2021年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷【含答案】

2021年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 1．（4分）已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，2}，則A∩B＝（　　） A．{2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{x|x≥﹣1} 【分析】根據(jù)題意，由集合交集的定義，分析兩個集合的公共元素可得答案． 【解答】解：根據(jù)題意，集合A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，2}， 則A∩B＝{1，2}， 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查集合交集的計(jì)算，注意集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題． 2．（4分）已知復(fù)數(shù)z滿足﹣z＝2i，則z的虛部是（　?。? A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)z＝a+bi，然后利用復(fù)數(shù)相等，求出b的值即可得到答案． 【解答】解：設(shè)z＝a+bi， 因?yàn)椹亃＝2i，則有a﹣bi﹣（a+bi）＝2i，即﹣2bi＝2i，所以b＝﹣1， 故復(fù)數(shù)z的虛部為﹣1． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求解復(fù)數(shù)的應(yīng)用，考查了復(fù)數(shù)相等的定義，屬于基礎(chǔ)題． 3．（4分）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（　　） A．15 B．﹣15 C．30 D．﹣30 【分析】求出展開式的通項(xiàng)公式，然后令x的指數(shù)為0，由此即可求解． 【解答】解：展開式的通項(xiàng)公式為T＝C， 令6﹣3r＝0，解得r＝2， 所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為C＝15， 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 4．（4分）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（　?。? A．12 B． C．16 D． 【分析】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的表面積． 【解答】解：由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面， 畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示： 則該四棱錐的表面積為： S＝S正方形ABCD+S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD ＝22+×2×2+×2×2+×2×2+×2×2＝8+4． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查了利用三視圖求幾何體表面積，是基礎(chǔ)題． 5．（4分）已知函數(shù)，則不等式f（x）＞0的解集是（　?。? A．（0，1） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（0，2） 【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的定義域，分析可得在（0，+∞）上是減函數(shù)，結(jié)合f（2）＝0分析可得答案． 【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，+∞）， 又由y＝和函數(shù)y＝﹣log2x都是區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù)，則在（0，+∞）上也是減函數(shù)， 又由f（2）＝1﹣1＝0，則不等式f（x）＞0的解集是（0，2）， 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查不等式的解法，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 6．（4分）在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，則＝（　　） A． B．4 C． D．6 【分析】利用向量的數(shù)量積以及向量的線性運(yùn)算即可求解． 【解答】解：在△ABC中，C＝90°，則?＝0， 因?yàn)辄c(diǎn)P是AB的中點(diǎn)， 所以＝（+）， 所以＝?[（+）]＝2+?＝2＝||2＝． 故選：C． 【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題． 7．（4分）在△ABC中，C＝60°，a+2b＝8，sinA＝6sinB，則c＝（　?。? A． B． C．6 D．5 【分析】直接利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果． 【解答】解：在△ABC中，sinA＝6sinB， 利用正弦定理得：a＝6b， 所以，解得， 利用余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC＝， 故c＝． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題． 8．（4分）拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸．該性質(zhì)在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛．如圖，從拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F發(fā)出的兩條光線a，b分別經(jīng)拋物線上的A，B兩點(diǎn)反射，已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為60°，則兩條反射光線a'和b'之間的距離為（　?。? A． B． C． D． 【分析】由拋物線的方程得F（1，0），又∠OFA＝60°，寫出直線AF的方程，并聯(lián)立拋物線的方程，解得yA，同理解得yB，再計(jì)算|yA﹣yB|即可得出答案． 【解答】解：由y2＝4x，得F（1，0）， 又∠OFA＝60°， 所以直線AF的方程為y﹣0＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x+， 聯(lián)立，得（y+）2＝， 所以y1＝或y2＝﹣2（舍去）， 即yA＝， 同理直線BF的方程為y﹣0＝（x﹣1），即y＝x﹣， 聯(lián)立，得（y﹣）2＝， 所以y3＝2或y4＝﹣（舍去），即yB＝2， 所以|yA﹣yB|＝|2﹣|＝， 即兩條反射光線的距離為， 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查拋物線的應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題． 9．（4分）在無窮等差數(shù)列{an}中，記Tn＝a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣…+（﹣1）n+1an（n＝1，2，…），則“存在m∈N*，使得Tm＜Tm+2”是“{an}為遞增數(shù)列”的（　　） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可． 【解答】解：①若{an}為遞增數(shù)列，又Tm+2＝Tm+（﹣1）m+2am+1+（﹣1）m+3am+2， 當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，Tm+2＝Tm﹣am+1+am+2， ∵{an}遞增數(shù)列，∴am+2＞am+1，∴Tm+2＞Tm， 即?m∈N+，使Tm+2＞Tm， ②若?m∈N+，使Tm+2＞Tm， 由Tm+2＝Tm+（﹣1）m+2am+1+（﹣1）m+3am+2， 即（﹣1）m+2am+1+（﹣1）m+3am+2＞0， 當(dāng)為m奇數(shù)時(shí)，﹣am+1+am+2＞0，am+2＞am+1，∴{an}遞增數(shù)列， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，am+1﹣am+2＞0，am+1＞am+2，∴{an}遞減數(shù)列， 綜上所述，?m∈N+，使Tm+2＞Tm是{an}為遞增數(shù)列必要不充分條件， 故選：B． 【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷和等差數(shù)學(xué)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 10．（4分）若非空實(shí)數(shù)集X中存在最大元素M和最小元素m，則記△（X）＝M﹣m．下列命題中正確的是（　　） A．已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且△（X）＝△（Y），則b＝2 B．已知X＝[a，a+2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}，則存在實(shí)數(shù)a，使得△（Y）＜1 C．已知X＝{x|f（x）≥g（x），x∈[﹣1，1]}，若△（X）＝2，則對任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥g（x） D．已知X＝[a，a+2]，Y＝[b，b+3]，則對任意的實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)b，使得△（X∪Y）≤3 【分析】A舉反例判斷；B用反證法，分類討論判斷；C舉反例判斷；D對任意的實(shí)數(shù)a，求出b滿足條件即可． 【解答】解：對于A，因?yàn)椤鳎╔）＝2，△（X）＝△（Y），所以△（Y）＝2，于是b＝2或﹣2，未必b＝2，所以A錯； 對于B，假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使△（Y）＜1， 若a≥0，△（Y）＝（a+2）2﹣a2＝4（a+1）≥4，矛盾， 若a+2≤0，△（Y）＝a2﹣（a+2）2＝﹣4（a+1）≥4，矛盾， 若﹣1＜a＜0，△（Y）＝（a+2）2＞1，矛盾， 若﹣2＜a＜﹣1，△（Y）＝a2＞1，矛盾， 若a＝﹣1，△（Y）＝1﹣0＝1，矛盾， 所以B錯； 對于C，取f（x）＝|x|，g（x）＝1，則△（X）＝2，但對任意x∈[﹣1，1]，f（x）≥g（x）不成立，所以C錯； 對于D，對任意的實(shí)數(shù)a，只須b滿足[a，a+2]?[b，b+3]，就有X∪Y＝Y(jié)，從而△（X∪Y）＝△（Y）＝3≤3，所以D對． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題以命題真假判斷為載體，考查了集合的基本概念，考查了不等式性質(zhì)，屬于中檔題． 二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。 11．（5分）函數(shù)f（x）＝lnx+的定義域是　{x|0＜x≤1}?。? 【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，從而求出f（x）的定義域． 【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝lnx+， ∴， 解得0＜x≤1； ∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|0＜x≤1}． 故答案為：{x|0＜x≤1}． 【點(diǎn)評】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，從而求出定義域，是基礎(chǔ)題． 12．（5分）已知雙曲線C：，則C的漸近線方程是　?。贿^C的左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線交其漸近線于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OMN的面積是　?。? 【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解漸近線方程得到第一空；求出M坐標(biāo)，然后求解三角形的面積解答第二空． 【解答】解：雙曲線C：，可得a＝2，b＝2， 故C的漸近線方程為y＝±＝， 則C的漸近線方程雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)（﹣2，0）， 過C的左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線交其漸近線于M，N兩點(diǎn)， 則M（﹣2，），N（﹣2，﹣）， 所以△OMN的面積：＝6． 故答案為：y＝±；6． 【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題． 13．（5分）在等比數(shù)列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，則公比q＝　??；若an＞1，則n的最大值為　3?。? 【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q＝，即可得第一空答案，進(jìn)而求出a1的值，即可得{an}的通項(xiàng)公式，解an＞1可得第二空答案． 【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5， 則q＝＝＝﹣． 若a1+a3＝10，即a1+a1＝10，解可得a1＝8， 則an＝a1qn﹣1＝8×（﹣）n﹣1＝（﹣1）n﹣1×24﹣n， 若an＞1，即（﹣1）n﹣1×24﹣n＞1， 必有n＝1或3，即n的最大值為3， 故答案為：﹣，3． 【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題． 14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx，若對任意x∈R都有f（x）+f（x+m）＝c（c為常數(shù)），則常數(shù)m的一個取值為 　π（答案不唯一，只要是（2k+1）π即可）?。? 【分析】先對三角函數(shù)恒等變形，要使2sin（x+）cos（）＝c（c為常數(shù)），必有cos（）＝0，再解三角函數(shù)方程求解即可． 【解答】解：f（x）+f（x+m）＝sinx+sin（x+m）＝2sin（x+）cos（﹣）＝2sin（x+）cos（）＝c（c為常數(shù)）， 所以cos（）＝0，于是＝+kπ，m＝（2k+1）π， 所以常數(shù)m的一個取值為π（答案不唯一，只要是（2k+1）π即可）． 故答案為：π（答案不唯一，只要是（2k+1）π即可）． 【點(diǎn)評】本題考查了正弦函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題． 15．（5分）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)＝）來衡量每座水庫的水位情況．假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下： （ⅰ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間[0，100]； （ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低； （ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變． 記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關(guān)于x的函數(shù)解析式： ①；②y＝10；③；④． 則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是 ?、冖堋。? 【分析】根據(jù)題意得到，y的定義域?yàn)閇0，100]，值域?yàn)閇0，100]，y≥x對任意的x∈[0，100]成立且在[0，100]上單調(diào)遞增，由此對四個選項(xiàng)進(jìn)行逐一的分析判斷即可． 【解答】解：由聯(lián)合調(diào)度要求可知，y的定義域?yàn)閇0，100]，值域?yàn)閇0，100]， y≥x對任意的x∈[0，100]恒成立且在[0，100]上單調(diào)遞增． ①在[0，100]上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)①錯誤； ②在[0，100]上單調(diào)遞增，值域?yàn)閇0，100]， 又因?yàn)閷θ我獾膞∈[0，100]恒成立， 所以y≥x對任意的x∈[0，100]恒成立，故選項(xiàng)②正確； ③對任意的x∈[0，100]不恒成立，比如，故選項(xiàng)③錯誤； ④在[0，100]上單調(diào)遞增，值域?yàn)閇0，100]， 令，則， 令f'（x）＝0，解得x＝x0， 則當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f'（x）＞0，則f（x）單調(diào)遞增， 當(dāng)x∈（x0，100）時(shí)，f'（x）＜0，則f（x）單調(diào)遞減， 又f（0）＝0，f（100）＝0， 所以f（x）≥0在[0，100]上恒成立， 故y≥x對任意的x∈[0，100]恒成立，故選項(xiàng)④正確． 故答案為：②④． 【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題． 三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 16．（13分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)． （Ⅰ）求證：BD1∥平面ACE； （Ⅱ）求直線AD與平面ACE所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，證明OE∥BD1.然后證明BD1∥平面ACE． （Ⅱ）不妨設(shè)正方體的棱長為2，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．求出平面ACE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線AD與平面ACE所成角的正弦值即可． 【解答】（Ⅰ）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE， 在正方形ABCD中，OB＝OD． 因?yàn)镋為DD1的中點(diǎn)， 所以O(shè)E∥BD1.………………（3分） 因?yàn)锽D1?平面ACE，OE?平面ACE， 所以BD1∥平面ACE． ………………（5分） （Ⅱ）解：不妨設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz． 則A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，2，1）， 所以，，． ………………（8分） 設(shè)平面ACE的法向量為＝（x，y，z）， 所以所以即………………（10分） 令y＝﹣1，則x＝1，z＝2， 于是＝（1，﹣1，2）．………………（11分） 設(shè)直線AD與平面ACE所成角為θ， 則．………………（13分） 所以直線AD與平面ACE所成角的正弦值為． 【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題． 17．（13分）已知函數(shù)，且f（x）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件． （Ⅰ）確定f（x）的解析式： （Ⅱ）若f（x）圖象的對稱軸只有一條落在區(qū)間[0，a]上，求a的取值范圍． 條件①：f（x）的最小值為﹣2； 條件②：f（x）圖象的一個對稱中心為（，0）； 條件③：f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，﹣1）． 【分析】（Ⅰ）先根據(jù)已知求出f（x）的最小正周期，即可求解ω，再根據(jù)所選條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解A和φ的值，從而可得f（x）的解析式； （Ⅱ）由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得關(guān)于a的不等式，即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為， 所以f（x）的最小正周期，． 此時(shí)f（x）＝Asin（2x+φ）． 選條件①②： 因?yàn)閒（x）的最小值為﹣A，所以A＝2． 因?yàn)閒（x）圖象的一個對稱中心為， 所以， 所以， 因?yàn)椋?，此時(shí)k＝1， 所以． 選條件①③： 因?yàn)閒（x）的最小值為﹣A，所以A＝2． 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象過點(diǎn)， 則，即，． 因?yàn)?，所以? 所以，， 所以． 選條件②③： 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的一個對稱中心為， 所以， 所以． 因?yàn)椋?，此時(shí)k＝1． 所以． 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象過點(diǎn)， 所以，即，， 所以A＝2， 所以． （Ⅱ）因?yàn)閤∈[0，a]，所以， 因?yàn)閒（x）圖象的對稱軸只有一條落在區(qū)間[0，a]上， 所以， 得， 所以a的取值范圍為． 【點(diǎn)評】本題主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題． 18．（14分）天文學(xué)上用星等表示星體亮度，星等的數(shù)值越小、星體越亮．視星等是指觀測者用肉眼所看到的星體亮度；絕對星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方測得的恒星的亮度，反映恒星的真實(shí)發(fā)光本領(lǐng)． 如表列出了（除太陽外）視星等數(shù)值最小的10顆最充恒星的相關(guān)數(shù)據(jù)，其中a∈[0，1.3]． 星名 天狼星 老人星 南門二 大角星 織女一 五車二 參宿七 南河三 水委一 參宿四* 視星等 ﹣1.47 ﹣0.72 ﹣0.27 ﹣0.04 0.03 0.08 0.12 0.38 0.46 a 絕對星等 1.42 ﹣5.53 4.4 ﹣0.38 0.6 0.1 ﹣6.98 2.67 ﹣2.78 ﹣5.85 赤緯 ﹣16.7° ﹣52.7° ﹣60.8° 19.2° 38.8° 46° ﹣8.2° 5.2° ﹣57.2° 7.4° （Ⅰ）從表中隨機(jī)選擇一顆恒星，求它的絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值的概率； （Ⅱ）已知北京的緯度是北緯40°，當(dāng)且僅當(dāng)一顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于﹣50°時(shí)，能在北京的夜空中看到它，現(xiàn)從這10顆恒星中隨機(jī)選擇4顆，記其中能在北京的夜空中看到的數(shù)量為X顆，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅲ）記a＝0時(shí)10顆恒星的視星等的方差為s12，記a＝1.3時(shí)10顆恒星的視星等的方差為s22，判斷s12與s22之間的大小關(guān)系．（結(jié)論不需要證明） 【分析】（Ⅰ）由圖表中的數(shù)據(jù)可知有5顆恒星絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值，由古典概型的概率公式求解即可； （Ⅱ）首先確定X的所有可能取值，利用超幾何分布的概率公式計(jì)算得到每個取值對應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解期望即可； （Ⅲ）根據(jù)數(shù)據(jù)的波動程度可得方差的大小關(guān)系． 【解答】解：（Ⅰ）設(shè)一顆星的絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值為事件A．， 由圖表可知，10顆恒星有5顆恒星絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值， 所以； （Ⅱ）由圖表知，有7顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于﹣50°，有3顆恒星的“赤緯”數(shù)值小于﹣50°．， 所以隨機(jī)變量X的所有可能取值為：1，2，3，4， 所以， ， ， ， 所以隨機(jī)變量X的分布列為： X 1 2 3 4 P 所以X的數(shù)學(xué)期望為； （Ⅲ）結(jié)論：． 【點(diǎn)評】本題考查了古典概型的概率公式的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量及其分布列的求解，數(shù)學(xué)期望公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題． 19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝ex（lnx﹣a）． （Ⅰ）若a＝1，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程； （Ⅱ）若a＞1，求證：函數(shù)f（x）存在極小值； （Ⅲ）若對任意的實(shí)數(shù)x∈[1，+∞），f（x）≥﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【分析】（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝ex（lnx﹣1），求導(dǎo)得f′（x），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k切＝f′（1），進(jìn)而可得切線方程． （Ⅱ）由f（x）＝ex（lnx﹣a），求導(dǎo)得，令，根據(jù)h（x）的正負(fù)，得到f（x）的單調(diào)性，再確定f（x）的極小值． （Ⅲ）對任意的實(shí)數(shù)x∈[1，+∞），f（x）≥﹣1恒成立等價(jià)于f（x）的最小值大于或等于﹣1，分a≤1和a＞1，兩種情況討論，即可得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝ex（lnx﹣1）， 所以， 所以f（1）＝﹣e，f'（1）＝0， 曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝﹣e． （Ⅱ）由f（x）＝ex（lnx﹣a），得， 令，則， 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0， 所以h（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)． 所以h（x）的最小值為h（1）＝1﹣a， 當(dāng)a＞1時(shí)，h（1）＝1﹣a＜0，h（ea）＝e﹣a＞0， 又h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增， 故存在，使得h（x0）＝0， 所以在區(qū)間（1，x0）上h（x）＜0，在區(qū)間（x0，+∞）上h（x）＞0， 所以在區(qū)間（1，x0）上f'（x）＜0，在區(qū)間（x0，+∞）上f'（x）＞0， 所以在區(qū)間（1，x0）上f（x）單調(diào)遞減，在區(qū)間（x0，+∞）上f（x）單調(diào)遞增， 故函數(shù)f（x）存在極小值． （Ⅲ）對任意的實(shí)數(shù)x∈[1，+∞），f（x）≥﹣1恒成立 等價(jià)于f（x）的最小值大于或等于﹣1． ①當(dāng)a≤1時(shí)，h（1）＝1﹣a≥0，由（Ⅱ）得h（x）≥0，所以f'（x）≥0． 所以f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增， 所以f（x）的最小值為f（1）＝﹣ae， 由﹣ae≥﹣1，得，滿足題意， ②當(dāng)a＞1時(shí)，由（Ⅱ）知，f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減， 所以在（1，x0）上f（x）≤f（1）＝﹣ae＜﹣e，不滿足題意． 綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是． 【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了分類討論思想，屬于中檔題． 20．（15分）已知橢圓C：（a＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)E（1，），左頂點(diǎn)為D，右焦點(diǎn)為F． （Ⅰ）求橢圓C的離心率和△DEF的面積； （Ⅱ）已知直線y＝kx+1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．過點(diǎn)B作直線y＝t（t＞）的垂線，垂足為G．判斷是否存在常數(shù)t，使得直線AG經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由． 【分析】（Ⅰ）由橢圓C經(jīng)過點(diǎn)E（1，），得，解得a，由c2＝a2﹣b2，解得c，進(jìn)而可得離心率e，△DEF的面積． （Ⅱ）根據(jù)題意直線DE的方程為，G（1，t）時(shí)，直線AG的方程為，進(jìn)而可得與y軸交點(diǎn)，若直線AG經(jīng)過y軸上定點(diǎn)，則，解得t＝3，下面證明存在實(shí)數(shù)t＝3，使得直線AG經(jīng)過y軸上定點(diǎn)（0，2），即可得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）依題意，，解得a＝2． 因?yàn)閏2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，即c＝1， 所以D（﹣2，0），F(xiàn)（1，0）， 所以離心率， 所以△DEF的面積． （Ⅱ）由已知，直線DE的方程為， 當(dāng)A（﹣2，0），，G（1，t）時(shí)， 直線AG的方程為，交y軸于點(diǎn)， 當(dāng)，B（﹣2，0），G（﹣2，t）時(shí)， 直線AG的方程為，交y軸于點(diǎn)， 若直線AG經(jīng)過y軸上定點(diǎn)，則， 即t＝3，直線AG交y軸于點(diǎn)（0，2）． 下面證明存在實(shí)數(shù)t＝3，使得直線AG經(jīng)過y軸上定點(diǎn)（0，2）， 聯(lián)立消y整理，得（4k2+3）x2+8kx﹣8＝0， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 則，， 設(shè)點(diǎn)G（x2，3），所以直線AG的方程：， 令x＝0，得＝， 因?yàn)閗x1x2＝x1+x2， 所以， 所以直線AG過定點(diǎn)（0，2）， 綜上，存在實(shí)數(shù)t＝3，使得直線AG經(jīng)過y軸上定點(diǎn)（0，2）． 【點(diǎn)評】本題考查直線與橢圓的相交問題，解題中需要易得計(jì)算能力，屬于中檔題． 21．（15分）已知數(shù)列A：a1，a2，…，aN（N≥3）的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合T＝{x|x＝aj﹣ai，1≤i＜j≤N}，記T的元素個數(shù)為P（T）． （Ⅰ）若數(shù)列A：1，2，4，3，求集合T，并寫出P（T）的值； （Ⅱ）若A是遞增數(shù)列，求證：“P（T）＝N﹣1”的充要條件是“A為等差數(shù)列”； （Ⅲ）若N＝2n+1，數(shù)列A由1．，2，3，…，n，2n這n+1個數(shù)組成，且這n+1個數(shù)在數(shù)列A中每個至少出現(xiàn)一次，求P（T）的取值個數(shù)． 【分析】（Ⅰ）利用集合T的定義直接求解即可； （Ⅱ）分充分性和必要性兩個方面分別證明，利用題中給出的集合T的定義分析即可； （Ⅲ）通過分析可知P（T）≤4n﹣1，且P（T）≥2n，設(shè)數(shù)列A0：1，1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，此時(shí)T＝{0，1，2，…，2n﹣1}，P（T）＝2n． 然后對數(shù)列A0分別作變換進(jìn)行分析求解，即可得到答案． 【解答】（Ⅰ）解：因?yàn)閍1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝3， 所以T＝{1，2，3，﹣1}，P（T）＝4； （Ⅱ）證明：充分性：若A是等差數(shù)列，設(shè)公差為d． 因?yàn)閿?shù)列A是遞增數(shù)列，所以d＞0． 則當(dāng)j＞i時(shí)，aj﹣ai＝（j﹣i）d． 所以T＝{d，2d，…，（N﹣1）d}，P（T）＝N﹣1， 必要性：若P（T）＝N﹣1． 因?yàn)锳是遞增數(shù)列，所以a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜aN﹣a1， 所以a2﹣a1，a3﹣a1，…，aN﹣a1∈T，且互不相等． 所以T＝{a2﹣a1，a3﹣a1，…，aN﹣a1}． 又a3﹣a2＜a4﹣a2＜…＜aN﹣1﹣a2＜aN﹣a2＜aN﹣a1， 所以a3﹣a2，a4﹣a2，…，aN﹣a2，aN﹣a1∈T，且互不相等． 所以a3﹣a2＝a2﹣a1，a4﹣a2＝a3﹣a1，…，aN﹣a2＝aN﹣1﹣a1． 所以a2﹣a1＝a3﹣a2＝…＝aN﹣aN﹣1， 所以A為等差數(shù)列； （Ⅲ）解：因?yàn)閿?shù)列A由1，2，3，…，n，2n這n+1個數(shù)組成，任意兩個不同的數(shù)作差， 差值只可能為±1，±2，±3，…，±（n﹣1）和±（2n﹣1），±（2n﹣2），…，±n． 共2（n﹣1）+2n＝4n﹣2個不同的值；且對任意的m＝1，2，3，…，n﹣1，n，…，2n﹣1，m和﹣m這兩個數(shù)中至少有一個在集合T中， 又因?yàn)?，2，3，…，n，2n這n+1個數(shù)在數(shù)列A中共出現(xiàn)N＝2n+1次，所以數(shù)列A中存在ai＝aj（i≠j），所以0∈T． 綜上，P（T）≤4n﹣1，且P（T）≥2n． 設(shè)數(shù)列A0：1，1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，此時(shí)T＝{0，1，2，…，2n﹣1}，P（T）＝2n． 現(xiàn)對數(shù)列A0分別作如下變換： 把一個1移動到2，3之間，得到數(shù)列：1，2，2，1，3，3，4，4，…，n，n，2n， 此時(shí)T＝{0，1，2，3，…，（2n﹣1），﹣1}，P（T）＝2n+1． 把一個1移動到3，4之間，得到數(shù)列：1，2，2，3，3，1，4，4，…，n，n，2n， 此時(shí)T＝{0，1，2，3，…，（2n﹣1），﹣1，﹣2}，P（T）＝2n+2． …… 把一個1移動到n﹣1，n之間，得到數(shù)列：1，2，2，3，3，4，4，…，n﹣1，n﹣1，1，n，n，2n， 此時(shí)T＝{0，1，2，3，…，（2n﹣1），﹣1，﹣2，…，2﹣n}，P（T）＝2n+n﹣2＝3n﹣2． 把一個1移動到n，2n之間，得到數(shù)列：1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，1，2n， 此時(shí)T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n}，P（T）＝2n+n﹣1＝3n﹣1． 再對數(shù)列A0依次作如下變換： 把一個1移為2n的后一項(xiàng)，得到數(shù)列A1：1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，1， 此時(shí)T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n，1﹣2n}，P（T）＝3n； 再把一個2移為2n的后一項(xiàng)：得到數(shù)列A2：1，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，2，1， 此時(shí)T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n，1﹣2n，2﹣2n}，P（T）＝3n+1； 依此類推……， 最后把一個n移為2n的后一項(xiàng)：得到數(shù)列An：1，2，3，4，…，n，2n，n，n﹣1，…，2，1， 此時(shí)T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n，1﹣2n，2﹣2n，…，﹣n}，P（T）＝4n﹣1． 綜上所述，P（T）可以取到從2n到4n﹣1的所有2n個整數(shù)值，所以P（T）的取值個數(shù)為2n． 【點(diǎn)評】本題以數(shù)列知識為背景考查了新定義問題，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答，屬于難題．