（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 第十章 解析幾何初步 第54課 直線的基本量與方程 文-人教版高三全冊數(shù)學試題

第54課 直線的基本量與方程 (本課時對應學生用書第　　頁) 自主學習　回歸教材 1.(必修2P76練習1改編)已知直線l的方程為-3x+2y=12，那么直線l的斜率為　　　　，在x軸上的截距為　　　　，在y軸上的截距為　　　　. 【答案】　-4　6 【解析】化直線為斜截式y(tǒng)=x+6，故k=；令y=0，得x=-4，所以直線在x軸上的截距為-4；令x=0，得y=6，所以直線在y軸上的截距為6. 2.(必修2P73練習3改編)已知兩點A(4，0)，B(0，3)，點C(8，a)在直線AB上，那么實數(shù)a=　　　　. 【答案】-3 【解析】由kAB=kAC，得=，所以a=-3. 3.(必修2P72練習2改編)若直線l經(jīng)過原點與點(-3，)，則直線l的傾斜角為　　　　. 【答案】150° 【解析】因為k=tan α=-，所以直線l的傾斜角為150°. 4.(必修2P73練習3改編)已知直線l經(jīng)過點A(1，2)，且傾斜角是直線y=2x+3的傾斜角的2倍，那么直線l的方程為　　　　　　　　. 【答案】4x+3y-10=0 【解析】設直線y=2x+3的傾斜角為α，則tan α=2， 所以直線l的傾斜角為2α，所以k=tan 2α=-， 所以直線l的方程為4x+3y-10=0. 1.直線的傾斜角α的取值范圍是[0，π). 2.已知直線上不同的兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，當x1≠x2時，直線PQ的斜率為；當x1=x2時，直線PQ的斜率不存在. 3.當直線與x軸不垂直時，直線的斜率k與傾斜角α之間的關系是k=tan α. 4.直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點斜式 y-y0=k(x-x0) 不含直線x=x0 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x軸的直線 兩點式 = 不含直線x=x1(x1=x2)和y=y1(y1=y2) 截距式 +=1 不含垂直于坐標軸和過原點的直線 一般式 Ax+By+C=0(A，B不全為0) 平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用 【要點導學】 要點導學　各個擊破 　直線的斜率 例1　若直線ax+y+1=0與連接點A(2，3)，B(-3，2)的線段相交，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　. 【思維引導】直線與線段AB相交，即可得直線與線段的交點在線段上，于是只需在直線上取一定點，與線段兩端點求出斜率即可. 【答案】(-∞，-2]∪[1，+∞) 【解析】直線的斜率為k=-a，且直線經(jīng)過定點P(0，-1)，分別求出直線PA，PB的斜率為2，-1，可得斜率k的取值范圍是(-∞，-1]∪[2，+∞)， 則實數(shù)a的取值范圍是(-∞，-2]∪[1，+∞). 【精要點評】解答已知直線過某定點且與已知線段有交點，求其中參數(shù)的取值范圍時，常用數(shù)形結合法，分別求出該定點與線段的兩個端點連線的斜率，再根據(jù)圖形列出不等式(組)來求解. 變式1　如圖，直線l過點P(-1，2)，且與以A(-2，-3)，B(4，0)為端點的線段恒相交，則直線l的斜率的取值范圍為　　　　. (變式1) 【答案】 變式2　若直線(k2-1)x-y-1+2k=0不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)k的取值范圍是　　　　. 【答案】(-∞，-1] 【解析】直線方程可化為y=(k2-1)x+2k-1， 因為直線不過第二象限， 所以或或 解得k≤-1. 即實數(shù)k的取值范圍是(-∞，-1]. 　直線的斜率與傾斜角 例2　設點P是函數(shù)y=(x+1)圖象上異于原點的動點，且該圖象在點P處的切線的斜率為k，傾斜角為θ. (1)求k的最小值； (2)求θ的取值范圍. 【思維引導】本題需要先通過導數(shù)求出切線的斜率，再根據(jù)所得函數(shù)模型，求出斜率的取值范圍，再算出傾斜角的取值范圍. 【解答】(1)k=y'=≥， 當且僅當x=時取等號，所以k的最小值為. (2)又k=tan θ≥，θ∈[0，]∪， 所以θ∈. 【精要點評】(1)直線的斜率不存在，則直線的傾斜角為90°，直線垂直于x軸；(2)傾斜角和斜率的變化關系，請結合y=tan x，x∈∪的圖象考慮. 變式1　如果直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是　　　　　　. 【答案】∪ 【解析】k=tan α==1-m2≤1， 所以α∈∪. 變式2　直線x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是　　　　　. 【答案】 【解析】由題知斜率k=-，故k∈[-1，0)，由正切函數(shù)的圖象知傾斜角α∈. 　直線的方程 例3　(1)已知直線l的縱截距為-1，傾斜角是直線l1：3x+4y-1=0的傾斜角的一半，求直線l的方程. (2)已知直線l過點A(-2，4)，分別交x軸、y軸于點B，C，且滿足=，求直線l的方程. 【思維引導】(1)設直線l的方程為斜截式，由傾斜角的關系求出斜率；(2)設直線l的方程為截距式，由向量關系求出橫截距和縱截距. 【解答】(1)設直線l的斜率為k，傾斜角為α，直線l1的傾斜角為β，則tan β=-，且β=2α. 由tan β=tan 2α==-，得tan α=-或3. 若tan α=-，則90°<α<180°， 從而180°<β<360°，不合題意， 所以k=tan α=3. 又直線l的縱截距為-1， 所以直線l的方程為y=3x-1， 即3x-y-1=0. (2)方法一：設直線l的方程為+=1， 則B(a，0)，C(0，b)， =(-2-a，4)，=(2，b-4). 由=，得解得 所以直線l的方程為+=1， 即4x-y+12=0. 方法二：設直線l的方程為y-4=k(x+2)，分別令y=0，x=0，得B，C(0，2k+4)， 所以==(2，2k). 由=，得解得k=4， 所以直線l的方程為y-4=4(x+2)，即4x-y+12=0. 【精要點評】求直線方程時，要依據(jù)條件靈活選擇方程的形式.一般地，與傾斜角有關的，方程設為點斜式或斜截式，如例3(1)；與截距有關的，方程設為截距式，如例3(2).在使用斜截式方程時，可以將斜率k作為變量，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程問題來解.對于直線方程的各種形式，要注意它們的使用范圍，即對方程中的參數(shù)要分類討論，特別要注意斜率不存在的情況. 【高頻考點·題組強化】 1.過點(2，1)，且傾斜角比直線y=-x-1的傾斜角小的直線方程是　　　　　　　　. 【答案】x=2 【解析】直線y=-x-1的斜率為-1，故其傾斜角為， 所以所求直線的傾斜角是，直線與x軸垂直， 故所求直線的方程是x=2. 2.經(jīng)過點(-2，2)，且與兩坐標軸所圍成的三角形面積為1的直線l的方程為　　　　　　　　. 【答案】2x+y+2=0或x+2y-2=0 【解析】設直線l的方程為+=1，由已知可得解得或 所以直線l的方程為2x+y+2=0或x+2y-2=0. 3.經(jīng)過點A(-5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程是　　　　　　　　　. 【答案】x+2y+1=0或2x+5y=0 【解析】設直線在x軸上的截距為2a，則其在y軸上的截距為a.當直線不過原點時，設所求直線方程為+=1，將(-5，2)代入所設方程，解得a=-， 所以直線方程為x+2y+1=0. 當直線過原點時，設直線方程為y=kx，代入(-5，2)得k=-，所以直線方程為y=-x，即2x+5y=0. 綜上可知，所求直線方程為x+2y+1=0或2x+5y=0. 4.已知點A(-1，0)，B(cos α，sin α)，且AB=，那么直線AB的方程為　　　　　　　　　. 【答案】y=x+或y=-x- 【解析】AB===， 所以cos α=，所以tan α=±， 即直線的方程為y=±(x+1)， 所以直線的方程為y=x+或y=-x-. 　直線方程的綜合問題 例4　過點P(4，1)作直線l分別交x軸、y軸正半軸于A，B兩點. (1)當△AOB面積最小時，求直線l的方程； (2)當OA+OB取最小值時，求直線l的方程. 【思維引導】在比較中合理選擇直線方程的形式，根據(jù)題意，求得基本量. 【解答】設直線l：+=1(a>0，b>0)， 因為直線l經(jīng)過點P(4，1)，所以+=1. (1)+=1≥2=，所以ab≥16，當a=8，b=2時等號成立，所以a=8，b=2時，△AOB的面積最小，此時直線的方程為+=1，即x+4y-8=0. (2)因為+=1，a>0，b>0， 所以OA+OB=a+b=(a+b)(+)=5++≥9，當且僅當a=6，b=3時等號成立，所以OA+OB最小時，直線l的方程為x+2y-6=0. 【精要點評】(1)本題使用直線方程的截距式，幾何關系清晰，解法比較簡捷，當然也可以使用點斜式，但是要注意斜率k<0.(2)通過比較發(fā)現(xiàn)，選用直線方程的不同形式求解問題的效果不同，這就需要我們充分認識不同形式的直線方程的特點. 例5　已知直線l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0. (1)求證：不論m為何實數(shù)，直線l恒過一定點M； (2)過定點M作一條直線l1，使夾在兩坐標軸之間的線段被點M平分，求直線l1的方程. 【思維引導】(1)把直線的方程形式轉(zhuǎn)化為關于m的恒等式再求定點坐標；(2)過點M設方程，然后求交點，構造關于點M的中點問題，最后求方程中的參數(shù)k的值. 【解答】(1)因為m(x-2y-3)+2x+y+4=0， 所以由題意可得解得 所以直線l恒過定點M(-1，-2). (2)設所求直線l1的方程為y+2=k(x+1)，直線l1與x軸、y軸交于A，B兩點，則A，B(0，k-2). 由題意知AB的中點為M， 所以解得k=-2. 所以所求直線l1的方程為2x+y+4=0. 【精要點評】求直線的定點是常見問題.解決該類問題的方法有兩種：(1)構造關于某參數(shù)(如題中m)的恒等式，然后再尋找方程組求定點；(2)任意取參數(shù)(如題中m)的特殊值構造關于x，y的方程組，求定點，并代回驗證.除直線中的定點問題外，還有涉及到各類函數(shù)(指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù))、圓以及圓錐曲線的定點問題，值得關注. 1.在平面直角坐標系中，直線y=-x+1的傾斜角為　　　　. 【答案】 【解析】因為tan α=k=-，又α∈[0，π)，所以α=. 2.不論m取何值，直線(m-1)x-y+2m+1=0恒過定點　　　　. 【答案】(-2，3) 【解析】由直線方程(m-1)x-y+2m+1=0， 整理得(x+2)m-(x+y-1)=0， 則解得 3.若直線l經(jīng)過點A(1，2)，且在x軸上的截距的取值范圍是(-1，3)，則傾斜角的取值范圍是　　　　. 【答案】 【解析】當斜率不存在時，直線l的傾斜角為，方程為x=1，此時滿足題意；當斜率存在時，設直線l的斜率為k，則l的方程為y-2=k(x-1)，在x軸上的截距為1-， 令-1<1-<3，解得k<-1或k>1， 故傾斜角的取值范圍是∪. 綜上，傾斜角的取值范圍是(). 4.經(jīng)過點A(-2，2)且在第二象限與兩個坐標軸圍成的三角形面積最小時的直線的方程為　　　　　　. 【答案】x-y+4=0 【解析】方法一：設所求直線方程為+=1(a<0，b>0)， 因為+=1，所以a=. 又因為a<0，所以b>2. S△ABC=-ab=-·= =(b+2)+=+4≥2+4=8，當且僅當b-2=，即b=4時S最小.此時a=-4，b=4， 故所求直線方程為x-y+4=0. 方法二：設所求直線方程為y-2=k(x+2)，顯然k>0， 根據(jù)題意，知S△ABC=|2k+2|· =4+2≥8.當且僅當k=1時取等號，故所求直線方程為x-y+4=0. 趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習第107~108頁. 【檢測與評估】 第十章　解析幾何初步 第54課　直線的基本量與方程 一、 填空題 1.直線x=tan的傾斜角為　　　　. 2.若經(jīng)過兩點A(4，2y+1)，B(2，-3)的直線的傾斜角為，則y=　　　　. 3.經(jīng)過兩點(-1，8)和(4，-2)的直線的兩點式方程是　　　　　　　　　　　，截距式方程是　　　　　　　，一般式方程是　　　　　　　　. 4.若點A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三點共線，則實數(shù)a=　　　　. 5.設直線l的傾斜角為α，且≤α≤，則直線l的斜率k的取值范圍是　　　　. 6.已知點A(1，3)，B(-2，-1)，若直線l：y=k(x-2)+1與線段AB相交，則斜率k的取值范圍是　　　　. 7.若k，-1，b三個數(shù)成等差數(shù)列，則直線y=kx+b必經(jīng)過定點　　　　. 8.(2014·合肥三檢)記直線x-3y-1=0的傾斜角為α，若曲線y=ln x在點(2，ln 2)處切線的傾斜角為β，則α+β=　　　　　. 二、 解答題 9.求傾斜角是直線y=-x+1傾斜角的，且分別滿足下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點(，-1)； (2)在y軸上的截距是-5. 10.過點P(1，4)引一條直線，使它在兩個坐標軸上的截距均為正值，且它們的和最小，求這條直線的方程. 11.已知直線l：kx-y+1+2k=0. (1)求證：直線l過定點； (2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，△AOB的面積為S，求S的最小值，并求出此時直線l的方程. 三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結果) 12.已知直線l經(jīng)過點M(2，1)，且分別交x軸、y軸的正半軸于點A，B，點O是坐標原點. (1)當△ABO的面積最小時，求直線l的方程； (2)當MA·MB取得最小值時，求直線l的方程. 【檢測與評估答案】 第十章　解析幾何初步 第54課　直線的基本量與方程 1. 　【解析】因為直線的方程為x=tan=1，斜率不存在，所以傾斜角為. 2.-3　【解析】由題意知=tan =-1，解得y=-3. 3.=　+=1　2x+y-6=0. 4.4　【解析】kAC==1，kAB==a-3.由于A，B，C三點共線，所以a-3=1，即a=4. 5.∪[1，+∞)　【解析】由k=tan α，根據(jù)正切函數(shù)圖象可知k∈∪[1，+∞). 6.　【解析】由題意知直線l恒過定點P(2，1)，如圖所示.若l與線段AB相交，則kPA≤k≤kPB.因為kPA=-2，kPB=，所以-2≤k≤. (第6題) 7.(1，-2)　【解析】因為k，-1，b成等差數(shù)列，所以k+b=-2，即b=-2-k，于是直線方程可化為y=kx-k-2，即y+2=k(x-1)，故直線必過定點(1，-2). 8.　【解析】直線x-3y-1=0的斜率k'=tan α=，曲線y=ln x在點(2，ln 2)處的切線的斜率k=tan β=，故tan(α+β)==1，又0<α<，0<β<，所以α+β=. 9. 因為直線的方程為y=-x+1，所以k=-，傾斜角α=120°，由題知所求直線的傾斜角為30°，即斜率為. (1) 因為直線經(jīng)過點(，-1)，所以所求直線方程為y+1=(x-)，即x-3y-6=0. (2) 因為直線在y軸上的截距為-5，所以由斜截式知所求直線方程為y=x-5，即x-3y-15=0. 10. 方法一：設所求的直線方程為y-4=k(x-1).顯見，上述直線在x軸、y軸上的截距分別為1-，4-k.由于1->0且4-k>0，可得k<0.直線在兩坐標軸上的截距之和為S=+(4-k)=5+(-k)+≥5+4=9，當且僅當-k=-，即k=-2時，S有最小值9.故所求直線方程為y-4=-2(x-1)，即2x+y-6=0. 方法二：設所求直線方程為+=1(a>0，b>0). 根據(jù)題設有+=1，　① 令S=a+b.?、? ①×②，有S=(a+b)=5++≥5+4=9.當且僅當=時，即2a=b，且+=1，即a=3，b=6時，取等號. 故所求直線方程為+=1，即2x+y-6=0. 11. (1) 由題設得k(x+2)+(1-y)=0， 所以無論k取何值，直線過定點(-2，1). (2) 令y=0，得點A的坐標為， 令x=0，得點B坐標為(0，2k+1)(k>0)， 所以S△AOB=|2k+1|=(2k+1)=≥(4+4)=4. 當且僅當4k=，即k=時取等號. 即△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為x-y+1+1=0，即x-2y+4=0. 12. (1) 如圖，設OA=a，OB=b，△ABO的面積為S，則S=ab，且直線l的截距式方程是+=1. (第12題) 由直線通過點(2，1)，得+=1， 所以==. 因為點A和點B在x軸、y軸的正半軸上，所以上式右端的分母b-1>0.由此得 S=×b=×b==b+1+=b-1++2≥2+2=4. 當且僅當b-1=，即b=2時面積S取得最小值4，此時a=4，直線l的方程為+=1，即直線l的方程為x+2y-4=0. (2) 如圖，設∠BAO=θ， 則MA=，MB=， 所以MA·MB=·=， 則當θ=45°時，MA·MB有最小值4， 此時直線l的斜率為-1， 所以直線l的方程為x+y-3=0.