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1、Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University第三章Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 3-1 直線及直線上點的投影直線及直線上點的投影 3-2 特殊位置直線的投影特殊位置直線的投影 3-3 求一般位置線段的實長求一般位置線段的實長 3-4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 3-5 直角的投影直角的投影 本章作業(yè)本章作業(yè)直線的投影直線的投影2Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong Universityaa a b b b3-1 3-1 直線的投影直線的投影 兩點確定一條直線兩點確定一條直線
2、，將兩點的將兩點的同同名投影名投影連接線，就得到直線的投影。連接線，就得到直線的投影。直線對一個投影面的投影特性直線對一個投影面的投影特性一一.直線的投影特性直線的投影特性 B BA Aab直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影積聚為一點投影積聚為一點 積積 聚聚 性性直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映實長投影反映實長 ab=AB 實形性實形性直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比實長投影比實長縮短縮短 ab=AB.cos 類似性類似性A AB Bab A AM MB Ba(b)(m)v直線的投直線的投影要用粗影要用粗實線描深實線描深3Gong Zhuorong,Beijing Jiaot
3、ong University 直線與投影面的相對位置直線與投影面的相對位置投影面平行線投影面平行線投影面垂直線投影面垂直線正平線正平線(/,H、W)側(cè)平線側(cè)平線(/,V、H)水平線水平線(/,W、V)正垂線（正垂線（面）面）側(cè)垂線（側(cè)垂線（面）面）鉛垂線（鉛垂線（面）面）一般一般位置位置直線直線統(tǒng)稱特殊統(tǒng)稱特殊位置位置直線直線根據(jù)投影特性，可分為三類：根據(jù)投影特性，可分為三類：與與V,H,W三三個投影面都傾斜個投影面都傾斜平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜垂直于某一投影面垂直于某一投影面表示傾斜表示傾斜4Gong Zhuorong,Beijing Jiao
4、tong University 投影面平行線投影面平行線XZbaaabbOYY水平線水平線實長實長在水平投影面在水平投影面H上的投影反映實長，并反映直線與上的投影反映實長，并反映直線與V投影面的投影面的大小以及與大小以及與W投影面的投影面的大小。大小。水平線投影特性：水平線投影特性：VHabAaaBbbW W 用用、表示空間直線與表示空間直線與H、V 和和W面之間的面之間的夾角。夾角。5Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University正平線和側(cè)平線的投影特性：正平線和側(cè)平線的投影特性：側(cè)平線側(cè)平線正平線正平線實長實長 實長實長 b a aba b b aa b
5、 ba 1）在所平行的那個投影面上的投影在所平行的那個投影面上的投影反映實長，反映實長，并反映并反映直線直線與另兩投影面的與另兩投影面的真實傾角真實傾角。2）另兩個投影面上的投影另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的平行于相應(yīng)的投影軸投影軸。投影特性：投影特性：6Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 投影面垂直線投影面垂直線鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線 另外兩個投影另外兩個投影，反映線段實長，且垂直于相應(yīng)的反映線段實長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。投影軸。在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有積聚性投影有積聚性。投影特性投影特性:a b a(b
6、)a b c(d)cdd c e f efe(f)7Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 一般位置直線一般位置直線Z Z YaO OXabbaYb 三個投影都三個投影都傾斜傾斜于相應(yīng)投影軸，于相應(yīng)投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個投影面夾角的大小。三個段與三個投影面夾角的大小。三個投影的長度均比空間線段短，即投影的長度均比空間線段短，即都都不反映空間線段的實長不反映空間線段的實長。投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b 用用、表示直線與表示直線與H、V 和和W面的夾角。有面的夾角。有下述關(guān)系
7、：下述關(guān)系：ab=ABcosab=ABcosab=ABcos8Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong UniversityAB、BC為為水平線；水平線；AC為為側(cè)垂線側(cè)垂線；SB為為側(cè)平線側(cè)平線；SA、SC為為一般位置直線一般位置直線。例：判別例：判別AB、BC、AC、SB、SA、SC 各屬于什么位置直線。各屬于什么位置直線。例：判別例：判別AB、AC、AD 各屬各屬于什么位置直線。于什么位置直線。AB為為正平線正平線；AC為為正垂線正垂線；AD為為鉛垂線。鉛垂線。9Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong UniversitycacXabcYYbOa
8、ZbcAHacaVbBabcCbW二二.直線與點的相對位置關(guān)系直線與點的相對位置關(guān)系 （復(fù)習(xí)正投影性質(zhì)）從屬性：從屬性：若點在直線上，則點的投影必在該直線的同若點在直線上，則點的投影必在該直線的同名投影上。名投影上。定比性：定比性：點的投影將線段的同名投影分割成與空間線點的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c:c b=a c:c b 10Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：判斷點例：判斷點C是否在直線是否在直線AB上？上？c abca b abca b c YesNoa b c a
9、a b c bcNo應(yīng)用定比性應(yīng)用定比性還有其他判別法嗎還有其他判別法嗎?對于一般位置直線對于一般位置直線,只要觀只要觀察兩個投影即可確定。但對于察兩個投影即可確定。但對于投影面平行線投影面平行線,則應(yīng)察看直線所則應(yīng)察看直線所平行的那個投影面上的投影。平行的那個投影面上的投影。11Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：已知點例：已知點K在線段在線段AB上，求點上，求點K正面投影。正面投影。解法二：解法二：應(yīng)用第三投影）應(yīng)用第三投影）解法一：（解法一：（應(yīng)用定比性）應(yīng)用定比性）aa b bka b k k aa b bkk 12Gong Zhuor
10、ong,Beijing Jiaotong University三三.兩直線的相對位置關(guān)系兩直線的相對位置關(guān)系空間兩直線的相對位置有空間兩直線的相對位置有:平行平行、相交相交、交叉交叉(異面異面)兩直線平行兩直線平行 空間兩直線平行，則其各空間兩直線平行，則其各同名投影同名投影必相互平行，必相互平行，反之亦然。反之亦然。dabHCb cAaVcBdDcabdabcd 13Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：判斷兩條直線是否平行？例：判斷兩條直線是否平行？一般位置直線一般位置直線，只要有，只要有兩組同名投影互相平行，兩組同名投影互相平行，空間兩直線
11、就平行?？臻g兩直線就平行。AB與與CD平行平行AB與與CD不平行不平行 投影面平行線投影面平行線，只有兩，只有兩組同名投影互相平行，空組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。間直線不一定平行。a b c d cbadd b a c b d c a abcdc a b d 14Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 兩直線相交兩直線相交 若空間兩直線相交，則其若空間兩直線相交，則其同名投影必相交同名投影必相交，且，且交點的投影交點的投影必符合空間一點的必符合空間一點的投影規(guī)律投影規(guī)律。ca VXd HBcabkACkKb dODacdb d c a b
12、 kk 交點是兩直交點是兩直線的共有點線的共有點15Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong Universityab k kb例例:過過A點作水平線點作水平線AB與與CD相交。相交。cdd c a 空間分析空間分析：1.水平線水平線的的V和和W面面投影與投影與X軸平行；軸平行；2.先作正面投影得交先作正面投影得交點的正面投影；點的正面投影；3.根據(jù)投影規(guī)律，得根據(jù)投影規(guī)律，得交點的水平投影；交點的水平投影；4.同名投影連線。同名投影連線。16Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 兩直線交叉兩直線交叉 又稱又稱異面二直線異面二直
13、線，其重影點的連，其重影點的連線不符合一個點的投影規(guī)律！線不符合一個點的投影規(guī)律！cacabddbOXaccAaCVbHddDBb同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交點交點”不符合點的投影規(guī)律不符合點的投影規(guī)律；“交點交點”是兩直線上的一對是兩直線上的一對重影點重影點，可用于判別其空間位置。，可用于判別其空間位置。交叉二直線投影特性：交叉二直線投影特性：不垂直不垂直 17Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 到另外兩個投到另外兩個投影上去找遮擋關(guān)系影上去找遮擋關(guān)系accAaCVbHddDBbcacabddbOX1(2)21211(2)43
14、(4)33(4)34 交叉二直線的空間位置的判別交叉二直線的空間位置的判別 利用前面講述的利用前面講述的重影點重影點進行判別，進行判別，18Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University例：判斷直線例：判斷直線AB和和CD是否平行？（課是否平行？（課堂練習(xí)）堂練習(xí)）當(dāng)兩直線同時當(dāng)兩直線同時平行平行于兩個投影面時，于兩個投影面時，一般應(yīng)觀察第三投一般應(yīng)觀察第三投影面上的投影來判影面上的投影來判斷兩直線是否平行。斷兩直線是否平行。baabccdd19Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 若空間兩條直線垂直若空間兩條直
15、線垂直,且一直線平行于投影面且一直線平行于投影面,則兩直線在該投影面上則兩直線在該投影面上的投影反映直角的投影反映直角。3-4 3-4 直角的投影規(guī)律直角的投影規(guī)律1.直角投影定理：直角投影定理：垂直相交垂直相交垂直交叉垂直交叉垂直包括垂直包括垂直相交垂直相交垂直交叉垂直交叉20Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University若兩直線的投影互相垂直若兩直線的投影互相垂直，且一直線是該投且一直線是該投影面的平行線影面的平行線，則此兩直線在空間必垂直則此兩直線在空間必垂直。直角投影直角投影逆定理逆定理：21Gong Zhuorong,Beijing Jiaoton
16、g University3.5 投影變換投影變換 一一.問題的由來問題的由來 那末，那末，一般位置直線一般位置直線的實長、夾角？的實長、夾角？一般位置平面一般位置平面的實形、夾角？的實形、夾角？思路思路是：是：當(dāng)空間幾何元素處于對投影面的當(dāng)空間幾何元素處于對投影面的特殊位置特殊位置時，其投影反映時，其投影反映實形實形、反映與投影面之間的夾角反映與投影面之間的夾角(，或或)，或具有，或具有積聚性積聚性。直線或平面直線或平面 特殊位置特殊位置 實現(xiàn)變換的方法有多種：實現(xiàn)變換的方法有多種：正投影變換正投影變換，斜投影變換，斜投影變換 使空間幾何元素處于有利于解題的位置。使空間幾何元素處于有利于解題的
17、位置。二二.解決方法解決方法 22Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University三三.正投影變換正投影變換？如何改變空間幾何元素與投影面之間的相對位置使之處于如何改變空間幾何元素與投影面之間的相對位置使之處于特殊位置特殊位置？1）變換投影面法（）變換投影面法（換面法）換面法）保持幾何元素的位置不動，而保持幾何元素的位置不動，而改變投影面改變投影面。VHAB a b abPa1b12）旋轉(zhuǎn)幾何元素法（）旋轉(zhuǎn)幾何元素法（旋轉(zhuǎn)法）旋轉(zhuǎn)法）保持投影面體系不動，而繞某一固保持投影面體系不動，而繞某一固定軸定軸旋轉(zhuǎn)空間幾何元素旋轉(zhuǎn)空間幾何元素。有兩種基本方法：有兩種基本
18、方法：23Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University四四.換面法換面法 空間幾何元素本身的位置保持不變，而用一新投空間幾何元素本身的位置保持不變，而用一新投影面影面(輔助投影面輔助投影面)替代原有投影面，使替代原有投影面，使空間幾何元素空間幾何元素相對于新的投影面處于有利于解題的位置相對于新的投影面處于有利于解題的位置，然后在新，然后在新投影面體系中作圖求解。投影面體系中作圖求解。4.1 如何換面（新投影面的選擇原則）如何換面（新投影面的選擇原則）VHAB a b abPa1b11)新投影面新投影面必須垂直必須垂直一一個原有的投影面?zhèn)€原有的投影面;2)新
19、投影面須處于對空間新投影面須處于對空間幾何元素幾何元素有利于解題有利于解題的位的位置。置。平行于新的投影面平行于新的投影面 垂直于新的投影面垂直于新的投影面24Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University4.2 點的投影變換規(guī)律點的投影變換規(guī)律 VHA a a axX點的一次變換點的一次變換 舊投影體系舊投影體系 X VH 新投影體系新投影體系V1HX1 A點的兩個投影：點的兩個投影：a，a A點的兩個投影：點的兩個投影：a 1，a（1 1）新投影體系的建立）新投影體系的建立 X1V1a1ax1 VHX a aax V1HX1 a1ax1.aa 1 X1
20、a1ax1=a ax新投影體系仍然遵守投影的新投影體系仍然遵守投影的一般規(guī)律：一般規(guī)律：25Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University 新舊投影之間的關(guān)系新舊投影之間的關(guān)系 XVHaa axb)更換更換H面面 VHXV1HX11)在不變投影上作出新投影軸；在不變投影上作出新投影軸；2)由不變投影向新投影軸作垂線；由不變投影向新投影軸作垂線；3)量取舊投影到舊軸的距離為新軸到新投影的距離。量取舊投影到舊軸的距離為新軸到新投影的距離。(注意量取的方向注意量取的方向)aa X1H1V a1axax1ax1a)變換變換V面面 a1點變換的作圖規(guī)律：點變換的作圖規(guī)
21、律：=.26Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong UniversityAVHaxX 點的二次變換點的二次變換 一次變換的一次變換的投影體系投影體系:V1HX1 二次變換的新投影體系二次變換的新投影體系:X2 V1 H2將一次變換的投影體系作為二次變換的將一次變換的投影體系作為二次變換的舊投影體系，然后進行第二輪變換。舊投影體系，然后進行第二輪變換。投影規(guī)律不變，注意角碼的標(biāo)記。投影規(guī)律不變，注意角碼的標(biāo)記。a a X1V1a1ax1H2X2ax2a2=ax2 a aXVHa2X1HV1X2V1H2a1 axax1=.?點的投影變換點的投影變換有什么意義？有什么意義？有什
22、么用？有什么用？直線的投影變換就直線的投影變換就是兩個點的變換！是兩個點的變換！27Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University.VHBA b a ba1.將一般位置直線變換成投影面平行線將一般位置直線變換成投影面平行線 用用V1面代替面代替V面，在新投影體系面，在新投影體系V1/H中，使得中，使得AB/V1。X1HV1V1b1a1空間分析空間分析：換換H H面行嗎面行嗎？Of course！作圖步驟：作圖步驟：同時求出直線同時求出直線AB的的實長實長及與及與H面的面的夾角夾角。a b abXVH1)確定新軸的位置確定新軸的位置,應(yīng)與不變投影（應(yīng)與不變投影
23、（ab）平行平行;a1b1 4.2 直線直線的投影變換基本問題的投影變換基本問題 2)向新軸作垂線向新軸作垂線;3)使新投影到新軸的距離舊使新投影到新軸的距離舊投影到舊軸的距離。投影到舊軸的距離。28Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong UniversityVHBA a bab V12.將投影面平行線變換成投影面垂直線將投影面平行線變換成投影面垂直線 用用V1面代替面代替V面，在新投影體系面，在新投影體系V1/H中，使得中，使得ABV1?？臻g分析空間分析：換換H H面行嗎面行嗎？No！作圖步驟：作圖步驟：直線直線AB的新投影的新投影積聚積聚。a b abXVH1）確定新
24、軸的位置）確定新軸的位置,應(yīng)與不變投影（應(yīng)與不變投影（ab）垂直垂直;a1(b1)2）使新投影到新軸的距離）使新投影到新軸的距離舊投影到舊軸的距離。舊投影到舊軸的距離。(b1)a1.X1HV1 29Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong Universitya1b1VH a aXB b bA例例1 將一般位置直線變換成投影面垂直線將一般位置直線變換成投影面垂直線 空間分析：空間分析：a b abXVHX1HV1V1H2X2作圖步驟：作圖步驟：X1V1a1b1X2H22）二次換面將投影面平行線變換成投影面垂直線。）二次換面將投影面平行線變換成投影面垂直線。1）建立軸）建立軸
25、X1ab，過，過a，b向向X1軸作垂線，確定軸作垂線，確定a1b1;a2 b2ax2a2(b2).1）一次換面把直線變換成投影面平行線；）一次換面把直線變換成投影面平行線；一次換面一次換面不能不能把一般位置直線變換成投影面垂直線！把一般位置直線變換成投影面垂直線！應(yīng)該：應(yīng)該：2）建立軸）建立軸X2ab，量取，量取a2(b2)。30Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University空間分析：空間分析：b1 dd1X1HV1X2V1H2c2 d*例例2：求點求點C到直線到直線AB的距離，并求垂足的距離，并求垂足D。c c b a abXVH 但是，我們知道當(dāng)?shù)?，?/p>
26、們知道當(dāng)AB投影面投影面時，時，CD必必投影面，其投影反投影面，其投影反映實長。映實長。作圖步驟作圖步驟:1）C點到點到AB的距離，就是垂線的距離，就是垂線CD的實長；的實長；c1 a1 a2(b2)(d2)2）在新投影中找到）在新投影中找到d1，依據(jù)投影關(guān)系依次依據(jù)投影關(guān)系依次找到找到d和和d。.如何確定垂如何確定垂足足D？APBD Cca(b)(d)2）CD可能為一般位置直線，可能為一般位置直線，其投影不反映實長；其投影不反映實長；3）換面可使一般位置直線的投）換面可使一般位置直線的投影積聚，從而反映出空間點到該影積聚，從而反映出空間點到該直線距離的實長。直線距離的實長。T.L.1）進行二
27、次換面使）進行二次換面使AB的新投影積聚，相關(guān)的新投影積聚，相關(guān)空間幾何元素應(yīng)同時變換；空間幾何元素應(yīng)同時變換；31Gong Zhuorong,Beijing Jiaotong University空間分析：空間分析：b a abcdc *例例3：已知交叉二直線：已知交叉二直線AB、CD的公垂線長度為的公垂線長度為MN，且且AB為水平線，求為水平線，求CD及及MN的投影。的投影。MNm d a1(b1)(m1)n1c1d1nVHXHV1X1n m 當(dāng)交叉二直線之一（當(dāng)交叉二直線之一（AB）投影積投影積聚時，公垂線（聚時，公垂線（MN）平行于該投平行于該投影面，這時其投影反映實長影面，這時其投影反映實長（m1n1=MN,且且m1n1c1d1 為什么為什么？）？）。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作圖步驟：作圖步驟：.R=MNT.L.1）使水平線）使水平線AB積聚；積聚；2）作）作n1軌跡圓及軌跡圓及c1d1；3）反向求出）反向求出d和和MN的投影。的投影。m如何求？如何求？32
機械制圖 3 直線的投影
