高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題限時(shí)集訓(xùn)4 平面向量-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題限時(shí)集訓(xùn)(四)　平面向量 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第86頁(yè)) (限時(shí)：120分鐘) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上．) 1．(廣東湛江市2017屆高三上學(xué)期期中調(diào)研考試)已知向量＝，＝，則∠ABC＝________. 60°　[cos∠ABC＝ ＝ ＝，所以∠ABC＝60°.] 2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______． －5　[∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)． 又a⊥(ta＋b)，則a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.] 3．(廣東郴州市2017屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷)已知a，b均為單位向量，且(2a＋b)·(a－2b)＝－， 則向量a，b的夾角為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394025】 　[向量a，b的夾角為θ，因?yàn)閨a|＝|b|＝1，所以(2a＋b)·(a－2b)＝－3a·b＝－3cos θ＝－，即cos θ＝，θ＝.] 4．(四川省涼山州2017屆高中畢業(yè)班第一 次診斷性檢測(cè))設(shè)向量a＝(cos x，－sin x)，b＝，且a＝tb，t≠0，則sin 2x的值等于________． ±1　[因?yàn)閎＝＝(－sin x，cos x)，a＝tb，所以cos xcos x－(－sin x)(－sin x)＝0，即cos2x－sin2x＝0，所以tan2x＝1，tan x＝±1，x＝＋(k∈Z)，2x＝kπ＋(k∈Z)，sin 2x＝±1.] 5．(河北唐山市2017屆高三年級(jí)期末)設(shè)向量a與b 的夾角為θ，且a＝(－2,1)，a＋2b＝(2,3)，則cos θ＝________. －　[因?yàn)?a＋2b)－a＝2b＝(4,2)，所以b＝(2,1)，所以cos θ＝＝＝－.] 6．(天津六校2017屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考)設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝________. 　[因?yàn)閍⊥b?a·b＝0?x－2＝0?x＝2，所以|a＋b|＝|(3，－1)|＝. ] 7．(2017·江蘇省無(wú)錫市高考數(shù)學(xué)一模)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若點(diǎn)P滿足＝＋λ，且·＝1，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______． －或1　[△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，點(diǎn)P滿足＝＋λ， ∴－＝λ，∴＝λ； 又＝－＝(＋λ)－＝＋(λ－1)， ∴·＝λ·[＋(λ－1)] ＝λ·＋λ(λ－1)2 ＝λ×2×1×cos 60°＋λ(λ－1)×22＝1， 整理得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－或λ＝1， ∴實(shí)數(shù)λ的值為－或1.] 8．(天津六校2017屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考)D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，＝－2，過(guò)D點(diǎn)的直線分別交直線AB、AC于E、F，若＝λ，＝μ，其中λ＞0，μ＞0，則＋＝________. 3　[因?yàn)椋剑絤＋n＝mλ＋nμ(m＋n＝1)，所以mλ＝，nμ＝?＋＝3m＋3n＝3.] 9．(2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模)已知平面向量＝(1,2)，＝(－2,2)，則·的最小值為_(kāi)_______． －　[設(shè)A(a，b)，B(c，d)， ∵＝(1,2)，＝(－2,2)， ∴C(a＋1，b＋2)，D(c－2，d＋2)， 則＝(c－a，d－b)，＝(c－a－3，d－b)， ∴·＝(c－a)(c－a－3)＋(b－d)2 ＝(c－a)2－3(c－a)＋(b－d)2＝2－＋(b－d)2≥－. ∴·的最小值為－.] 10．(廣東2017屆高三上學(xué)期階段測(cè)評(píng)(一) )已知向量，，滿足＝＋，||＝2，||＝1，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD的中點(diǎn)，若·＝－，則向量與的夾角為_(kāi)_______. 　[＝－，＝－，∴·＝－－＋＝－＋·＝－. ∴·＝1，cos〈，〉＝，∴與的夾角為.] 11．(2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)如圖4－8，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，且OA＝3，OC＝5，若·＝－7，則·的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394026】 圖4－8 9　[平面四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)， 且OA＝3，OC＝5，∴＋＝0； 若·＝－7， 則(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋· ＝2＋·(＋)－2 ＝32－2＝－7； ∴2＝16， ∴||＝||＝4； ∴·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋2 ＝－2＋·(＋)＋2 ＝－42＋0＋52＝9.] 12．(廣東省佛山市2017屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(一))一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB、AD分別交于E，F(xiàn)，且交其對(duì)角線AC于K，若 ＝2，＝3，＝λ(λ∈R)，則λ＝________. 5　[由平行四邊形法則，知＝＋，所以＝＝(＋)＝(2＋3)＝＋，又E，K，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以＋＝1，解得λ＝5.] 13．(江蘇省南京市2017屆高考三模)在凸四邊形ABCD中，BD＝2，且·＝0，(＋)·(＋)＝5，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_______． 3　[∵·＝0，∴AC⊥BD， ∵(＋)·(＋)＝5， ∴(＋＋＋)·(＋＋＋)＝(＋)·(＋)＝2－2＝5， ∴2＝2＋5＝9，∴AC＝3. ∴四邊形ABCD的面積S＝×AC×BD＝×3×2＝3.] 14．(江蘇省揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期末)已知△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足＝＋，則||的最小值是________． 　[如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(cos θ，sin θ)，則A(0,0)，B，C； ＝＋＝(cos θ，sin θ)＋＝. ＝＋＝， 則||＝＝≥＝＝.] 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．) 15．(本小題滿分14分)已知直線l1與圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于不同的A，B兩點(diǎn)，對(duì)平面內(nèi)任意的點(diǎn)Q都有＝λ＋(1－λ).設(shè)P為直線l2：3x＋4y＋4＝0上的動(dòng)點(diǎn)，求·的最小值． [解]　由＝λ＋(1－λ)可知，A，B，C三點(diǎn)共線，即弦AB為圓C的直徑. 4分 又因?yàn)镻為直線l2：3x＋4y＋4＝0上的動(dòng)點(diǎn)，且·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－4，故·的最小值為2－4的最小值. 10分 又因?yàn)閳A心C(1,2)到直線l2：3x＋4y＋4＝0的距離為＝3，故||min＝3，所以·的最小值為9－4＝5. 14分 16．(本小題滿分14分)(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知向量m＝(cos x，－1)，n＝(sin x，cos2x)． (1)當(dāng)x＝時(shí)，求m·n的值； (2)當(dāng)x∈，且m·n＝－，求cos 2x的值． [解]　(1)當(dāng)x＝時(shí)，m＝，n＝，∴m·n＝－＝. 6分 (2)m·n＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，8分 若m·n＝－，則sin＝， ∵x∈，∴2x－∈， ∴cos＝. ∴cos 2x＝cos＝coscos－sinsin ＝×－×＝. 14分 17．(本題滿分14分)(無(wú)錫市普通高中2017屆高三上學(xué)期期中基礎(chǔ)性檢測(cè))已知三點(diǎn)A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)，P為平面ABC上的一點(diǎn)，＝λ＋μ且·＝0，·＝3. (1)求·； (2)求λ＋μ的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394027】 [解]　(1)因?yàn)椋?2,1)，＝(1,2)， 2分 所以·＝2＋2＝4.4分 (2)因?yàn)?#183;＝0，所以⊥， 因?yàn)椋?2,1)，設(shè)＝(a，－2a)， 6分 因?yàn)?#183;＝3，所以(a，－2a)·(1,2)＝3，a－4a＝3，a＝－1，8分 ＝(－1,2)，因?yàn)椋?1,2)，所以(－1,2)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，10分 所以則λ＋μ＝. 14分 18．(本小題滿分16分)如圖4－9，已知點(diǎn)O為△ABC的外心，∠BAC，∠ABC，∠ACB的對(duì)邊分別為a，b，c，且2＋3＋4＝0. 圖4－9 (1)求cos∠BOC的值； (2)若△ABC的面積為，求b2＋c2－a2的值． [解]　(1)設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由2＋3＋4＝0得3＋4＝－2， 兩邊平方得9R2＋16R2＋24R2cos∠BOC＝4R2， 所以cos∠BOC＝＝－. 6分 (2)由題意可知∠BOC＝2∠BAC，∠BAC∈，cos∠BOC＝cos 2∠BAC＝2cos2∠BAC－1＝－，從而cos∠BAC＝，10分 所以sin∠BAC＝＝， △ABC的面積S＝bcsin∠BAC＝bc＝，故bc＝8，從而b2＋c2－a2＝2bccos∠BAC＝2×8×＝4.16分 19．(本小題滿分16分)已知兩定點(diǎn)M(4,0)，N(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足||＝2||. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)若點(diǎn)G(a,0)是軌跡C內(nèi)部一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G的直線l交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，令f (a)＝·，求f (a)的取值范圍． [解]　(1)設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)． ∵動(dòng)點(diǎn)P滿足||＝2||，∴＝2， 整理得x2＋y2＝4. 6分 (2)(a)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x＝a，不妨設(shè)A在B的上方，直線方程與x2＋y2＝4聯(lián)立，可得A(a，)，B(a，－)，∴f (a)＝·＝(0，)·(0，－)＝a2－4； 8分 (b)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝k(x－a)， 代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2－4)＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴f (a)＝·＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4. 由(a)(b)得f (a)＝a2－4. 14分 ∵點(diǎn)G(a,0)是軌跡C內(nèi)部一點(diǎn)， ∴－2<a<2，∴0≤a2<4， ∴－4≤a2－4<0，∴f (a)的取值范圍是[－4,0). 16分 20．(本小題滿分16分)已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，－cos x)，函數(shù)f (x)＝a·b＋. (1)求函數(shù)y＝f (x)圖象的對(duì)稱軸方程； (2)若方程f (x)＝在(0，π)上的解為x1，x2，求cos(x1－x2)的值． [解]　(1)f (x)＝a·b＋＝(sin x，cos x)·(cos x，－cos x)＋＝sin x·cos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin. 6分 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 即函數(shù)y＝f (x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝＋(k∈Z). 8分 (2)由條件知sin＝sin＝＞0，設(shè)x1＜x2，則0＜x1＜＜x2＜，易知(x1，f (x1))與(x2，f (x2))關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則x1＋x2＝，∴cos(x1－x2)＝cos＝cos＝cos＝sin＝. 16分