高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專(zhuān)題1 集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 函數(shù)的圖象與性質(zhì)教師用書(shū) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第2講　函數(shù)的圖象與性質(zhì) 題型一| 函數(shù)及其表示 　(1)(2016·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二))函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)開(kāi)_______． (2)(2016·蘇州模擬)已知實(shí)數(shù)m≠0，函數(shù)f(x)＝若f(2－m)＝f(2＋m)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______． (1)(0,1)∪(1,2)　(2)8或－　[(1)要使函數(shù)有意義，只需解得0＜x＜1或1＜x＜2， 即原函數(shù)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,2)． (2)當(dāng)m＞0時(shí)，2－m＜2＜2＋m， 由f(2－m)＝f(2＋m)得 3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m， 解得m＝8. 當(dāng)m＜0時(shí)，2＋m＜2＜2－m， 由f(2－m)＝f(2＋m)得 －(2－m)－2m＝3(2＋m)－m， 解得m＝－. 綜上所述m＝8或－.] 【名師點(diǎn)評(píng)】　1.對(duì)于分段函數(shù)求值，應(yīng)注意依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解． 2．若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍，只需構(gòu)建并解不等式(組)即可． (2016·無(wú)錫期中)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝則f(11)＝________. 2　[f(11)＝f(10)－f(9)＝f(9)－f(8)－f(9)＝－f(8)， f(8)＝f(7)－f(6)＝f(6)－f(5)－f(6)＝－f(5)， f(5)＝f(4)－f(3)＝f(3)－f(2)－f(3)＝－f(2)， f(2)＝f(1)－f(0)＝f(0)－f(－1)－f(0)＝－f(－1)， ∴f(11)＝f(－1)＝log2(3＋1)＝log24＝2.] 題型二| 函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 　(1)已知函數(shù)f(x)＝x|x－2|，則不等式f(－x)≤f(1)的解集為_(kāi)_______． (2)已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：19592003】 [解題指導(dǎo)]　(1)作出f(x)的圖象，根據(jù)圖象轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式． (2)在同一坐標(biāo)系中，分別作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的圖象，將方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題求解． (1)[－1，＋∞)　(2)(0,1)∪(9，＋∞)　[(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，由不等式f(－x)≤f(1)知，－x≤＋1，從而得到不等式f(－x)≤f(1)的解集為[－1，＋∞)． (2)設(shè)y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|， 在同一直角坐標(biāo)系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的圖象如圖所示． 由圖可知f(x)－a|x－1|＝0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y1＝|x2＋3x|與y2＝a|x－1|的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1， 所以有兩組不同解． 消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有兩個(gè)不等實(shí)根， 所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0， 解得a<1或a>9. 又由圖象得a>0，所以0<a<1或a>9.] 【名師點(diǎn)評(píng)】　1.識(shí)圖：在觀察、分析圖象時(shí)，要注意圖象的分布及變化趨勢(shì)，尤其是函數(shù)的奇偶性以及極值點(diǎn)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等，找準(zhǔn)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 2．用圖：函數(shù)圖象形象地展示了函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、最值等)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，因此常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，求解方程(不等式)中的參數(shù)取值等． 1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)是定義域?yàn)镽，周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈[－1,1)時(shí)，f(x)＝1－x2，函數(shù)g(x)＝ 則函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在區(qū)間[－5,10]內(nèi)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 14　[根據(jù)題意可在同一坐標(biāo)平面內(nèi)分別作出函數(shù)y＝f(x)和函數(shù)y＝g(x)的圖象，如圖所示， 可見(jiàn)它們?cè)趨^(qū)間[－5,10]內(nèi)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為14個(gè)．] 2．函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝sin x(－4≤x≤8)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于________． 16　[函數(shù)y＝與函數(shù)y＝sinx(－4≤x≤8)的圖象有公共的對(duì)稱(chēng)中心(2,0)，畫(huà)出兩者的圖象如圖所示，易知y＝與y＝sinx(－4≤x≤8)的圖象共有8個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)其橫坐標(biāo)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8，由對(duì)稱(chēng)性得x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝16.] 題型三| 函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 　(1)(2016·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，則f(5a)的值是________． (2)(2016·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二))已知函數(shù)f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋f(log3)＞0(a＞0且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：19592004】 [解題指導(dǎo)]　(1)f＝f建立a的等量關(guān)系―→ 求a―→求f(5a) (1)－　(2)(0,1)∪(3，＋∞)　[(1)∵函數(shù)f(x)的周期為2，結(jié)合在[－1,1)上f(x)的解析式，得f＝f＝f＝－＋a， f＝f＝f＝＝. 由f＝f，得－＋a＝，解得a＝. ∴f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－. (2)∵f(x)＝x3＋2x，∴f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)， ∴f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(1)＋f(log3)＞0等價(jià)于f(1)＞f(loga3)． 又f′(x)＝3x2＋2＞0，∴f(x)在R上單調(diào)遞增， ∴l(xiāng)oga3＜1， 當(dāng)a＞1時(shí)，由loga3＜1得a＞3， 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由loga3＜1得0＜a＜1. 綜上可知，a∈(0,1)∪(3，＋∞)．] 【名師點(diǎn)評(píng)】　1.應(yīng)用函數(shù)周期性和奇偶性求值的關(guān)鍵是借助函數(shù)的性質(zhì)將待求函數(shù)值的自變量向已知函數(shù)的定義域進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 2．關(guān)于周期性的常用結(jié)論 若對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)自變量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常數(shù)且a≠0)，則f(x)是以2a為一個(gè)周期的周期函數(shù)． 1．已知函數(shù)f(x)＝是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 　[由f(x)為R上的增函數(shù)，則f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，1－k＞0，k＜1.同時(shí)，k≥e0－k＝1－k，即k≥，從而k∈.] 2．(2016·南京三模)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－2，則不等式f(x－1)≤2的解集是________． [－1,3]　[∵f(x)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x－2，∴f(x)＝2|x|－2. 由f(x)≤2得2|x|－2≤2，即2|x|≤4，解得－2≤x≤2. 故由f(x－1)≤2得－1≤x≤3，即不等式f(x－1)≤2的解集為[－1,3]．] 命題展望 函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，綜合應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)解題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一．縱觀江蘇省近五年高考，我們可以發(fā)現(xiàn)以分段函數(shù)為載體的函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，是每年的必考題． 　(2012·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，則a＋3b的值為_(kāi)_______． －10　[因?yàn)閒(x)的周期為2， 所以f＝f＝f， 即f＝f. 又因?yàn)閒＝－a＋1，f＝＝， 所以－a＋1＝. 整理，得a＝－(b＋1)．① 又因?yàn)閒(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝， 即b＝－2a.② 將②代入①，得a＝2，b＝－4.所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.] [閱卷心語(yǔ)] 易錯(cuò)提示　(1)對(duì)周期函數(shù)的定義理解不到位，找不到f的計(jì)算方式； (2)找不出f(－1)與f(1)的關(guān)系． 防范措施　(1)可借助f(x＋T)＝f(x)間的關(guān)系，把自變量的值實(shí)現(xiàn)區(qū)域轉(zhuǎn)化； (2)要注意函數(shù)特殊點(diǎn)(或特殊位置)的函數(shù)值． 1．設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,1)時(shí)，f(x)＝則f＝________. 1　[函數(shù)的周期是2，所以f＝f＝f，根據(jù)題意f＝－4×2＋2＝1.] 2．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．如果實(shí)數(shù)t滿足f(ln t)＋f<2f(1)時(shí)，那么t的取值范圍是________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：19592005】 　[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f＝f(－ln t)＝f(ln t)＝f(|ln t|)． 由f(ln t)＋f<2f(1)?2f(ln t)<2f(1)?f(|ln t|)<f(1)?|ln t|<1?－1<ln t<1?<t<e.] 3．(2013·江蘇高考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_______． (－5,0)∪(5，＋∞)　[設(shè)x＜0，則－x＞0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函數(shù)，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝當(dāng)x＞0時(shí)，由x2－4x＞x，得x＞5；當(dāng)x＜0時(shí)，由－x2－4x＞x，得－5＜x＜0，故不等式的解集為(－5,0)∪(5，＋∞)．]