cov( , ) ( ) ( ) ( );X Y E XY E X E Y 常用作協(xié)方差的計算公式 53 例 1 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 律 為( ,

32、)X YXY 0 10 q 01 0 p其 中 ， 求 .1p q cov( , )X YX Y XY Pq p Pqp Pqp 101010解 由 已 知 易 得 X,Y 以 及 XY 的 分 布 律 分 別 為 54 進 一 步 有 ( ) ,E X p ( ) ,E Y p ( )E XY p于 是 cov( , ) ( ) ( ) ( )X Y E XY E X E Y p p p pq 55 例 2 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 (X ,Y )的 概 率 密 度 函 數(shù) 為0 1,0 1( , ) 0 x y x yf x y 其 它求 ， .cov( , )X Y ( )D X Y解

33、 因 為 7( ) ( , ) 12 E X xf x y dxdy1 10 0 7( ) ( ) 12 E X y x y dxdy1 10 0 1( ) ( ) 3E XY xy x y dxdy 56 所 以 1cov( , ) ( ) ( ) ( ) 144 X Y E XY E X E Y又 1 12 20 0 5( ) ( ) ,12E X x x y dxdy 2 2 11( ) ( ) ( ) 144D X E X E X 利 用 對 稱 性 易 得 ， 11( ) 144D Y 所 以 ( ) ( ) ( ) 2cov( , )536 D X Y D X D Y X Y 57

34、 3.3.2 相 關(guān) 系 數(shù) 協(xié) 方 差 的 大 小 在 一 定 程 度 上 反 映 了 X 和 Y 相 互 間的 關(guān) 系 ， 但 它 還 受 X 與 Y 本 身 度 量 單 位 的 影 響 . 例 如Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 為 了 消 除 量 綱 的 影 響 ， 我 們 可 將 隨 機 變 量 標 準 化 .可 以 驗 證 ， ,0)( XE .1)( XD標 準 化 隨 機 變 量 消 除 了 量 綱 的 影 響 。 58 將 標 準 化 向 量 X 與 Y 的 定 義 設(shè) D(X)0, D(Y)0, 的 協(xié) 方 差 ),(Cov YX ,稱 為 X與 Y的 相 關(guān)

35、系 數(shù) , 記 為 XY ,即 ),(Cov YXXY計 算 公 式 ： )()( ),(Cov YDXD YXXY 特 別 地 ， 當 時 ， 稱 X 與 Y 不 相 關(guān) . 0 XY 59 思 考 隨 機 變 量 的 不 相 關(guān) 與 相 互 獨 立 之 間 存 在 怎樣 的 聯(lián) 系 呢 ？ 不 難 看 到 ， 若 X 與 Y 相 互 獨 立 ， 那 么 協(xié) 方差 為 0， 即 X 與 Y 相 互 獨 立 時 ， X 與 Y 一 定 不 相 關(guān) .那 么 反 之 是 否 成 立 呢 ？ 看 下 面 例 題 。 例 3 若 ， 且 ， 問 X 與 Y 是 否不 相 關(guān) ？ 是 否 獨 立 ？

36、(0,1)X N 2Y X 60 解 因 為 X 分 布 密 度 為 偶 函 數(shù) ， 所 以 3( ) ( ) 0E X E X 于 是 3 2cov( , ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 X Y E XY E X E YE X E X E X進 一 步 ， 有 cov( , ) 0( ) ( ) XY X YD X D Y 這 說 明 與 是 不 相 關(guān) 的 。 61 相 關(guān) 系 數(shù) 的 性 質(zhì) ：1| XY性 質(zhì) 1證 ),(Cov2)()()( YXYDXDYXD XY22 ，0 ，11 XY .1| XY即 得性 質(zhì) 2 ,)()( XbEaYE ,)()( 2

37、XDbYD )()( bXaXEXYE 證 ,)()( 2XbEXaE Y a bX 1XY若 ， 則 62 性 質(zhì) 2 若 bXaY ， 則 1XY ,)()( XbEaYE ,)()( 2 XDbYD )()( bXaXEXYE 證 ,)()( 2XbEXaE )()( ),(Cov YDXD YXXY )()( )( )()( YDXD YEXEXYE )()( )()()()( 22 XDbXD XbEaXEXbEXaE bXD XEXEb )( )()( 22 0 1 0 1 bbbb )0( b 63 相 關(guān) 系 數(shù) 是 隨 機 變 量 之 間 線 性 關(guān) 系 強 弱 的 一 個度

38、 量 (參 見 如 下 的 示 意 圖 ). 1XY XY1XY XY 10 XY 01 XY XY| |的 值 越 接 近 于 1, Y與 X 的 線 性 相 關(guān) 程 度 越 高 ;| |的 值 越 接 近 于 0, Y與 X 的 線 性 相 關(guān) 程 度 越 弱 . 64 我 們 已 知 道 如 下 命 題 ：注 意 ： 以 上 逆 命 題 一 般 不 成 立 ,即 X與 Y 不 相 關(guān) 時 ,不一 定 獨 立 .然 而 ， 在 正 態(tài) 分 布 的 場 合 ,獨 立 性 與 不 相關(guān) 性 是 一 致 的 。 若 X與 Y 相 互 獨 立 ， 則 X與 Y 不 相 關(guān) 。 65 二 維 正 態(tài)

39、 分 布 .),(),( 22212 ssmm1NYX),( yxf 221 12 1 sps 22 2221 2121 212 )(2 )(2)()1(2 1e smss mmsm yyxx由 前 面 章 節(jié) 討 論 可 知 2 21 2 1 2( ) , ( ) , ( ) , ( ) .E X E Y D X D Y 66 yxyxpyxYX dd),()(),Cov( 21而 xyee yx xyx dd )(12 1 21 12 2221 21 )1(2 12 )( 21221 p ,11 1 12 22 x yt令 ,1 1 xu 67 2 22 2 2 21 2 1 21Cov(

40、 , ) ( 1 ) d d2 u tX Y tu u e t up p teueu tu dd2 22221 22 p tteueu tu dd21 22221 22,222 21 ppp 1 2Cov( , ) .X Y 故 有 68 .)()( ),Cov( YDXD YXXY于 是 結(jié) 論 ; ,)1(的 相 關(guān) 系 數(shù)與 代 表 了參 數(shù)中二 維 正 態(tài) 分 布 密 度 函 數(shù) Y X. )2( 相 互 獨 立與等 價 于 相 關(guān) 系 數(shù) 為 零與二 維 正 態(tài) 隨 機 變 量 YX YX 69 3.3.3 矩 )( kXEk階 原 點 矩 )( kXEXEk 階 中 心 矩 其 中

41、 k 是 正 整 數(shù) .協(xié) 方 差 Cov(X,Y)是 X 和 Y 的 二 階 混 合 中 心 矩 .稱 它 為 X和 Y 的 k+l 階 混 合 (原 點 )矩 .若 )()( lk YEYXEXE 存 在 ，稱 它 為 X和 Y的 k+l 階 混 合 中 心 矩 . 設(shè) X和 Y是 隨 機 變 量 ， 若)( lkYXE k,l=1,2, 存 在 ， 70 在 數(shù) 學 中 大 家 都 注 意 到 這 樣 的 現(xiàn) 象 ： 有 時 候 一個 有 限 的 和 很 難 求 , 但 一 經(jīng) 取 極 限 由 有 限 過 渡 到 無限 ,則 問 題 反 而 好 辦 .例 如 , 若 對 某 一 x ,要

42、 計 算 和 ，!3!21)( 32 nxxxxxS nn L 則 當 n很 大 時 ， 很 難 求 )(xSn ， 而 一 經(jīng) 取 極 限 ， 則 有簡 單 的 結(jié) 果 .e)(lim xnn xS 利 用 這 個 結(jié) 果 ,當 n 很 大 時 ,可 以 把 xe 作 為 )(xSn 的 近 似 值 . 3.4 大 數(shù) 定 律 與 中 心 極 限 定 理 71 在 概 率 論 中 也 存 在 類 似 的 情 況 :如 果 nXXX , 21 L 是 一 些 隨 機 變 量 ， 則 nXXX L21 的 分 布 一 般 很 復(fù) 雜 ， 因 而 自 然 會 問 ： 能 否 利 用 極 限 的 方

43、 法 作 近 似 計 算 ？ 事 實 證 明 這 是 可 能 的 ， 而 且 在 一 般 情 況 下 和 的 極限 分 布 就 是 正 態(tài) 分 布 ， 由 此 可 見 正 態(tài) 分 布 的 重 要 性 。對 和 的 分 布 收 斂 于 正 態(tài) 分 布 的 這 一 類 極 限 定 理 的 研究 ， 在 長 達 兩 個 世 紀 的 時 期 內(nèi) 成 了 概 率 論 研 究 的 中心 課 題 ， 因 此 得 到 了 “ 中 心 極 限 定 理 ” 的 名 稱 。 本章 將 列 述 這 類 定 理 中 最 簡 單 ， 然 而 也 是 最 重 要 的 情況 。 72 在 概 率 論 中 ， 另 一 類 重

44、要 的 極 限 定 理 是 所 謂 “ 大 數(shù) 定 律 ” 。 在 第 一 章 中 我 們 已 經(jīng) 討 論 了 “ 頻 率 的 穩(wěn) 定 性 ” 。 在 大 量 的 重 復(fù) 試 驗 中 ， 事 件 A發(fā) 生 的 頻 率 接 近 某 個 常 數(shù) ， 這 個 常 數(shù) 實 際 上 就 是 事 件 A發(fā) 生 的 概 率 。 “ 大 數(shù) ” 的 意 思 ， 就 是 指 試 驗 數(shù) 目 是 大 量 的 。 例 如 ， 有 一 所 上 萬 名 學 生 的 大 學 ， 每 人 有 其 身 高 。 如 果 我 們 隨 機 觀 察 一 個 學 生 的 身 高 ， 則 與 全 校 學 生 平 均 身 高 m一 般 差

45、 別 比 較 大 。 如 果 我 們 觀 察 10 個 學 生 的 身 高 而 取 平 均 ， 則 它 有 更 大 的 機 會 (概 率 )與 m更 接 近 些 。 這 些 都 是 我 們 日 常 經(jīng) 驗 中 所 體 驗 到 的 事 實 ， 而 大 數(shù) 定 律 則 對 這 一 點 從 理 論 的 高 度 給 予 概 括 。 73 3.4.1 切 比 雪 夫 不 等 式 設(shè) 隨 機 變 量 X, m)(XE ,方 差 2)( sXD ， 22 sm XP或 .1 22sm XP 則 對 0 ,有 74 3.4.2 大 數(shù) 定 律定 理 1（ 切 比 雪 夫 大 數(shù) 定 律 ） ni ni iin

46、 XEnXnP 1 1 0|)(11|lim 設(shè) X1,X2, 是 相 互 獨 立 的 隨 機變 量 序 列 ， 它 們 都 有 有 限 的 方 差 ，并 且 方 差 有 共 同 的 上 界 ， 即 D(Xi) K， i=1,2, ， 切 比 雪 夫則 對 任 意 的 有,0或 .1|)(11|lim 1 1 ni ni iin XEnXnP 75 證 ,)(1 1 ni iXEn iX 相 互 獨 立 ， ni ini i XDnXnD 121 )(1)1( ，nc 由 切 比 雪 夫 不 等 式 ,對 0 ,有 )(11( 11 ni ini i XEnXnP0 ，)(0 nnc 21兩

47、邊 夾 ,即 得 結(jié) 論 . )1( 1ni iXnE ni ni iin XEnXnP 1 1 0|)(11|lim 22 sm XP 76 特 別 地 ， 當 隨 機 變 量 序 列 iX 兩 兩 獨 立 (或 兩 兩 不 相 關(guān) ),且 有 相 同 的 有 限 期 望 和 方 差 時 (記 為miEX , 2)( siXD , L,2,1i ),則 對 0 ,有 .1)1(lim 1 mni in XnP解 釋 :取 值 接 近 于 其 數(shù) 學 期 望 的 概 率 接 近 于 1. ni iXn 11當 n充 分 大 時 ， 差 不 多 不 再 是 隨 機 的 了 , .1|)(11|l

48、im 1 1 ni ni iin XEnXnP 77 推 論 （ 伯 努 利 大 數(shù) 定 律 ） 1|lim pnnP An或 .0|lim pnnP An 伯 努 利 下 面 給 出 的 伯 努 利 大 數(shù) 定 律 , 是定 理 1的 一 種 特 例 . 設(shè) nA是 n重 伯 努 利 試 驗 中 事 件 A發(fā) 生的 次 數(shù) ， p是 事 件 A發(fā) 生 的 概 率 ， 則 對 任給 的 ,有0 78 否 則 發(fā) 生次 試 驗如 第， 01 AiX i引 入 i =1,2,n則 ,1 ni iA Xn 1|lim pnnP An 而 ,)( pXE i 由 切 比 雪 夫 大 數(shù) 定 律 ， 對

49、 0 ,有 1|lim pnnP An 79 ni iA Xnnn 11 是 事 件 A發(fā) 生 的 頻 率 ，1|lim pnnP An 伯 努 利 大 數(shù) 定 律 表 明 ， 當 重 復(fù) 試 驗 次 數(shù) n充 分 大時 ， 事 件 A發(fā) 生 的 頻 率 nA/n與 事 件 A的 概 率 p有 較 大 偏差 的 概 率 很 小 .這 就 是 頻 率 穩(wěn) 定 性 的 理 論 解 釋 。 歷 史 上 ， 伯 努 利 第 一 個 研 究 了 這 種 類 型 的 極 限定 理 ， 在 1713年 發(fā) 表 的 論 文 中 (這 是 概 率 論 的 第 一篇 論 文 !),他 建 立 了 以 上 定 理

50、。 所 以 有 人 認 為 ， 概 率論 的 真 正 歷 史 應(yīng) 從 出 現(xiàn) 伯 努 利 大 數(shù) 定 律 的 時 刻 算 起 。 80 下 面 給 出 的 獨 立 同 分 布 下 的 大 數(shù) 定律 ， 不 要 求 隨 機 變 量 的 方 差 存 在 . 設(shè) 隨 機 變 量 序 列 X1,X2, 獨 立 同 分 布 ，具 有 有 限 的 數(shù) 學 期 E(Xi)=, i=1,2,，補 充 定 理 （ 辛 欽 大 數(shù) 定 律 ） .1|1|lim 1 mni in XnP 辛 欽則 對 0 ,有 辛 欽 大 數(shù) 定 律 為 尋 找 隨 機 變 量 的 期 望 值 提 供 了 一條 實 際 可 行 的

51、 途 徑 . 81 例 如 要 估 計 某 地 區(qū) 的 平 均 畝 產(chǎn) 量 ， 要 收 割某 些 有 代 表 性 的 地 塊 ， 例 如 n 塊 . 計 算 其 平 均 畝產(chǎn) 量 ， 則 當 n 較 大 時 ， 可 用 它 作 為 整 個 地 區(qū) 平 均畝 產(chǎn) 量 的 一 個 估 計 . 82 中 心 極 限 定 理 的 客 觀 背 景 在 實 際 問 題 中 ， 常 常 需 要 考 慮 許 多 隨 機 因 素 所產(chǎn) 生 總 影 響 . 例 如 ： 炮 彈 射 擊 的 落 點 與 目 標 的 偏 差 ， 就 受 著許 多 隨 機 因 素 的 影 響 .對 我 們 來 說 重 要 的 是 這 些

52、 隨機 因 素 的 總 影 響 .3.4.3 中 心 極 限 定 理 83 觀 察 表 明 ， 如 果 一 個 量 是 由 大 量 相 互 獨 立 的 隨機 因 素 的 影 響 所 造 成 ， 而 每 一 個 別 因 素 在 總 影 響 中所 起 的 作 用 不 大 . 則 這 種 量 一 般 都 服 從 或 近 似 服 從正 態(tài) 分 布 . 自 從 高 斯 指 出 測 量 誤 差服 從 正 態(tài) 分 布 之 后 ， 人 們 發(fā)現(xiàn) ， 正 態(tài) 分 布 在 自 然 界 中 極為 常 見 . 84 中 心 極 限 定 理 ， 正 是 從 理 論 上 證 明 ， 對 于 大量 的 獨 立 隨 機 變

53、量 來 說 ， 只 要 每 個 隨 機 變 量 在 總和 中 所 占 比 重 很 小 ， 那 么 不 論 其 中 各 個 隨 機 變 量的 分 布 函 數(shù) 是 什 么 形 狀 ， 也 不 論 它 們 是 已 知 還 是未 知 ， 而 它 們 的 和 的 分 布 函 數(shù) 必 然 和 正 態(tài) 分 布 函數(shù) 很 近 似 。 這 就 是 為 什 么 實 際 中 遇 到 的 隨 機 變 量很 多 都 服 從 正 態(tài) 分 布 的 原 因 ， 也 正 因 如 此 ， 正 態(tài)分 布 在 概 率 論 和 數(shù) 理 統(tǒng) 計 中 占 有 極 其 重 要 的 地 位 。 85 對 iX 獨 立 同 分 布 的 情 形

54、， 大 數(shù) 定 律 只 斷 言)( m XP 當 n 時 趨 于 0， 也 即 X 接 近 于m ， 而 中 心 極 限 定 理 則 給 出 iX 的 漸 近 分 布 的 更 精 確 表 述 。 下 面 介 紹 幾 個 常 用 的 中 心 極 限 定 理 。 在 概 率 論 中 ， 習 慣 于 把 和 的 分 布 收 斂 于 正 態(tài)分 布 這 一 類 定 理 都 叫 做 中 心 極 限 定 理 . 86 由 于 無 窮 個 隨 機 變 量 之 和 可 能 趨 于 ， 故 我們 不 研 究 n個 隨 機 變 量 之 和 本 身 而 考 慮 它 的 標 準 化隨 機 變 量 1 11( )( )n

55、 nk kk kn n kkX E XZ D X的 分 布 函 數(shù) 的 極 限 . 87 定 理 3（ 獨 立 同 分 布 的 中 心 極 限 定 理 ） 設(shè) 隨 機 變 量 LL , 21 nXXX 相 互 獨 立 ,服 從 同 一 分 布 ,且 有 m)( iXE , 0)( 2 siXD ),2,1( Li ,則 隨 機 變 量 之 和 ni iX1 的 標 準 化 變 量 )( )(1 11 ni ini ini in XD XEXY nnXni is m 1 的 分 布 函 數(shù) )(xFn ,對 Rx ,一 致 地 有 88 )(lim xFnn )(lim 1 xnnXP ni i

56、n s m .)(de21 22 xttx p（ 證 略 ） 89 21 21lim ( ) e d ( ).2n ti xin X nP x t xn ms p 此 定 理 說 明 ,當 n充 分 大 時 ,有 nnXn i is m1 近 似 地 ,)1,0(N或 ni iX1 ，),( 2sm nnN近 似 地nX/s m 近 似 地 ,)1,0(N 90 上 述 定 理 也 稱 列 維 一 林 德 伯 格 (Levy-Lindberg)定 理 .下 面 給 出 上 述 定 理 的 一 個 重 要 特 例 。 定 理 4（ 棣 莫 弗 -拉 普 拉 斯 中 心 極 限 定 理 ）)1(l

57、im xpnp npP nn .)(de21 22 xttx p設(shè) 隨 機 變 量 服 從 二 項 分 布 ， ，記 ， 則nZ ( , )B n p 0 1p 1q p 91 )1(lim xpnp npP nn .)(de21 22 xttx p 該 定 理 表 明 ,當 n 時 ,二 項 分 布 以 正 態(tài) 分 布 為 極 限 分 布 . 實 際 應(yīng) 用 中 ,若 隨 機 變 量 ),( pnBX ,只 要 n 充 分 大 ,即 有 ，),( npqnpNX 近 似 地 或 npqnpX ，)1,0(N近 似 地即 有 近 似 計 算 公 式 .)()( npqnpanpqnpbbXaP

58、 92 解由 德 莫 弗 -拉 普 拉 斯 中 心 極 限 定 理 ,有 良 種 數(shù) 1 (6000, ),6X B 50001000, 6np npq 例 4 現(xiàn) 有 一 大 批 種 子 ， 其 中 良 種 占 ， 現(xiàn) 從 中 任 取6000粒 求 這 6000粒 種 子 中 良 種 所 占 的 比 例 與 之差 的 絕 對 值 不 超 過 0.01的 概 率 161610006000 5X (0,1)N 近 似 地 93 1 1 0.01 1000 606000 6 100XP P X 1000 606000 5 6000 5XP 2 (2.0784) 1 2 0.98124 1 0.96

59、25 94 設(shè) 在 某 保 險 公 司 有 1萬 個 人 參 加 投 保 ,每 人 每 年 付120元 保 險 費 .在 一 年 內(nèi) 一 個 人 死 亡 的 概 率 為 0.006,死 亡 時 其 家 屬 可 向 保 險 公 司 領(lǐng) 得 1萬 元 ,問 :(1)該 保險 公 司 虧 本 的 概 率 為 多 少 ?(2)該 保 險 公 司 一 年 的 利潤 不 少 于 40,60,80萬 元 的 概 率 各 是 多 少 ? 某 射 手 打 靶 ,得 10分 、 9分 、 8分 、 7分 、 6分 的 概率 分 別 為 0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 現(xiàn) 獨 立 射 擊100次 ,求

60、 總 分 在 900分 與 930分 之 間 的 概 率 .補 充 例 題1. 將 一 枚 硬 幣 拋 擲 10000次 ， 出 現(xiàn) 正 面 5800次 ， 是否 有 理 由 認 為 這 枚 硬 幣 不 均 勻 ? 2.3. 95 假 設(shè) 生 產(chǎn) 線 組 裝 每 件 成 品 的 時 間 服 從 指 數(shù) 分 布 ,統(tǒng) 計 資 料 表 明 每 件 成 品 的 組 裝 時 間 平 均 為 10分 鐘 .設(shè) 各 件 產(chǎn) 品 的 組 裝 時 間 相 互 獨 立 . 問 對 序 列 X k,能 否 應(yīng) 用 大 數(shù) 定 律 ？ ， 否 則次 取 到 號 碼第 0 01 kXk(1)設(shè) k = 1,2, 在

61、一 個 罐 子 中 ,裝 有 10個 編 號 為 0-9的 同 樣 的 球 , 從 罐中 有 放 回 地 抽 取 若 干 次 ， 每 次 抽 一 個 ， 并 記 下 號 碼 . 4.5.(1)試 求 組 裝 100件 成 品 需 要 15到 20小 時 的 概 率 ； (2)以 95%的 概 率 在 16小 時 內(nèi) 最 多 可 以 組 裝 多 少 件 成 品 ? 96 (2) 至 少 應(yīng) 取 球 多 少 次 才 能 使 “ 0”出 現(xiàn) 的 頻 率在 0.09-0.11之 間 的 概 率 至 少 是 0.95?(3) 用 中 心 極 限 定 理 計 算 在 100次 抽 取 中 , 數(shù) 碼“ 0

62、”出 現(xiàn) 次 數(shù) 在 7和 13之 間 的 概 率 . 97 將 一 枚 硬 幣 拋 擲 10000次 ， 出 現(xiàn) 正 面 5800次 ， 是 否有 理 由 認 為 這 枚 硬 幣 不 均 勻 ? 解 設(shè) X為 10000次 試 驗 中 出 現(xiàn) 正 面 的 次 數(shù) ，若 硬 幣 是 均 勻 的 , 則 XB(10000, 0.5),505000)1( Xpnp npX1.由 D-L定 理 , 5800 XP ,5000np ,2500npq 近 似 地 ，)1,0(N)5050005800(1 )16(1 ，0此 概 率 接 近 于 0， 故 認 為 這 枚 硬 幣 不 均 勻 是 合 理 的

63、 . 98 某 射 手 打 靶 ,得 10分 、 9分 、 8分 、 7分 、 6分 的概 率 分 別 為 0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 現(xiàn) 獨 立 射 擊100次 ,求 總 分 在 900分 與 930分 之 間 的 概 率 .2.解 設(shè) 第 i 次 射 擊 得 分 為 iX ， 則 iX 的 分 布 律 為 iXP 6 7 8 9 1005.0 05.0 1.0 3.0 5.0,15.9)( iXE .227.1)( iXD由 中 心 極 限 定 理 ， s m n nX i 8.11 915 iX 近 似 地 ，)1,0(N 99 930900 iXP 1)354.1(2

64、 8.11158.1115 s mn nXP i.823.0 100 3. 設(shè) 在 某 保 險 公 司 有 1萬 個 人 參 加 投 保 ,每 人 每 年 付120元 保 險 費 .在 一 年 內(nèi) 一 個 人 死 亡 的 概 率 為 0.006,死 亡 時 其 家 屬 可 向 保 險 公 司 領(lǐng) 得 1萬 元 ,問 :(1)該 保險 公 司 虧 本 的 概 率 為 多 少 ?(2)該 保 險 公 司 一 年 的 利潤 不 少 于 40,60,80萬 元 的 概 率 各 是 多 少 ? 解 設(shè) 一 年 內(nèi) 死 亡 的 人 數(shù) 為 X,則 ,)006.0 ,10000(BX 由 D-L中 心 極

65、限 定 理 , 120000010000)1( XP 120 npqnpnpqnpXP )994.060 60120(1 )77.7(1 ,0 120 XP即 保 險 公 司 虧 本 的 概 率 幾 乎 為 0. 101 400000100001200000)2( XP 80 XP)994.060 6080( )589.2( ,995.0 600000100001200000 XP 60 XP)994.060 6060( )0( ,5.0 800000100001200000 XP 40 XP )994.060 6040( )589.2(1 .005.0 102 假 設(shè) 生 產(chǎn) 線 組 裝 每

66、 件 成 品 的 時 間 服 從 指 數(shù) 分 布 ,統(tǒng) 計 資 料 表 明 每 件 成 品 的 組 裝 時 間 平 均 為 10分 鐘 .設(shè) 各 件 產(chǎn) 品 的 組 裝 時 間 相 互 獨 立 . 4.(1)試 求 組 裝 100件 成 品 需 要 15到 20小 時 的 概 率 ； (2)以 95%的 概 率 在 16小 時 內(nèi) 最 多 可 以 組 裝 多 少 件 成 品 ? 解 設(shè) 第 i件 組 裝 的 時 間 為 Xi分 鐘 ,i=1,100. 利 用 獨 立 同 分 布 中 心 極 限 定 理 . (1) ,10)( iXE ,10)( 2iXD ,100,2,1 Li1200900 1001 i iXP 10100 10100120010100 1010010100 10100900 2210012 i iXP 103 10100 10100120010100 1010010100 10100900 2210012 i iXP )1()2( .8185.0(2) 100109601001095.0 1 nnn nXP ni i ，)10010960( nn 查 表 得 ,64