橋梁結(jié)構(gòu)理論與計(jì)算方法 第十二章 薄壁箱梁畸變理論

12薄壁箱梁的畸變理論n畸變荷載n用靜力平衡法推導(dǎo)直腹板箱梁畸變微分方程n用能量變分法推導(dǎo)斜腹板箱梁的畸變微分方程n畸變微分方程的邊界條件及其求解方法n小結(jié) n本章參考文獻(xiàn) 畸 變 是 伴 隨 扭 轉(zhuǎn) 而 產(chǎn) 生 的 ， 由 于 畸 變 的 存 在 ， 截 面 發(fā) 生 翹 曲 而在 縱 向 產(chǎn) 生 翹 曲 正 應(yīng) 力 和 翹 曲 剪 應(yīng) 力 ， 同 時(shí) 在 橫 向 還 產(chǎn) 生橫 向 框 架 應(yīng) 力D D畸變荷載 箱 形 梁 在 偏 心 荷 載 作 用 下 會(huì) 產(chǎn) 生 扭 轉(zhuǎn) 和 畸 變 效 應(yīng) ， 能 引 起 這 種變 形 的 荷 載 不 外 乎 是 豎 直 偏 心 荷 載 、 水 平 偏 心 荷 載 和 在 自 重 作 用 下由 于 支 點(diǎn) 傾 側(cè) （ 所 謂 三 條 腿 ） 產(chǎn) 生 的 扭 矩 等 三 種 荷 載 。 這 三 種 荷 載都 可 以 通 過(guò) 荷 載 分 解 得 到 剛 性 扭 轉(zhuǎn) 荷 載 和 畸 變 荷 載 。 (1) 直腹板箱梁 如 下 圖 所 示 的 豎 向 反 對(duì) 稱 荷 載 為 ， 經(jīng) 荷 載 分 解 所 得 的 剛 性扭 轉(zhuǎn) 荷 載 和 畸 變 荷 載 vP hbVhbPH PV dvd vd 111 22 hbVhbPH PV dvd vd 111 22 豎 向 反 對(duì) 稱 荷 載 的 分 解 圖 所 示 的 水 平 向 偏 心 荷 載 ， 設(shè) 其 與 截 面 扭 轉(zhuǎn) 中 心 的 距離 為 ， 則 按 力 學(xué) 原 理 。 扭 矩 可 用 角 點(diǎn) 反 對(duì) 稱 荷 載Pd PdhdPPH 來(lái) 代 替 。 經(jīng) 分 解 后 得 到 剛 性 扭 轉(zhuǎn) 荷 載 和 畸 變 荷 載 為 水平荷載的分解 hbVPH bhPV dHd Hd 222 22 對(duì) 于 圖 所 示 的 簡(jiǎn) 支 梁 一 個(gè) 支 座 脫 空 后 的 三 條 腿 支 承 ， 經(jīng)分 解 后 其 剛 性 扭 轉(zhuǎn) 荷 載 和 畸 變 荷 載 為 hbVhRbH RV ddd 333 44 三條腿支承箱梁 （2） 斜腹板箱梁如 圖 所 示 的 斜 腹 板 箱 梁 上 承 受 反 對(duì) 稱 角 點(diǎn) 荷 載 ， 經(jīng) 分 解后 也 可 得 到 剛 性 扭 轉(zhuǎn) 荷 載 和 畸 變 荷 載 。在 假 定 剪 應(yīng) 力 沿 板 厚 均 勻 分 布 下 ， 箱 梁 中 剪 力 流 為 hbb bPhbbMMq vKK 12 112 222),( 斜 腹 板 箱 梁 豎 向 反 對(duì) 稱 載 的 分 解 剛 性 扭 轉(zhuǎn) 荷 載 ： hbb bbPP aahbb abPPP hbb bPP v vv )( )()( )( 12 212 3112 1131 12 214 畸 變 荷 載 ： hbb bbPP hbb baPPP hbb bPP v vv )( )( )( 12 212 12 2131 12 224 用靜力平衡法推導(dǎo)直腹板箱梁畸變微分方程（1） 基本假定 畸 變 荷 載 是 一 組 自 相 平 衡 的 力 系 ， 因 而 由 畸 變 變 形 產(chǎn)生 的 內(nèi) 力 也 是 自 相 平 衡 的 。箱 形 梁 畸 變 時(shí) ， 產(chǎn) 生 了 兩 種 畸 變 變 形 ： 橫 向 :組 成 箱 形 梁 的 各 板 元 產(chǎn) 生 了 垂 直 于 自 身 平 面 的 位移 一 畸 變 橫 向 撓 曲 ； 縱 向 :因 各 板 元 橫 向 撓 曲 而 產(chǎn) 生 了 相 應(yīng) 的 與 梁 軸 線 方 向平 行 的 翹 曲 位 移 畸 變 翹 曲 。 前 者 受 到 了 箱 形 梁 橫 向 框架 剛 度 的 抵 抗 ， 而 后 者 則 受 到 了 箱 形 梁 翹 曲 剛 度 的 抵 抗分 析 時(shí) ， 將 箱 形 梁 畸 變 的 兩 種 變 形 及 其 相 應(yīng) 的 力 系 分 開 考慮 。把 相 應(yīng) 于 畸 變 橫 向 撓 曲 的 內(nèi) 外 力 稱 為 板 元 的 平 面 外 力 系 ； 相 應(yīng) 于 畸 變 翹 曲 的 內(nèi) 外 力 稱 為 各 板 元 的 平 面 內(nèi) 力 系 。用 以 計(jì) 算 畸 變 位 移 的 物 理 量 如 圖 所 示 ， 角 點(diǎn) 位 移 為 及 ， 若 令 1h2h v 2 21 hhh 箱 梁 、 畸 變 荷 截 與 畸 變 位 移則 得 到 畸 變 角 與 畸 變 位 移 的 關(guān) 系 為 D hb hvvhD 22此 畸 變 角 是 畸 變 分 析 唯 一 獨(dú) 立 變 量 此 外 ， 在 結(jié) 構(gòu) 分 析 中 還 假 定 ： 組 成 箱 形 梁 的 各 板 沿 自 身 平 面 的 撓 曲 滿 足 平 截 面 假 定 ，可 應(yīng) 用 初 等 梁 理 論 計(jì) 算 其 撓 度 和 撓 曲 應(yīng) 力 ； 翹 曲 正 應(yīng) 力 和 剪 應(yīng) 力 沿 壁 厚 均 勻 分 布 。（2） 各板元平面內(nèi)力系分析沿 縱 向 從 箱 形 梁 中 取 出 的 一 微 段 單 元 ， 并 把 截 斷 處 用 相應(yīng) 的 內(nèi) 力 代 替 ， 如 下 圖 所 示 。 根 據(jù) 平 截 面 假 定 ， 箱 梁 截 面的 翹 曲 應(yīng) 力 可 視 為 各 板 元 平 面 內(nèi) 的 撓 曲 應(yīng) 力 ， 并 沿 周 邊 直線 變 化 ， 如 圖 a)所 示 。 令 為 翹 曲 應(yīng) 力 ， 由 于 翹 曲 應(yīng) 力在 截 面 內(nèi) 自 相 平 衡 ， 故 應(yīng) 滿 足 以 下 條 件 D 0d 0d 0d sy sx sDDD 平 面 內(nèi) 平 衡 條 件 式 各 板 元 平 面 內(nèi) 力 系 a)翹 曲 應(yīng) 力 b)各 板 元 平 面 內(nèi) 力 系D 因 截 面 對(duì) 稱 于 軸 ， 而 應(yīng) 力 反 對(duì) 稱 于 軸 ， 所 以 平 衡 條 件 式的 第 一 、 三 式 自 然 滿 足 ， 并 且 上 、 下 板 中 點(diǎn) 處 的 翹 曲 應(yīng) 力為 零 。 令 左 腹 板 頂 點(diǎn) 翹 曲 應(yīng) 力 與 底 點(diǎn) 翹 曲 應(yīng) 力之 比 為 ， 根 據(jù) 平 衡 條 件 式 第 二 式 得yy DA DBD 3131 323233 hbhbDBDAD bb11 bb22 令 ， 31311 hb 32322 hb則 33 2D各 板 元 平 面 內(nèi) 彎 矩 和 剪 力 如 圖 b)所 示 ， 根 據(jù) 各 板 元 在 其 自身 平 面 內(nèi) 的 受 力 平 衡 條 件 ， 可 以 得 到 下 列 公 式 頂 板 ：由 、 得 00M 0X 111 d1 QdzMbT xDxAd qqHzQ dd 1令 則 得 xDxAx qqq xd qHzQ dd 1底 板 ：由 、 得 00M 0X 222 dd1 QzMbT xd qHzQ dd 2左 腹 板 ：由 、 得 0 0M 0Y 0dd2)( 3321 QzMhTT yByAd qqVzQ dd 3 令 則 得yByAy qqq yd qVzQ dd 3消 去 T1， T2有 0dddd2dddddd2dd 233 2 222 122 32 zQzQbhzQzMzMbhzM而 xd qHzQzQ 22dddd 21 再 消 去 Qi并 整 理 得 0dddd2dd 2 222 122 32 bhqqbhHVzMzMbhzM xydd由 于 角 點(diǎn) 處 頂 板 與 腹 板 、 底 板 與 腹 板 具 有 相 同 的 翹 曲 應(yīng) 力 。根 據(jù) 初 等 梁 理 論 的 撓 曲 應(yīng) 力 公 式 ， 可 得 到 角 點(diǎn) 翹 曲 應(yīng) 力 與 各 板 元 自 身 內(nèi) 彎 矩 、 和 的 關(guān) 系 式1M 2M 3MDBDbJM 11 2 DBbJM 22 222 33 DBDAhJM 123 111 bJ 123222 bJ 12333 hJ 為 各 板 在 其 自 身 平 面 內(nèi) 的 慣 性 矩應(yīng) 用 關(guān) 系 ， 將 上 式 化 簡(jiǎn) 得 DDADB / 3 311 21 MbhJJM DD 3322 21 1 MbhJJM D 回 代 并 消 去 M1， M2整 理 得 到 06 )(23dd2 21 21212 32 bhqqbhHVzM xydd 根 據(jù) 基 本 假 定 ， 箱形 梁 各 板 元 沿 自 身 平 面的 橫 向 撓 曲 滿 足 初 等 梁理 論 ， 所 以 得 到 各 板 元內(nèi) 彎 矩 和 位 移 的 關(guān) 系 為 222 111 33EJMEJMEJ Mhhv根 據(jù) 畸 變 角 和 畸變 位 移 的 關(guān) 系 可 得到 D 221133 212 2 hEJMhEJMbEJM bb hhvD 在 上 式 中 消 去 M1， M2得 334bEJMD 從 而 得 到 板 元 平 面 彎 矩 和 畸 變 角 的 關(guān) 系 式 為 4 33 bEJM 經(jīng) 兩 次 微 分 得 4dd 32 32 bEJzM 消 去 M3得 026 )(234 21 21213 bhqqbhHVbEJ xydd 此 方 程 是 根 據(jù) 箱 形 梁 在 畸 變 荷 載 作 用 下 ， 產(chǎn) 生 軸 向 翹曲 位 移 及 相 應(yīng) 的 力 系 （ 各 板 元 平 面 內(nèi) 力 系 ） 平 衡 條 件 推 導(dǎo)得 到 的 畸 變 微 分 方 程 。 （3） 各板元平面外力系分析 箱 形 梁 各 板 元 平 面 外 力 系 為 產(chǎn) 生 橫 向 撓 曲 的 力 系 （ 如下 圖 所 示 ） 。 箱 形 梁 抵 抗 橫 向 撓 曲 的 作 用 稱 為 框 架 作 用 ，分 析 框 架 作 用 時(shí) ， 不 考 慮 頂 板 和 底 板 的 懸 臂 部 分 。 圖 b)表示 從 箱 形 梁 中 取 出 微 段 單 元 的 頂 板 、 左 腹 板 、 底 板 的分 離 體 各 自 受 到 角 點(diǎn) 彎 矩 和 剪 力 作 用 的 情 形 。 由 于 截 面 對(duì)稱 于 軸 ， 而 力 反 對(duì) 稱 于 軸 ， 故 可 得zdy y xCxB xDxA yCyB yDyA CBBC DAAD qq qq qq qq mm mm 據(jù) 角 點(diǎn) 力 矩 平 衡 得 00 BCBA ABAD mm mm由 頂 板 力 矩 平 衡 條 件 得 bmqq ADyDyA 2 各 板 元 平 面 外 力 系 a)框 架 變 形 ； b)平 面 外 力 系 底 板 力 矩 平 衡 得 bmqq BCyCyB 2 腹 板 力 矩 平 衡 得 h mmqqqq BAABxDxCxBxA 整 理 得 h mmh mmqqq BCADBAABxDxAx )(2)(2 b mmqqq BCADyByAy )(2 上 列 兩 式 合 并 ， 得 到 和 的 關(guān) 系 為xq yq hbqq yx 框 架 中 的 節(jié) 點(diǎn) 是 剛 性 固 結(jié) 的 ，因 此 組 成 框 架 的 各 板 元 相 當(dāng) 于兩 端 嵌 固 的 梁 。 根 據(jù) 結(jié) 構(gòu) 力 學(xué)的 坡 度 撓 度 公 式 ， 可 得 到 橫 向彎 矩 與 橫 向 撓 曲 位 移 的 關(guān) 系m hhEIm hhEIm bbEIm bbEIm hABBA hBAAB vBBC vAAD 622 622 632 332 3321 式 中 ： 沿 軸 向 單 位 長(zhǎng) 度 的 板 橫 向 抗 彎 慣 性 矩 ， 。 、 框 架 、 節(jié) 點(diǎn) 轉(zhuǎn) 角)1(12 231 vIi 3,2,1iA B A B由 得 到 0 ABAD mm hbbhIIbhII hvAB 6623 3131 0 BCBA mm hbbhIIbhII hvBA 6623 3232由 得 到上 列 兩 式 合 并 整 理 得 223 2213 21 323231233 221 321 312232 bI hIII IIbh bI hIhbI hIbI hIbI hIIb hvA 223 2213 21 313132223 221 321 312232 bI hIII IIbh bI hIhbI hIbI hIbI hIIb hvB 將 、 分 別 代 入 和 的 表 達(dá) 式 中 有A B ADm BCm hbbhIIII IIbh IIbhbIEm hvAD 22321 316 222 3 213 21 321 hbbhIIII IIbh IIbhbIEm hvBC 22321 316 223213 21 312 將 mAD， mBC代 入 qy整 理 得 bEIq DRy /框 架 抗 彎 剛 度 1324h EIEIR bI hIII II I IIhb 2 3213 21 3 211 6321 hb hvD 22令 得 ADBCm mm 231333 hIbIIIhbm 則 )1(2)1(2 mDRmyAD EIbqm )1(2 m DRmADmBC EImm （4） 畸變平衡微分方程由 箱 形 梁 各 板 元 組 成 的 框 架 抵 抗 橫 向 撓 曲 作 用 （ 即 各 板元 平 面 外 力 系 ） 推 導(dǎo) 得 到bqhq yx DRy EIbq 代 入 微 分 方 程 并 經(jīng) 整 理 得 bVEIEI dRD 引 入 畸 變 雙 力 矩 的 概 念 ， 則 21 212132 6 )(234 JEbEID DDD EIB 稱 為 箱 形 梁 畸變 翹 曲 剛 度箱 形 梁 的 畸 變 雙 力 矩 得 到 433 bJIBM DD則 畸 變 應(yīng) 力 計(jì) 算 公 式 為 DADDDDDDDA IBbhBIB 41 DBDDwDDDDB IBbhIB 41 1 為 截 面 A點(diǎn) 畸 變 翹 曲 率 為 截 面 B點(diǎn) 畸 變 翹 曲 率41 bhDDDA 41 1 bh DDB 用能量變分法推導(dǎo)斜腹板箱梁的畸變微分方程取 如 下 圖 所 示 的 箱 梁 橫 截 面 ， 坐 標(biāo) 系 同 第 上 節(jié) ， 則 當(dāng) 梁受 偏 心 荷 載 發(fā) 生 畸 變 時(shí) ， 各 板 在 自 身 平 面 內(nèi) 發(fā) 生 翹 曲 ， 產(chǎn)生 畸 變 翹 曲 應(yīng) 變 能 。 同 時(shí) 橫 向 框 架 有 橫 向 翹 曲 ， 產(chǎn) 生 框 架畸 變 應(yīng) 變 能 。（1） 畸變應(yīng)變能 （ a） 橫 截 面 框 架 畸 變 應(yīng) 變 能現(xiàn) 取 沿 跨 徑 方 向 單 位 長(zhǎng) 度 一 段 箱 梁 分 析 ， 并 設(shè) 角 點(diǎn)2處 的 畸 變 角 為 。 框 架 由 于 畸 變 角 所 具 有 的 應(yīng) 變 能與 梁 上 板 發(fā) 生 的 水 平 位 移 a 所 產(chǎn) 生 的 應(yīng) 變 能 是 等 同的 。 當(dāng) 結(jié) 構(gòu) 對(duì) 稱 ， 而 外 部 影 響 因 素 （ 例 如 位 移 ） 是 反 對(duì) 稱的 ， 框 架 中 由 于 水 平 位 移 引 起 的 橫 向 彎 矩 也 是 反 對(duì) 稱 的 ，如 下 下 圖 b)所 示 。 1U1dz )(zD)(zD sin1D 斜 腹 板 單 室 箱 梁 橫 向 框 架 變 形 與 橫 向 彎 矩 由 于 結(jié) 構(gòu) 對(duì) 稱 ， 取 半 個(gè) 框 架 如 下 圖 所 示 ， 則 在 單 位 水 平荷 載 作 用 下 ， 未 知 贅 余 剪 力 為 ， 則 有 )1( P X202 111 PX 框架求解 用 圖 乘 法 知 2222222262424 1222111123243111 bbbbbbIaIbIb 31sin21231sin22222sin 12211211111 abbaabbbaaP )(2422424 24 )2(sin24sin22 21222111232431 1 12212 122111 bbbbIaIbIb I bbaI abX P )(2 )2(sinsin 21222111232431 2 12212122 bbbbIaIbIb I bbaIabX 由 圖 知 ， 點(diǎn) 的 水 平 位 移 為 A h sEIMMh d2水平位移及豎向位移求解 vh aXbXbaXbXbIabIaXbXIbE XbaXbaXba XbXbXbIaaXbEIEIbXb 2 )sin()sin(2)sin(61 )sin2()sin()sin 2(6)sin(3 2/b3 1)2()( 1212122211122 2122431 112121 2111212224121 1 )sin()sin(2)sin(121 121212221 112 21224 231v aXbXbaXbXbIaIaXbbIXbE 但 由 于 水 平 位 移 為 作 用 力 是則 角 點(diǎn) 的 橫 向 彎 矩 為 sin1aD vDazP 2 sin)( 14 i Dv D KXbaMM 11141 2 sin DDv KaaXbMM 211232 2sin)sin( vXbaK 2 sin111 vaaXbK 2sin)sin( 1122 分 別 為 單 位 長(zhǎng) 度 上 各 板 的 慣 性 矩4321 , IIII )4,3,2,1( 121 3 iI ii 因 此 ， 橫 向 框 架 畸 變 應(yīng) 變 能 1U l s l D zKszEIMU 0 0 2321 ddd2 式 中 ： 1 2122211222241213 )(261 I KKKKaIbKIbKEK（ b） 畸 變 翹 曲 應(yīng) 變 能 2U 符 拉 索 夫 采 用 虛 功 原 理 分 析 薄 壁 多 箱 式 直 桿 時(shí) ， 曾 做了 三 個(gè) 基 本 假 定 ， 它 們 是 ： 薄 壁 桿 所 屬 各 板 在 橫 截 面 內(nèi) 的 長(zhǎng) 度 不 變 橫 截 面 內(nèi) 各 板 的 法 向 位 移 沿 該 板 的 橫 向 長(zhǎng) 度 服 從 線 性變 化 規(guī) 律 在 橫 截 面 上 各 板 的 法 向 應(yīng) 力 與 剪 應(yīng) 力 沿 板 厚 認(rèn)為 是 常 量 因 為 畸 變 應(yīng) 力 在 水 平與 豎 向 軸 的 力 矩 均 為 零 ，故 翹 曲 應(yīng) 力 也 是 自 相 平衡 的 ， 故 有 AAA ydAxdAdA 000設(shè) ， 則 由 下 圖 知21DDD yhy DDD 22 即 hy DD 1 hyh 1 1 兩 邊 懸 臂長(zhǎng) 度 之 和 6 )(32)(22 2141414 dbdbdbM DxDx 翹 曲 應(yīng) 力 、 1D 2D 已 知 22 111 bdb DDx 111 )( b dbDDx 143114 6)( bdbM D 同 理 63222 222222222 bbbM DD 6 )(3)2(6)( 6 )33(212 )(322 )( 2 )(2322 )( 12111121121 211112121121 121112112131 bbabba bbahbbhba bbatghbaMM DDD DDD DDD ,即 0M 01234 MMMM 06 )(3)2(6)(66 )( 1211112112122221 4311 bbabbabbdb DDDDD 整 理 后 解 得 )2()( )2( 12111 431 121122221 bbabdb bbabDDD 在 角 點(diǎn) 處 ， 由 于 頂 板 與 腹 板 ， 底 板 與 腹 板 存 在 翹 曲 應(yīng)力 。 ， , 的 關(guān) 系 式 可 寫 成 如 下 表 達(dá) 式 ， 下 圖 所示 )( 31 MM 2M 4M 22222222 21441441 2M 2 2M 2 DD DDD bJbJM bJbJM 2113111121 2 )1(2M 22 DDDD aJMaJM 3144 )(12 dbJ 為 板 塊 慣 矩iJ如 果 各 板 塊 沿 周 向 的 變 位 為 ， ， ， ，看 作 是 板 梁 翹 曲 時(shí) 在 自 身 平 面 內(nèi) 的 撓 度 ， 根 據(jù)初 等 梁 的 彎 曲 理 論 ， 則 1v 2v 3v 4v121131 )1( EaEJMvv DD 12444 2 2222 22 EbEJMv EbEJMv DDD將 畸 變 角 用 方 向的 位 移 表 示 （ 圖 示 ） 2 211 21 ddsindd b yya xxD D yx, tgsind sintgd d,d 212 323 2241 vvy vvy vxvx 翹曲應(yīng)力引起的彎矩 經(jīng) 過(guò) 整 理 后 ， 則 有 sin cos2sin 2 2311 42 b vvva vvD 將 上 式 求 導(dǎo) ， 并 將 v1， v2， v3， v4式 代 入 ， 整 理 后 得 到 sin cos2)2(2 2211 1112222 baEb babba DDDD cos2)2(2 sin 111222 22114 babbb bbaK DD DD EK 42則 翹 曲 應(yīng) 變 能 為 l A Dx AzE szU 0 22 dd2 ),( 已 知 )1()1()1( 141211 bdEKbdbd DDDDDDx 則 為 AE szDx d2 ),(2對(duì) 于 頂 板 EdbbdKE DD 312 )()1( 142122242 42112224 1)(6 bddbKE DD對(duì) 于 底 板 222242224 632)( bEKEbEK DD 對(duì) 于 腹 板 10 211 21 da DDD xxa EaaaKE dDDDD 21)1()1(312 1211222421 令 + +H )1(21)(6 211224221124 DDD abbddbEK l D zHU 0 22 d)(（ c） 荷 載 勢(shì) 能 V (12.3.25) d)( )( dsin)(0 12 220 40 14 zzPbb b dz(z)P-h zazPV vDll Dl D （ d） 結(jié) 構(gòu) 畸 變 總 勢(shì) 能當(dāng) 忽 略 剪 切 變 形 的 應(yīng) 變 能 時(shí) ， 箱 梁 在 畸 變 荷 載 作 用 下 的總 勢(shì) 能 可 由 周 邊 橫 向 彎 曲 應(yīng) 變 能 ， 板 平 面 內(nèi) 翹 曲 應(yīng) 變能 和 荷 載 勢(shì) 能 三 個(gè) 部 分 組 成 ， 即 1U 2UV VUU 21 l l l vDDD zzPbb bzHzK0 0 012 22223 d)()(d)(d （2） 畸變微分方程（ a） 的 極 值 條 件如 果 總 勢(shì) 能 的 表 達(dá) 式 為 l DDD FzF0 d),.( 根 據(jù) 歐 拉 拉 格 朗 日 （ Euler-Lagrange） 條 件 式 ， 取 得極 值 的 必 要 條 件 為 0dddd 22 DdD FzFzF 很 明 顯 ， 、 、 及 均 為 跨 徑 方 向 函 數(shù)3KH )(zpD z（ b） 常 截 面 控 制 微 分 方 程 )()(2 12 223 zPbb bKF vDD 0dd DFz DD HFz 2dd 22將 上 列 諸 式 代 入 歐 拉 拉 格 朗 日 條 件 式 中 得 到)()(22 12 223 zPbb bKH vDD )1(21)(32 211224221124 DDD abbddbEKEIH 1 2122211222241213 )(2312 I KKKKaIbKIbKEEIK R令 則 有12 2)( bb bzPV vd 2bVEIEI dDRDD 如 果 引 入 畸 變 雙 力 矩 的 概 念 ， 則 42 KIBEIB DDD DDD （ c） 變 截 面 控 制 微 分 方 程同 樣 利 用 歐 拉 拉 格 朗 日 的 條 件 式 ， 不 過(guò) 也 是 的 變 量 ，則 H z)()(2 12 223 zPbb bKF vDD 0dd DFz DDDD HHFz 242dd 22故 變 截 面 畸 變 控 制 微 分 方 程 式 為 )()(22 21 223 zPbbbKHHH vDDDD 對(duì) 于 如 圖 所 示 的 雙 室 矩 形 箱 梁 ， 其 畸 變 微 分 方 程 式 亦 為bVEIEI dRD 2vd PV 16 )( 1232 JhJbEEID 81bsEIR )1(12 2344 vI 2121 ss 4196132 IbIhb Es41 31 34 32 IhIb IhIb 雙 室 矩 形 箱 梁 (d)雙 室 矩 形 箱梁 其 畸 變 微 分方 程 畸變微分方程的邊界條件及其求解方法(1) 邊界條件在 工 程 上 ， 常 用 的 邊 界 條 件 有 ： 支 點(diǎn) 為 剛 性 固 定 支 承 ， 則 0,0 DD 簡(jiǎn) 支 梁 端 部 設(shè) 置 剛 性 橫 隔 梁 時(shí) ， 則 0,0 DD 自 由 懸 臂 端 且 無(wú) 隔 梁 時(shí) ， 則 0,0 DD (2) 求解建議 （ a） 常 截 面 畸 變 應(yīng) 力 可 用 彈 性 基 礎(chǔ) 梁 比 擬 法 （ 簡(jiǎn)稱 ） 求 解 。 （ b） 變 截 面 畸 變 應(yīng) 力 也 能 用 B.E.F比 擬 法 求 解 。 但 是 由于 地 基 的 彈 簧 是 變 的 ， 會(huì) 遇 到 求 解 的 困 難 。 用 加 權(quán) 殘 值 法的 配 點(diǎn) 原 理 可 獲 得 近 似 解 。 （ c） 根 據(jù) 不 同 邊 界 條 件 ， 用 加 權(quán) 殘 值 法 求 解 時(shí) ， 建議 如 下 ：B.E.F D 對(duì) 剛 性 固 定 支 座 ， 可 取 )()( 221022 zazaalzzD 對(duì) 自 由 懸 臂 端 且 無(wú) 橫 隔 梁 時(shí) ， 可 取 )()( 221044 zazaalzzD 對(duì) 簡(jiǎn) 支 梁 端 部 設(shè) 置 剛 性 橫 隔 梁 時(shí) ， 可 取 l znalzalza nD sin2sinsin 110 事 實(shí) 上 ， 為 求 得 近 似 解 ， 只 取 級(jí) 數(shù) 的 前 幾 項(xiàng) 就 能 滿 足 解答 的 要 求 ， 有 時(shí) 甚 至 取 級(jí) 數(shù) 首 項(xiàng) 也 能 得 到 近 似 的 答 案 。現(xiàn) 以 剛 性 固 定 支 座 為 例 ， 取 220 )( lzzaD )264( 2230 zllzzaD )66(2 220 lzlzaD )2(24 0 lzaD 024aD 將 上 列 微 分 諸 式 代 入 變 截 面 畸 變 控 制 微 分 方 程 中 ， 則 殘余 值 為)(zR )()(2)( )66(2224224)( 12 222203 22000 zPbbblzzaK lzlzaHlzaHHazR v 利 用 配 點(diǎn) 法令 02 lR 1622224 2)(2 433 12 220 llKlHllH lPbbba v 可 以 根 據(jù) 各 截 面 具 體 數(shù) 據(jù) 擬 合 成 一 曲 線 方 程 ， 然 后 通過(guò) 二 次 微 分 求 。 代 入 上 式 得 ， 進(jìn) 而 求 出 的 應(yīng) 力值 。 如 果 取 ， 其 效 果 可 能 更 好 。H 2lH 0 a2D )()( 1022 zaalzzD (3) 用彈性地基梁比擬法（ ）求解常截面箱梁的畸變應(yīng)力B.E.F 由 于 常 截 面 箱 梁 畸 變 控 制 微 分 方 程 與 彈 性 地 基 梁 撓 曲 的 控 制 微 分 方 程具 有 完 全 相 似 的 表 達(dá) 式 ， 因 此 解 彈 性 地 基 梁 的 撓 度 就 等于 解 箱 梁 的 畸 變 角 。 比 擬 法 在 解 工 程 問 題 上 常 被 采 用bVEIEI dDRDD qkyIE y yD下 表 給 出 彈 性 地 基 梁 與 箱 梁 畸 變 兩 種 物 理 模 型 之 間 的 相似 關(guān) 系 。 彈性地基梁彎曲和箱形梁畸變的相似關(guān)系 qkyyEI bVEIEI dDRDD IEIk qyM )mkN( yEIM DI DEIREIbVd DDB )mkN( 2 DDD EIB 彈 性 地 基 梁 彎 曲 箱 形 梁 畸 變微 分 方 程相 似 的 物 理 量 彈 性 地 基 梁 抗 彎 慣 矩 （ m4） 彈 性 地 基 梁 抗 彎 剛 度 （ kNm2） 彈 性 地 基 梁 地 基 彈 性 系 數(shù) kN/m2） 彈 性 地 基 梁 的 分 布 荷 載（ kNm） 彈 性 地 基 梁 的 撓 度 （ m） 彈 性 地 基 梁 的 彎 矩 箱 形 梁 抗 畸 變 翹 曲 慣 矩 （ m6） 箱 形 梁 抗 畸 變 翹 曲 剛 度 （ kNm4） 箱 形 梁 抗 畸 變 框 架 剛 度 （ kNm4） 箱 形 梁 上 分 布 的 畸 變 垂 直 分 力 的 力 偶 （kNm/m） 箱 形 梁 的 畸 變 角 （ 弧 度 ） 箱 形 梁 的 畸 變 雙 力 矩 邊 界 條 件 相 似 關(guān) 系 本 章 介 紹 了（ 1） 偏 心 荷 載 作 用 下 薄 壁 箱 形 梁 的 畸 變 計(jì) 算 理 論 ，分 別 用（ 2） 靜 力 平 衡 法 推 導(dǎo) 了 單 箱 單 室 直 腹 板 等 截 面 箱 形 梁 的畸 變 微 分 方 程 ， 用（ 3） 能 量 變 分 原 理 推 導(dǎo) 了 斜 腹 板 箱 形 梁 的 畸 變 微 分 方 程 ， 為 求 符 號(hào) 統(tǒng) 一 起 見 。 所 定 義 的 畸 變 角 雖 不 在 同 一 角上 。 但 采 用 了 同 一 符 號(hào) 。 由 結(jié) 果 可 見 ， 無(wú) 論 直 、 斜 腹 板 箱 形 梁 ， 其 畸 變 微 分 方程 具 有 相 似 的 表 達(dá) 形 式 。 對(duì) 微 分 方 程 的 求 解 ， 雖 然 都 可 采用 彈 性 地 基 梁 比 擬 法 ， 但 此 法 求 解 變 截 面 梁 時(shí) 全 遇 到 計(jì) 算上 的 困 難 ， 建 議 采 用 加 權(quán) 殘 值 法 求 解 。 另 外 ， 分 析 變 截 面 梁 的 畸 變 效 應(yīng) 還 可 以 采 用 等 代 梁 法 ，這 方 面 內(nèi) 容 可 參 考 有 關(guān) 文 獻(xiàn) D 小結(jié) 本章參考文獻(xiàn) n 1郭金瓊.箱形梁設(shè)計(jì)理論.北京：人民交通出版社.1991.n 2杜國(guó)華等.橋梁結(jié)構(gòu)分析.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1997.n 3CP漢斯.薄壁桿中的彎曲與扭轉(zhuǎn).北京：人民交通出版社，1980.n 4張士鐸.變高度梯形單室箱梁畸變計(jì)算.土木工程學(xué)報(bào)，Vol.20,No.4,1987. 車 輪 荷 載 P P 1 P2橋 面 板 分 析 P1 P2 （ P 1+P2） /2 （ P1-P2） /2 彎曲、剪滯效應(yīng) 扭轉(zhuǎn)、畸變效應(yīng) P/2 車 輪 荷 載 懸臂橋面板計(jì)算理論 d PP/2 P/2 彎曲剪力滯效應(yīng) P 3 b P3b=Pd 扭轉(zhuǎn)、畸變效應(yīng)