線性代數(shù)課件：慣性定律與正定二次型

4.6 慣性定律與正定二次型1.慣性定律2.正定二次型1.1.慣性定律慣性定律 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，所用可逆線性變換不同，化成的標(biāo)準(zhǔn)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，所用可逆線性變換不同，化成的標(biāo)準(zhǔn)形一般也不同那么，形一般也不同那么，標(biāo)準(zhǔn)形中哪些量是由二次型本身唯一確標(biāo)準(zhǔn)形中哪些量是由二次型本身唯一確定的，而不依賴所作的變換？定的，而不依賴所作的變換？定理定理1 (1 (慣性定律慣性定律)實(shí)二次型經(jīng)過(guò)任何可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)實(shí)二次型經(jīng)過(guò)任何可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，不但非零項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)一定形，不但非零項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)一定(它等于二次型的秩它等于二次型的秩)，而且正項(xiàng)、負(fù)，而且正項(xiàng)、負(fù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)也分別相同項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)也分別相同 標(biāo)準(zhǔn)形的正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形的正項(xiàng)項(xiàng)數(shù) p 叫做二次型的叫做二次型的正慣性指正慣性指(數(shù)數(shù))標(biāo)標(biāo)；負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù) q 叫做二次型的叫做二次型的負(fù)慣性指負(fù)慣性指(數(shù)數(shù))標(biāo)標(biāo) 這里，這里，p+q=r(r 為二次型的秩為二次型的秩).定義定義1 1 若二次型若二次型f=X TAX對(duì)于任意非零的對(duì)于任意非零的n 維向量維向量X，恒有，恒有 f=XTAX 0,則稱則稱f=XTAX為為正定二次型正定二次型，并稱，并稱A為為正定矩陣正定矩陣.若二次型若二次型f=X TAX對(duì)于任意非零的對(duì)于任意非零的n 維向量維向量X，恒有，恒有 f=XTAX 0,則稱則稱f=XTAX為為半正定二次型半正定二次型，并稱，并稱A為為半正定矩陣半正定矩陣.2 2 正定二次型正定二次型若二次型若二次型f=X TAX對(duì)于任意非零的對(duì)于任意非零的n 維向量維向量X，恒有，恒有 f=XTAX 0,則稱則稱f=XTAX為為正定二次型正定二次型，并稱，并稱A為為正定矩陣正定矩陣.如如是是正定正定二次型；二次型；是是半正定半正定二次型；二次型；是是不定不定二次型二次型.例例1.1.判定二次型判定二次型 的正定性的正定性解：解：二次型的矩陣為二次型的矩陣為因因A的特征值都大于零，故的特征值都大于零，故A正定，即該二次型正定正定，即該二次型正定.正定二次型的判定（正定二次型的判定（3種方法）種方法）定理定理1 1 n元實(shí)二次型正定的充要條件是正慣性指標(biāo)等于元實(shí)二次型正定的充要條件是正慣性指標(biāo)等于n.定理定理2 2 n元實(shí)二次型正定的充要條件是其矩陣的元實(shí)二次型正定的充要條件是其矩陣的n個(gè)特征值個(gè)特征值都是正數(shù)都是正數(shù).定理定理3 3 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充要條件是正定的充要條件是A的各階的各階順序順序主子式主子式都大于零都大于零，即，即 例例2.2.判定下列二次型的正定性判定下列二次型的正定性(1)(2)解：解：(1)的系數(shù)矩陣為的系數(shù)矩陣為各階順序主子式為各階順序主子式為(2)的系數(shù)矩陣為的系數(shù)矩陣為階順序主子式為階順序主子式為所以所以(1)是正定二次型是正定二次型.所以所以(2)不是正定二次型不是正定二次型.解：解：二次型二次型 f 的矩陣為的矩陣為由定理由定理3知知,應(yīng)有應(yīng)有例例3.3.求求 t 的取值范圍，使下列二次型為正定二次型的取值范圍，使下列二次型為正定二次型.即有方程組即有方程組解得解得即當(dāng)即當(dāng)時(shí)，二次型正定時(shí)，二次型正定.作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：137137頁(yè)頁(yè)頁(yè)頁(yè) 9 9（33）、）、）、）、1212、13131.重點(diǎn)掌握通過(guò)正交變換將二次型標(biāo)準(zhǔn)化的方法!2.總結(jié)判斷某個(gè)矩陣正定或者某個(gè)二次型正定的方法線性代數(shù)課程到此結(jié)束！接下來(lái)的時(shí)間，請(qǐng)各位同學(xué)認(rèn)真復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)中，有任何問(wèn)題可隨時(shí)聯(lián)系我！