高中數學 第一章 導數及其應用 1.1.1-1.1.2 平均變化率、瞬時變化率——導數（一）課件 蘇教版選修2-2.ppt

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1.1.1 平均變化率 1.1.2 瞬時變化率——導數(一),第 1章 1.1 導數的概念,1.理解函數平均變化率、瞬時變化率的概念. 2.掌握函數平均變化率的求法. 3.掌握導數的概念，會用導數的定義求簡單函數在某點處的導數.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 函數的平均變化率 1.平均變化率的概念 設函數y＝f(x)，x1，x2是其定義域內不同的兩個點，那么函數的變化率可 用式子 表示，我們把這個式子稱為函數y＝f(x)從x1到x2的____ ______，習慣上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相對于x1的一個“增量”，可用x1＋Δx代替x2；類似地，Δy＝ .于是，平均 變化率可以表示為 .,,答案,平均,變化率,f(x2)－f(x1),2.求平均變化率 求函數y＝f(x)在[x1，x2]上平均變化率的步驟如下： (1)求自變量的增量Δx＝______； (2)求函數值的增量Δy＝ ；,x2－x1,f(x2)－f(x1),,答案,,答案,思考 (1)如何正確理解Δx，Δy? 答案 Δx是一個整體符號，而不是Δ與x相乘，其值可取正值、負值，但Δx≠0； Δy也是一個整體符號，若Δx＝x1－x2， 則Δy＝f(x1)－f(x2)，而不是Δy＝f(x2)－f(x1)， Δy可為正數、負數，亦可取零.,,答案,(2)平均變化率的幾何意義是什么？ 答案 如圖所示： y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率是 曲線y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上陡峭程度的 “數量化”， 曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”， 越大，曲線y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然. 平均變化率的幾何意義是函數曲線上過兩點的割線的斜率， 若函數y＝f(x)圖象上有兩點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，則＝ kAB.,,答案,知識點二 瞬時變化率與瞬時速度、瞬時加速度 把物體在某一時刻的速度稱為 .做直線運動的物體，它的運動規(guī)律可以用函數s＝s(t)描述，設Δt為時間改變量，在t0＋Δt這段時間內，物體的位移(即位置)改變量是Δs＝ ，那么位移改變量Δs與時間改變量Δt的比就是這段時間內物體的平均速度 ， 即 ＝ ＝ .,瞬時速度,s(t0＋Δt)－s(t0),,答案,一般地，如果當Δt無限趨近于0時，運動物體位移s(t)的平均變化率 無限趨近于一個常數，那么這個常數稱為物體在t＝t0時的瞬時速度，也就是位移對于時間的 . 一般地，如果當Δt無限趨近于0時，運動物體速度v(t)的平均變化率 無限趨近于一個常數，那么這個常數稱為物體在t＝t0時的瞬時加速度，也就是速度對于時間的瞬時變化率.,瞬時變化率,,答案,思考 (1)瞬時變化率的實質是什么？ 答案 其實質是當平均變化率中自變量的改變量趨于0時的值，它是刻畫函數值在某處變化的快慢. (2)平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯(lián)系是什么？ 答案 ①區(qū)別：平均變化率刻畫函數值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢，瞬時變化率刻畫函數值在x0點處變化的快慢； ②聯(lián)系：當Δx趨于0時，平均變化率 趨于一個常數，這個常數即為函數在x0處的瞬時變化率，它是一個固定值.,,答案,知識點三 導數的概念 1.函數y＝f(x)在x0處的導數 設函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，若Δx無限趨近于0時， 比值 ＝ 無限趨近于一個常數A，則稱f(x)在x＝x0處 ，并稱該常數A為函數f(x)在x＝x0處的 ，記作f′(x0)＝A或 常用符號“→”表示“無限趨近于”，于是簡記為“當Δx→0時，,可導,導數,2.導函數 如果函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內每一點都可導，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)內可導，此時f′(x)構成一個新的函數，稱這個函數為y＝f(x)的導函數，簡稱為導數.,,答案,思考 (1)如何理解f(x)在x0處不可導？,,(2)f(x)在區(qū)間(a，b)內的導函數與f′(x0) (x0∈(a，b))有何聯(lián)系與區(qū)別？ 答案 f(x)在區(qū)間(a，b)內的導函數f′(x)是x的函數式，f′(x0)是函數f(x)在x0處的導數，為一個定值；,,返回,題型探究 重點突破,,解析答案,反思與感悟,題型一 求平均變化率 例1 求函數y＝f(x)＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并求當x0＝2，Δx＝ 時該函數的平均變化率. 解 當自變量從x0變化到x0＋Δx時，函數的平均變化率為,,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練1 (1)已知函數y＝f(x)＝2x2－1的圖象上一點(1,1)及其鄰近一點(1＋Δx,1＋Δy)，則 ＝________.,解析 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(Δx)2＋4Δx，,2Δx＋4,,解析答案,,解析答案,題型二 實際問題中的瞬時速度 例2 一作直線運動的物體，其位移s與時間t的關系是s＝3t－t2(位移單位：m，時間單位：s). (1)求此物體的初速度；,所以當Δt→0時，v→3. 即物體的初速度為3 m/s.,,解析答案,(2)求此物體在t＝2時的瞬時速度；,即此物體在t＝2時的瞬時速度為1 m/s，方向與初速度方向相反.,＝－Δt－1.,故Δt→0時，其值為－1.,(3)求t＝0到t＝2時的平均速度.,即t＝0到t＝2時的平均速度為1 m/s.,反思與感悟,,反思與感悟,作變速直線運動的物體在不同時刻的速度是不同的，Δt趨近于0，指時間間隔Δt越來越小，但不能為0，Δt，Δs在變化中都趨近于0，但它們的比值趨近于一個確定的常數.,,解析答案,跟蹤訓練2 已知一物體作自由落體運動，下落的高度的表達式為s＝ gt2，其中g為重力加速度，g≈9.8米/平方秒(s的單位：米). (1)求t從3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段內的平均速度；,解 當t在區(qū)間[3,3.1]上時，Δt＝3.1－3＝0.1(秒)，,,解析答案,(2)求t＝3秒時的瞬時速度.,所以t＝3秒時的瞬時速度約為29.4米/秒.,,解析答案,題型三 函數在某點處的導數,從而y′|x＝1＝2.,反思與感悟,,反思與感悟,,解析答案,,因對導數的概念理解不到位致誤,例4 設函數f(x)在x0處可導，且f′(x0)已知，求下列各式的值.,易錯易混,解析答案,返回,防范措施,,解析答案,錯因分析 在導數的定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx是哪種形式，Δy必須選擇相對應的形式.如(1)中Δx的改變量為Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的改變量為2h＝(x0＋h)－(x0－h(huán)).,防范措施,,防范措施,,防范措施,自變量的改變量Δx的值為變后量與變前量之差.,,返回,,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.在求解平均變化率時，自變量的變化量Δx應滿足______. ①Δx＞0; ②Δx＜0； ③Δx≠0; ④Δx可為任意實數.,③,,解析答案,2.沿直線運動的物體從時間t到t＋Δt時，物體的位移為Δs，那么當Δt→0時， 的物理意義為___________________.,t時刻物體的瞬時速度,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,5.以初速度為v0(v0＞0)作豎直上拋運動的物體，t秒時的高度為s(t)＝v0t－ gt2，求物體在t0時刻的瞬時加速度.,∴物體在t0時刻的瞬時速度為v0－gt0. 由此，類似地可得到物體運動的速度函數為v(t)＝v0－gt，,故物體在t0時刻的瞬時加速度為－g.,1,2,3,4,5,,課堂小結,,返回,