（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 附加考查部分 8 第8講 不等式選講刷好題練能力 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第8講 不等式選講 1．解不等式x＋|2x＋3|≥2. 解：原不等式可化為或 解得x≤－5或x≥－. 綜上，原不等式的解集是. 2．若a、b、c為正實數(shù)，且＋＋＝1，求a＋2b＋3c. 解：a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)·≥＝9.(當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c，即a＝3，b＝，c＝1時等號成立) 3．已知實數(shù)x，y滿足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求證：|y|＜. 證明：因為3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由題設(shè)知|x＋y|＜，|2x－y|＜， 從而3|y|＜＋＝，所以|y|＜. 4．(2019·常州模擬)已知a>0，b>0，證明：(a2＋b2＋ab)·(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2. 證明：因為a>0，b>0， 所以a2＋b2＋ab≥3＝3ab>0， ab2＋a2b＋1≥3＝3ab>0， 所以(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2. 5．(2019·江蘇省重點中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺卷(六))已知函數(shù)f(x)＝2|x－1|－a，g(x)＝－|2x＋6|，若函數(shù)y＝f(x)的圖象恒在函數(shù)y＝g(x)的圖象的上方，求實數(shù)a的取值范圍． 解：因為y＝f(x)的圖象恒在函數(shù)y＝g(x)的圖象的上方，故f(x)－g(x)>0， 即a<2|x－1|＋|x＋3|對任意的x∈R恒成立． 設(shè)h(x)＝2|x－1|＋|x＋3|， 則h(x)＝. 數(shù)形結(jié)合得當(dāng)x＝1時，h(x)取得最小值4. 故當(dāng)a<4時，函數(shù)y＝f(x)的圖象恒在函數(shù)y＝g(x)的圖象的上方， 即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，4)． 6．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)求函數(shù)y＝＋的最大值． 解：因為(＋)2 ＝ ≤(3－3x＋3x＋2)＝， 所以y＝＋≤. 等號當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝時成立． 所以y的最大值為. 7．(2019·鎮(zhèn)江模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)對任意a，b∈R恒成立，求實數(shù)x的取值范圍． 解：若a＝0，則不等式轉(zhuǎn)化為2|b|≥0恒成立，此時x∈R. 若a≠0，由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)可得f(x)≤恒成立， 而≥＝2，所以f(x)≤2恒成立， 即|x－1|＋|x－2|≤2?或 或?≤x≤. 由于不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)對任意a，b∈R恒成立，所以x的取值范圍是. 8．(2019·江蘇省重點中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺卷(七))設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)． 證明：因為a，b，c為正數(shù)，所以a2＋b2≥2ab>0(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立)， 所以a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)， 同理b3＋c3≥bc(b＋c)(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時等號成立)， c3＋a3≥ca(c＋a)(當(dāng)且僅當(dāng)c＝a時等號成立)． 三式相加可得2(a3＋b3＋c3)≥ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)， 又ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a)＝a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)， 所以2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)． 9．已知實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求a的取值范圍． 解：由柯西不等式， 得(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2， 即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由條件得，5－a2≥(3－a)2， 解得1≤a≤2，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時，等號成立，代入b＝，c＝，d＝時，amax＝2；代入b＝1，c＝，d＝時，amin＝1，所以a的取值范圍是[1，2]． 10．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集為[0，1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c，x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求證：ax＋by＋cz≤1. 解：(1)因為f(x＋1)≥0，所以|x|＋|x－1|≤m. 當(dāng)m＜1時，因為|x|＋|x－1|≥1，所以不等式|x|＋|x－1|≤m的解集為?，不符合題意． 當(dāng)m≥1時， ①當(dāng)x<0時，得x≥，所以≤x<0. ②當(dāng)0≤x≤1時，得x＋1－x≤m，即1≤m恒成立． ③當(dāng)x>1時，得x≤，所以1<x≤. 綜上，|x|＋|x－1|≤m的解集為 . 由題意得所以m＝1. (2)證明：因為x2＋a2≥2ax，y2＋b2≥2by，z2＋c2≥2cz，所以a2＋b2＋c2＋x2＋y2＋z2≥2(ax＋by＋cz)． 由(1)知x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝1，所以2(ax＋by＋cz)≤2，所以ax＋by＋cz≤1.