河南省焦作市2022—2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)（下）期末考試【含答案】

焦作市2022—2023學(xué)年（下）高二數(shù)學(xué)期末考試 考生注意： 1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置． 2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效． 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回． 一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 2．若復(fù)數(shù)，則（ ） A．0 B．1 C． D．2 3．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m＝（ ） A．－5 B．5 C． D． 4．已知等比數(shù)列中，，，則（ ） A．16 B．4 C．2 D．1 5．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△AOF的面積為（ ） A． B．3 C． D．6 6．已知角滿足，則（ ） A． B． C． D． 7．已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 8．已知函數(shù)存在零點(diǎn)a，函數(shù)存在零點(diǎn)b，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分． 9．2014—2022年（2022年為上半年）中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）統(tǒng)計(jì)如下，且已知2022年全年中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為121.01萬(wàn)億元，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A．2022年下半年中國(guó)GDP為64.75萬(wàn)億元 B．2022年中國(guó)GDP大于2014年與2015年的GDP之和 C．2014—2021年中國(guó)GDP同比增長(zhǎng)率超過(guò)10%的有2017年、2018年、2021年 D．2014—2021年中國(guó)GDP同比增長(zhǎng)最快的是2021年 10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A．當(dāng)時(shí)，是R上的增函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，直線y＝a與的圖象沒(méi)有公共點(diǎn) C．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為 D．當(dāng)有一個(gè)極值點(diǎn)為0時(shí)，的極大值為 11．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P，Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為6，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A．橢圓C的短軸長(zhǎng)為 B．當(dāng)P，Q分別在x軸的上方和下方時(shí)四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是 C．存在四個(gè)不同的點(diǎn)P，使得 D．若為銳角三角形，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是 12．如圖，在三棱柱中，AB⊥BC，平面ABC，BC＝2，三棱錐的外接球O的表面積為，記直線AC與所成的角為，直線與平面ABC所成的角為，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A． B．三棱柱的體積的最大值為6 C．球心O到平面的距離為 D． 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為15，則實(shí)數(shù)a＝______． 14．某足球隊(duì)共有30名球員練習(xí)點(diǎn)球，其中前鋒6人，中場(chǎng)16人，后衛(wèi)8人．若前鋒點(diǎn)球進(jìn)門(mén)的概率均是0.9，中場(chǎng)點(diǎn)球進(jìn)門(mén)的概率均是0.8，后衛(wèi)點(diǎn)球進(jìn)門(mén)的概率均是0.7，則任選一名球員點(diǎn)球進(jìn)門(mén)的概率是______．（結(jié)果保留兩位小數(shù)） 15．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_____． 16．已知在四面體P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC＝6，，則該四面體外接球的體積為_(kāi)_____． 四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．（10分） 已知在等差數(shù)列中，，． （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若是等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 18．（12分） 已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c＝2，△ABC的面積為，求證：△ABC是正三角形． 19．（12分） 如圖，在長(zhǎng)方體中，，AD＝8，交于點(diǎn)O． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求直線AB與平面所成角的正弦值． 20．（12分） 2023年5月15日至21日是第二個(gè)全國(guó)家庭教育宣傳周，為進(jìn)一步促進(jìn)家校共育，某校舉行“家教伴成長(zhǎng)，協(xié)同育新人”主題活動(dòng)，最終評(píng)出了8位“最美家長(zhǎng)”，其中有6位媽媽，2位爸爸，學(xué)校準(zhǔn)備從這8位“最美家長(zhǎng)”中每次隨機(jī)選出一人做家庭教育經(jīng)驗(yàn)分享． （Ⅰ）若每位“最美家長(zhǎng)”最多做一次家庭教育經(jīng)驗(yàn)分享，記第一次抽到媽媽為事件A，第二次抽到爸爸為事件B，求和； （Ⅱ）現(xiàn)需要每天從這8位“最美家長(zhǎng)”中隨機(jī)選1人，連續(xù)4天分別為低年級(jí)、中年級(jí)、高年級(jí)和全體教師各做1場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享，1天只做1場(chǎng)，且人選可以重復(fù)，記這4天中爸爸做經(jīng)驗(yàn)分享的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 21．（12分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）證明：在上單調(diào)遞減； （Ⅱ）若函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），且單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 22．（12分） 已知點(diǎn)在雙曲線C：上，過(guò)C的右焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l與C交于A，B兩點(diǎn)． （Ⅰ）若點(diǎn)，分別為C的左、右頂點(diǎn)，Q為C上異于，的點(diǎn)，求（k表示斜率）的值； （Ⅱ）證明以AB為直徑的圓恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 數(shù)學(xué)·答案 一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分． 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分． 9．ACD 10．ABC 11．AD 12．BD 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13．或1 14．0.79 15． 16． 四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．解析 （Ⅰ）設(shè)的公差為d． 由得解得 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， 則，． 因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以公比為， 所以，所以． 所以． 18．解析 （Ⅰ）由及正弦定理得， 所以， 所以， 所以． 因?yàn)?，所以，所以? 因?yàn)椋裕? （Ⅱ）因?yàn)?，所以ab＝4． 由余弦定理可得，所以，即， 所以a＋b＝4，所以a＝b＝2，所以a＝b＝c， 所以△ABC是正三角形． 19．解析 （Ⅰ）如圖，連接，BD． 因?yàn)榍遥? 所以四邊形為平行四邊形，所以． 又平面，平面， 所以平面． 同理可證，平面． 又，，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB，AD，分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，， 所以，，． 設(shè)平面的法向量為． 由得 令y＝1，得平面的一個(gè)法向量為． 設(shè)直線AB與平面所成的角為， 則， 故直線AB與平面所成角的正弦值為． 20．解析 （Ⅰ）根據(jù)題意可知，， ． （Ⅱ）爸爸做經(jīng)驗(yàn)分享的天數(shù)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且， 故，，，，， 故X的分布列為： X 0 1 2 3 4 P 根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可知，． 21．解析 （Ⅰ）由題可知的定義域?yàn)椋? 令，則，． 令，得，令，得． 故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 故． 所以對(duì)任意恒成立， 所以在上單調(diào)遞減． （Ⅱ）由題可知， 則． 因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以， 即． 令， 則，． 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減， 所以，則，解得． 所以a的取值范圍為． 22．解析 （Ⅰ）∵點(diǎn)在雙曲線C：上 ∴，解得， ∴雙曲線C的方程為，則，． 設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為，則，， ∴． ∵點(diǎn)Q在雙曲線C上，∴， ∴． （Ⅱ）設(shè)以AB為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)為． 由（Ⅰ）可知雙曲線的右焦點(diǎn)F為． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，， ∵，∴， 整理得到①． 由消去y可得． ∵直線l與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， ∴且， ∴． 由題設(shè)有①對(duì)任意的總成立， ∵，， ∴①可轉(zhuǎn)化為， 整理得到對(duì)任意的總成立， 故解得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為． 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x＝2， 此時(shí)，或，， 則，即M在以AB為直徑的圓上． 綜上，以AB為直徑的圓恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為．