（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 第三篇 導數(shù)及其應用《第13講　導數(shù)的概念與運算》理（含解析） 蘇教版

A級　基礎達標演練 (時間：45分鐘　滿分：80分) 一、填空題(每小題5分，共35分) 1．(2011·南通調研)曲線y＝x3－2x在點(1，－1)處的切線方程是________． 解析　y′＝3x2－2，k＝3－2＝1，所以切線方程為y＋1＝x－1，即x－y－2＝0. 答案　x－y－2＝0 2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)等于________． 解析　f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，f′(x)＝2x－4，故f′(0)＝－4. 答案　－4 3．(2011·菏澤模擬)若函數(shù)f(x)＝excos x，則此函數(shù)圖象在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為________(填銳角、直角或鈍角)． 解析　f′(x)＝excos x－exsin x， 因為函數(shù)圖象在點(1，f(1))處的切線斜率k＝f′(1)＝e(cos 1－sin 1)＜0， 所以切線的傾斜角是鈍角． 答案　鈍角 4．函數(shù)y＝x2(x＞0)的圖象在點(an，a)處的切線與x軸交點的橫坐標為an＋1，n∈N*，若a1＝16，則a3＋a5＝________，數(shù)列{an}的通項公式為________． 解析　k＝f′(an)＝2an，切線方程為y－a＝2an(x－an)，令y＝0，得－a＝2an(an＋1－an)，即＝.所以{an}是首項為16，公比為的等比數(shù)列，所以an＝16·n－1＝25－n，a3＋a5＝5. 答案　5　25－n 5．(2011·青島模擬)點P是曲線y＝x2－ln x上任意一點，則點P到直線y＝x－2的距離的最小值是________． 解析　設P(t，t2－ln t)，由y′＝2x－，得k＝2t－＝1(t＞0)，解得t＝1.所以過點P(1,1)的切線方程為y＝x，它與y＝x－2的距離d＝＝即為所求． 答案　 6．(2011·臨沂市檢測)已知直線ax－by－2＝0與曲線y＝x3在點P(1,1)處的切線互相垂直，則為________． 解析　y′＝(x3)′＝3x2，k＝3，由題意，3×＝－1，所以＝－. 答案?。? 7．對正整數(shù)n，設曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數(shù)列的前n項和為________． 解析　由y＝xn－xn＋1，得y′＝nxn－1－(n＋1)xn，k＝n·2n－1－(n＋1)·2n＝－(n＋2)·2n－1，切線方程為y＋2n＝－(n＋2)·2n－1(x－2)，所以＝2n,2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2. 答案　2n＋1－2 二、解答題(每小題15分，共45分) 8．(2010·陜西)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該曲線的方程． 解　f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)， 由已知得解得a＝，x＝e2. 因為兩曲線交點坐標為(e2，e)，切線的斜率為k＝f′(e2)＝，所以切線方程為y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0. 9．已知函數(shù)y＝f(x)＝. (1)求函數(shù)y＝f(x)的圖象在x＝處的切線方程； (2)求函數(shù)y＝f(x)的最大值． 解　(1)因為f′(x)＝， 所以k＝f′＝2e2.又f＝－e， 所以y＝f(x)在x＝處的切線方程為 y＋e＝2e2，即2e2x－y－3e＝0. (2)令f′(x)＝0，得x＝e. 因為當x∈(0，e)時，f′(x)＞0， 當x∈(e，＋∞)時，f′(x)＜0， 所以f(x)在(0，e)上為增函數(shù)，在(e，＋∞)上為減函數(shù)， 所以f(x)max＝f(e)＝. 10．(2011·鹽城檢測)已知：在函數(shù)的圖象上，f(x)＝mx3－x以N(1，n)為切點的切線的傾斜角為. (1)求m，n的值； (2)是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f(x)≤k－2 013對于x∈[－1,3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數(shù)k，如果不存在，請說明理由． 解　(1)依題意，得f′(1)＝tan，即3m－1＝1，m＝. 因為f(1)＝n，所以n＝－. (2)令f′(x)＝2x2－1＝0，得x＝±. 當－1＜x＜－時，f′(x)＝2x2－1＞0； 當－＜x＜時，f′(x)＝2x2－1＜0； 當＜x＜3時，f′(x)＝2x2－1＞0. 又f(－1)＝，f＝，f＝－，f(3)＝15， 因此，當x∈[－1,3]時，－≤f(x)≤15. 要使得不等式f(x)≤k－2 013對于x∈[－1,3]恒成立，則k≥15＋2 013＝2 028. 所以，存在最小的正整數(shù)k＝2 028，使得不等式f(x)≤k－2 013對于x∈[－1,3]恒成立． B級　綜合創(chuàng)新備選 (時間：30分鐘　滿分：60分) 一、填空題(每小題5分，共30分) 1．(2010·海南、寧夏高考題)曲線y＝在點(－1，－1)處的切線方程為________． 解析　y′＝＝，k＝f′(－1)＝2，切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 答案　2x－y＋1＝0 2．(2011·廈門質檢)已知函數(shù)f(x)＝xex，則f′(x)＝______；函數(shù)f(x)的圖象在點(0，f(0))處的切線方程為________． 解析　f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，∴f′(0)＝1，f(0)＝0，故函數(shù)f(x)的圖象在點(0，f(0))處的切線方程為y＝x. 答案　(x＋1)ex　x－y＝0 3．(2011·蘇北四市調研)已知函數(shù)y＝f(x)及其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則曲線y＝f(x)在點P處的切線方程是________． 解析　k＝f′(2)＝1，切線方程為y＝x－2. 答案　x－y－2＝0 4．(2010·江西改編)等比數(shù)列中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝__________. 解析　函數(shù)f(x) 的展開式含x項的系數(shù)為a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212＝4 096. 答案　4 096 5．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的導函數(shù)為f′(x)，且f′(0)＞0，對于任意實數(shù)x有f(x)≥0，則的最小值為________． 解析　f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＞0， 又所以ac≥，所以c＞0， 所以＝≥≥＝2. 答案　2 6．(2011·南京模擬)已知直線y＝mx(m∈R)與函數(shù)f(x)＝的圖象恰有三個不同的公共點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析　如圖，可求得直線y＝x與y＝x2＋1(x＞0)的圖象相切時恰有兩個不同 的公共點，當m＞時，直線y＝mx與y＝f(x)的圖象恰有三個不同的公共點． 答案　(，＋∞) 二、解答題(每小題15分，共30分) 7．已知f(x)＝x＋. (1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心． (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求出此定值． 證明　(1)已知函數(shù)y1＝x，y2＝都是奇函數(shù)， 所以函數(shù)g(x)＝x＋也是奇函數(shù)，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形．而f(x)＝x－1＋＋1. 可知，函數(shù)g(x)的圖象按向量a＝(1,1)平移，即得到函數(shù)f(x)的圖象，故函數(shù)f(x)的圖象是以點(1,1)為中心的中心對稱圖形． (2)在曲線上任取一點. 由f′(x0)＝1－知，過此點的切線方程為 y－＝(x－x0)． 令x＝1得y＝，切線與直線x＝1交點為. 令y＝x得y＝2x0－1，切線與直線y＝x交點為(2x0－1,2x0－1)． 直線x＝1與直線y＝x的交點為(1,1)． 從而所圍三角形的面積為 ·|2x0－1－1|＝|2x0－2|＝2. 所以，所圍三角形的面積為定值2. 8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C，試問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩點？若存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由． 解　設存在過切點A(x1，y1)的切線與曲線C同時切于兩點，另一切點為B(x2，y2)(x2≠x1)，則切線方程為y－＝(x＋4x1＋3)(x－x1)， 即為y＝(x＋4x1＋3)x－. 同理，過點B(x2，y2)的切線方程是 y＝(x＋4x2＋3)x－. 由于兩切線是同一切線，所以有 即 又x1≠x2， 所以 解得x1＝x2＝－2，這與x1≠x2矛盾，所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點．