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1、數(shù) 值 分 析Numerical Analysis計(jì) 算 方 法Computational method 應(yīng) 用問(wèn) 題 數(shù) 學(xué)模 型 計(jì) 算方 法建 模 計(jì) 算 算 法軟 件 科 學(xué) 工 程 計(jì) 算 過(guò) 程 1/19 “ 計(jì) 算 數(shù) 學(xué) ” 就 是 研 究 在 計(jì) 算 機(jī) 上 解 決 數(shù) 學(xué)問(wèn) 題 的 理 論 和 數(shù) 值 方 法 。 計(jì) 算 數(shù) 學(xué) 的 發(fā) 展 與 科 學(xué) 工 程 計(jì) 算 是 緊 密 相 聯(lián) 的 ，計(jì) 算 數(shù) 學(xué) 的 發(fā) 展 歷 史 也 就 是 與 其 他 學(xué) 科 結(jié) 合 ，利 用 計(jì) 算 機(jī) 不 斷 形 成 新 的 理 論 及 數(shù) 值 方 法 并 不斷 形 成 新 的 學(xué) 科
2、 的 歷 史 ， 例 如 ： “ 計(jì) 算 物 理 ” 、“ 計(jì) 算 化 學(xué) ” 、 “ 計(jì) 算 生 物 學(xué) ” 等 。計(jì) 算 數(shù) 學(xué) 2/19 分 類 情 況 1980s 中 國(guó) 數(shù) 學(xué) : 五 個(gè) 二 級(jí) 學(xué) 科 基 礎(chǔ) 數(shù) 學(xué) ， 應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) ， 計(jì) 算 數(shù) 學(xué) ， 概 率 統(tǒng) 計(jì) ， 運(yùn) 籌 控 制 國(guó) 外 數(shù) 學(xué) : 純 粹 數(shù) 學(xué) (pure)， 應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) (applied) ， 統(tǒng) 計(jì) (statistics) 3/19 1956 成 立 計(jì) 算 技 術(shù) 研 究 所 籌 備 處 ， 主 任 華 羅 庚 組 建 兩 個(gè) 組 （ 計(jì) 算 機(jī) 與 計(jì) 算 數(shù) 學(xué) ）計(jì) 算 數(shù)
3、學(xué) 發(fā) 展 歷 史 1955 周 恩 來(lái) 領(lǐng) 導(dǎo) 10 年 科 技 規(guī) 劃 ， 提 出 發(fā) 展 幾 個(gè) 新 技 術(shù) ， 包 括 計(jì) 算 技 術(shù) （ 計(jì) 算 機(jī) ， 程 序 設(shè)計(jì) ， 計(jì) 算 數(shù) 學(xué) ） ， 半 導(dǎo) 體 技 術(shù) ， 自 動(dòng) 化 技 術(shù) 。 1958 中 國(guó) 科 學(xué) 院 計(jì) 算 技 術(shù) 所 成 立 。 馮 康 到 計(jì) 算 所 工 作 ， 與 蘇 聯(lián) 合 作 在 計(jì) 算 所 造 出 104 機(jī) 。 4/19 計(jì) 算 數(shù) 學(xué) 院 士中 國(guó) 科 學(xué) 院 Kang Feng（ 馮 康 ） (1982) Yulin Zhou（ 周 毓 麟 ） (1991) Zhongci Shi（ 石 鐘
4、慈 ） (1991) Qun Lin（ 林 群 ） (1993) Yaxiang Yuan（ 袁 亞 湘 ） (2012) 中 國(guó) 工 程 院 Junzhi Cui（ 崔 俊 芝 ） (1995) 5/19 數(shù)值分析鐘 爾 杰 黃 廷 祝 主 編高 等 教 育 出 版 社 2004何 國(guó) 良 數(shù) 學(xué) 科 學(xué) 學(xué) 院 6/19 參 考 文 獻(xiàn)1李 慶 揚(yáng) 關(guān) 治 白 峰 杉 , 數(shù) 值 計(jì) 算 原 理 (清 華 )2蔡 大 用 白 峰 杉 , 現(xiàn) 代 科 學(xué) 計(jì) 算3蔡 大 用 , 數(shù) 值 分 析 與 實(shí) 驗(yàn) 學(xué) 習(xí) 指 導(dǎo)4 李 慶 揚(yáng) 等 , 數(shù) 值 分 析5Richard L.Burden
5、、 J.Douglas Fairs, Numerical Analysis (Seventh Edition) 數(shù) 值 分 析 （ 第 七 版 影 印 版 ）6David Kincaid,數(shù) 值 分 析 (第 三 版 )7 John H . Mathews,數(shù) 值 方 法 (MATLAB版 ) 7/19 蘇 金 明 等 ， MATLAB實(shí) 用 教 程 ， 電 子 工 業(yè)出 版 社 。 劉 宏 友 等 ， MATLAB6.X符 號(hào) 運(yùn) 算 及 其 應(yīng)用 ， 北 京 ： 機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 ， 2003年 2月 。 張 志 涌 ， 精 通 MATLAB 6.5， 北 京 航 空 航天 大
6、學(xué) 出 版 社 。MATLAB參 考 文 獻(xiàn) 8/19 關(guān) 于 計(jì) 算 誤 差 討 論浮 點(diǎn) 數(shù) 與 有 效 數(shù) 字算 術(shù) 運(yùn) 算 的 誤 差 估 計(jì) 科學(xué)計(jì)算的背景9/19 模 型 誤 差 : 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 時(shí) 所 引 起 的 誤 差 ；誤 差 分 類 ：舍 入 誤 差 :計(jì) 算 機(jī) 表 示 的 數(shù) 的 位 數(shù) 有 限 ， 通 常 用四 舍 五 入 的 辦 法 取 近 似 值 ， 由 此 引 起 的 誤 差 .截 斷 誤 差 :求 解 數(shù) 學(xué) 模 型 時(shí) ， 用 簡(jiǎn) 單 代 替 復(fù) 雜 ,或 者 用 有 限 過(guò) 程 代 替 無(wú) 限 過(guò) 程 所 引 起 的 誤 差觀 測(cè) 誤 差 :測(cè)
7、 量 工 具 的 限 制 或 在 數(shù) 據(jù) 的 獲 取 時(shí) 隨機(jī) 因 素 所 引 起 的 物 理 量 的 誤 差 ；關(guān) 于 計(jì) 算 誤 差 討 論 10/19 假 設(shè) 某 一 數(shù) 據(jù) 的 準(zhǔn) 確 值 為 x*,其 近 似 值為 x， 則 稱 )(,)()( * 0 xx xxxxexer而 稱為 x 的 相 對(duì) 誤 差 誤 差 的 有 關(guān) 概 念 e(x)= x - x* 為 x 的 絕 對(duì) 誤 差 。 11/19 如 果 存 在 一 個(gè) 適 當(dāng) 小 的 正 數(shù) ， 使 得 xxxe )( 則 稱 為 絕 對(duì) 誤 差 限 。 稱 r為 相 對(duì) 誤 差 限 。 如 果 存 在 一 個(gè) 適 當(dāng) 小
8、的 正 數(shù) r ， 使 得 rr x xxxxexe )()( 12/19 mnaaax 100 21 . 十 進(jìn) 制 浮 點(diǎn) 數(shù) 表 示一 臺(tái) 微 機(jī) 價(jià) 格 :￥ 3999.00, 浮 點(diǎn) 數(shù) 表 示 :0.3999 104地 球 半 徑 : 6378137m, (6.378137e+006) 浮 點(diǎn) 數(shù) 表 示 : 0.6378137 107光 速 : 2.99792458e+008 浮 點(diǎn) 數(shù) 表 示 : 0.299792458 109尾 數(shù) 部 階 碼 部浮 點(diǎn) 數(shù) 與 有 效 數(shù) 字 13/19 有 效 數(shù) 字 概 念 :取 的 有 限 位 數(shù) 如 下 ( 3.1415926)取
9、x1 = 3， 誤 差 限 不 超 過(guò) 0.5;取 x2 = 3.14,誤 差 限 不 超 過(guò) 0.005;若 近 似 值 x 的 絕 對(duì) 誤 差 限 是 某 一 位 上 的 半 個(gè)單 位 ， 該 位 到 x 的 第 一 位 非 零 數(shù) 字 一 共 有 n 位 ， 則 稱 近 似 值 x 有 n 位 有 效 數(shù) 字 . 取 x3 = 3.1416,誤 差 限 不 超 過(guò) 0.00005; 14/19 mnaaax 100 21 . nmxxxe 1021)( nr axe 1051)( 一 個(gè) 有 n 位 有 效 數(shù) 字 的 數(shù)絕 對(duì) 誤 差 限 滿 足 ：相 對(duì) 誤 差 限 滿 足 ：定 義
10、結(jié) 論 15/19 例 1 已 知 的 十 進(jìn) 制 浮 點(diǎn) 數(shù) 第 一 位 是 5，要 使 近 似 值 的 相 對(duì) 誤 差 限 小 于 0.1%， 問(wèn) 浮點(diǎn) 數(shù) 的 有 效 數(shù) 字 的 位 數(shù) 至 少 應(yīng) 該 為 多 少 ？ 解 : a1=5,利 用 不 等 式 nn r axe 101051|)(|所 以 ,浮 點(diǎn) 數(shù) 的 有 效 數(shù) 字 位 數(shù) 至 少 應(yīng) 取 3位 。取 n3,有 |er(x)|10-3 30 16/19 1.一 元 函 數(shù) y=f(x)誤 差 分 析 ( 準(zhǔn) 確 值 y*=f(x*) ) 由 Taylor 公 式 )(2 )*()()*()(*)( 2 fxxxfxxx
11、fxf )(|)(|)(|*|*|)(| xxfxfxxyyye )(|)( )(|)( xxf xfxy rr 同 理 : )(|)(|)( xxfy 所 以反 問(wèn) 題 :估 計(jì) )(xr 算 術(shù) 運(yùn) 算 的 誤 差 估 計(jì) 17/19 2.多 元 函 數(shù) z = f(x1,x2,xn)誤 差 分 析 nk kk xxfz 1 )(|)( )()()( 2121 xxxx (1) 22 122121 )(|)(|)/( x xxxxxx (3) )(|)(|)( 122121 xxxxxx (2)數(shù) 據(jù) 誤 差 對(duì) 算 術(shù) 運(yùn) 算 影 響 18/19自 己 分 析 例 2.二 次 方 程 x2 16 x + 1 = 0, 取求 使 具 有 4位 有 效 數(shù) 937.763 6381 x解 :直 接 計(jì) 算 x18 7.937 = 0.063修 改 算 法 0627470937151638 1 1 . x 0000050937150005093715 93715 221 .).( .).( ).()( x 4位 有 效 數(shù)0005.0)937.7()8()( 1 x計(jì) 算 出 的 x1 具 有 兩 位 有 效 數(shù) 19/19
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