中國(guó)民航大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末考試試題及答案B[1]

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末考試試題 一、填空題（每題 3 分，共 15 分） 1、已知隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 2 的泊松（ Poisson）分布，且隨機(jī)變量 Z 2 X 2 ，則 E Z ____________． 2、設(shè) A 、 B 是隨機(jī)事件， P A 0.7 ， P A B 0.3 ，則 P AB 3、設(shè)二維隨機(jī)變量 X ,Y 的分布列為 Y X 1 2  1 2 3 1 1 1 6 9 18 1 3 若 X 與 Y 相互獨(dú)立，則 、 的值分別為 。 4、設(shè) D X 4, D Y 1, R X , Y 0.6 ，則 D X Y ___ _ 5、設(shè) X 1 , X 2 , , X n 是取自總體 N ( , 2 ) 的樣本， 則統(tǒng)計(jì)量 1 n 2 服從 __________ 2 ( X i ) i 1 分布 . 二、選擇題（每題 3 分，共 15 分） 1. 一盒產(chǎn)品中有 a 只正品， b 只次品，有放回地任取兩次， 第二次取到正品的概率為 【 】 a 1 ； (B) a(a 1) ； (C) a ； (D) a 2 (A) . a b 1 (a b)( a b 1) a b a b 2、設(shè)事件 A 與 B 互不相容，且 P A 0 ， P B 0 ，則下面結(jié)論正確的是【 】 (A) A 與 B 互不相容 ; (B) P B A 0 ; (C) P AB P A P B ; (D) P AB P A . 3、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與 Y 分別服從正態(tài)分布 N 0,1 和 N 1,1 ，則【 】 (A) P X Y 0 1 (B) P X Y 1 1 ； ； 2 2 (C) P X Y 0 1 (D) P X 1 。 ； Y 1 2 2 4、 如果 X , Y 滿足 D ( X Y) D X Y ，則必有【 】 （A ） X 與 Y 獨(dú)立；（ B） X 與 Y不相關(guān)；（ C） DY 0 ；（ D） DX 0 5、設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量 X 與 Y 具有同一分布律，且 X 的分布律為 則隨機(jī)變量 Z max X , Y 的分布律為【 】 X 0 1 P 1 1 2 2 (A) P z 0 1 , P z 1 1 ； (B) P z 0 1, P z 1 0 ； 2 2 (C) P z 0 1 , P z 1 3 ； (D) P z 0 3 , P z 1 1 。 4 4 4 4 三、解答題（共 30 分） 1.（本題滿分 8 分）兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率為 0.03，第二臺(tái)出現(xiàn) 廢品的概率為 0.02 ，已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍， 加工出來(lái)的零件放 在一起，求：任意取出的零件是合格品 (A) 的概率 . 2.（本題滿分 8 分）將一枚硬幣連擲三次，現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，  X 表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)， Y 表示三次中出 求：（ 1）（ X ，Y ）的聯(lián)合概率分布；（ 2）P Y X  . 3.（本題滿分 10 分）設(shè)隨機(jī)變量 X ~ N 0, 1 ， Y X 2 1 ，試求隨機(jī)變量 Y 的密度函 數(shù)． 四、（ 8 分）設(shè) X 的密度函數(shù)為 f ( x ) 1 e x , x ( , ) 2 ① 求 X 的數(shù)學(xué)期望 E( X ) 和方差 D( X ) ； ② 求 X 與 X 的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)，并討論 X 與 X 是否相關(guān)？ 五、（本題滿分 8 分）二維隨機(jī)變量（ X ， Y ）的概率密度為 Ae ( x 2 y ) , x 0, y 0 f ( x, y ) 其他 0, 求：（ 1）系數(shù) A ；（ 2） X ， Y 的邊緣密度函數(shù)； （ 3）問(wèn) X ，Y 是否獨(dú)立。 六、（本題滿分 12 分） 設(shè)總體 X ~ N ， 2 ，其中 是已知參數(shù)， 2 0 是未知 參數(shù)． X 1， X 2， ， X n 是從該總體中抽取的一個(gè)樣本， ⑴ . 求未知參數(shù) 2 的極大似然估計(jì)量 ?2 ； ⑵ . 判斷 ?2 是否為未知參數(shù) 2 的無(wú)偏估計(jì)． 七、（本題滿分 8 分） 設(shè)總體 X ~ N , 2 ，其中且 與 2 都未知， ， 2 0 ． 現(xiàn) 從 總 體 X 中 抽 取 容 量 n 16 的 樣 本 觀 測(cè) 值 x1， x2， ， x16 ， 算 出 x 1 16 1 16 xi x 2 6.2022 ，試在置信水平 1 0.95下， 16 i 1 xi 503.75 ， s 15 i 1 求 的置信區(qū)間． （已知： t0.05 15 1.7531 ， t0 .05 16 1.7459 ， t0.025 15 2.1315 ， t0.025 16 2.1199 ）． 八、（本題滿分 8 分） 某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，由以往經(jīng)驗(yàn)知其強(qiáng)力標(biāo)準(zhǔn)差為 7.5 kg 且 強(qiáng)力 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 改 用 新 原 料 后 ， 從 新 產(chǎn) 品 中 抽 取 25 件 作 強(qiáng) 力 試 驗(yàn) ， 算 得 ， 問(wèn)新產(chǎn)品的強(qiáng)力標(biāo)準(zhǔn)差是否有顯著變化 ？ ( 分別 取 和 0.01， 已知 ， ） 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末考試試題參考答案 一、填空題： 1、 2 ； 2、 0.4； 3． 2 , 1 ；4、 2.6； 5、 2 ( n) 9 9 二、選擇題： 1、 C； 2、 D； 3、B ； 4、B ； 5、C 三、 1.解：設(shè) Bi =“取出的零件由第 i 臺(tái)加工 ”(i 1,2) P A P B1 P A B1 P B2 P A B2 2 0.97 1 0.98 0.973 3 3 2.解：由題意知， X 的可能取值為： 0， 1， 2， 3； Y 的可能取值為： 1， 3. 且 1 3 1 1 2 3 P X 1,Y 1 1 1 0,Y 3 ， P X C3 2 2 8 ， 2 8 1 2 3 3 1 2 1 1 P X 2, Y 1 C3 2 2 8 ， P X 3,Y 3 2 8 . 于是，（ 1）（ X ， Y ）的聯(lián)合分布為 X Y 1 3 0 0 1 8 1 3 0 8 2 3 0 8 3 0 1 8 1 （ 2） P Y X P X 0,Y 3 3.解：隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 8 x2 1 f x e 2 x 2 設(shè)隨機(jī)變量 Y 的分布函數(shù)為 FY y ，則有 FY y P Y y P X 2 1 y P X 2 y 1 ① . 如果 y 1 0 ，即 y 1 ，則有 FY y 0 ； ② . 如果 y 1 ，則有 FY y P X 2 y 1 P y 1 X y 1 y 1 x 2 2 y 1 x2 1 e 2 dx e 2 dx 2 2 y 1 0 y 1 2 2 x 即 FY y e 2 dx y 1 2 0 0 y 1 2 y 1 1 e 2 y 1 f Y y FY y 2 2 y 所以， 1 0 y 1 1 y 1 2 fY y 2 e 即 y 1 0  y 1 ． y 1 四、解： ① E ( X ) x 1e x dx 0 2 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )] 2 x x 2 1 e x dx 2 x 2 1 e dx 0 2 0 2 2 ② Cov( X , X ) E ( X X ) E ( X ) E( X ) x x 1 e x dx 0 0 2 所以 X 與 X 不相關(guān) . 五、（本題滿分 10 分） 解：（ 1）由 1 f ( x, y)dxdy 0 0 Ae ( x 2 y ) dxdy A 0 e x dx 0 e 2y dy 1 A 所以 A 2 2 e x （ 2）X 的邊緣密度函數(shù)： f X ( x ) f ( x, y)dy x 0 0, 其他 Y 的邊緣密度函數(shù)： f Y ( y) f ( x , y)dx 2e 2 y y 0 0, 其他 （3）因 f ( x, y) f X ( x) fY ( y) ，所以 X， Y 是獨(dú)立的 六 、 解 ： ⑴ . 當(dāng) 2 0 為 未 知 ， 而 為 已 知 參 數(shù) 時(shí) ， 似 然 函 數(shù) 為 2 2 n 1 n 2 L 2 2 exp xi 2 2 i 1 2 n 2 1 n 2 因而 ln L 2 xi ln 2 2 2 i 1 ln L 2 n 1 n 2 1 0 所以 2 2 2 2 i xi 4 1 解得 21 n xi 2 n i 1 因此， 2 的極大似然估計(jì)量為 ?2 1 n  n X i 2 ． i 1 ⑵ . 因?yàn)?X i ~ N ， 2 i 1， 2， ， n ， 所以 X i ~ N 0， 1 i ， ， ， n ， 1 2 所以 E X i 0 ， D X i 2 i 1， 2， ， n ， 所以 E X i 2 E X i 2 2 i 1， 2， ， n D X i 因此， E ? 2 1 n 2 E X i n i 1 1 n X i 2 1 n 2 2 E n n i 1 所以， ?2 1 n 2 2 的無(wú)偏估計(jì) X i 是未知參數(shù) n i 1 七、解：由于正態(tài)總體 N , 2 中期望 與方差 2 都未知，所以所求置信區(qū)間為 X S t n 1 , X S t n 1 ． n 2 n 2 由 0.05， n 16 ，得 0.025 ．查表，得 t0.025 15 2.1315 ． 2 由樣本觀測(cè)值，得 1 16 xi 503.75 1 x ， s 16 i 1 15  16 xi x 2 6.2022 i 1 所以， x s t n 1 503.75 6.2022 2.1315 500.445 ， n 2 16 x s t n 1 503.75 6.2022 2.1315 507.055 ， n 2 16 因此所求置信區(qū)間為 500.445, 507.055 八、解：要檢驗(yàn)的假設(shè)為 ： ； 在 時(shí) ， 故在 時(shí) ，拒絕 認(rèn)為新產(chǎn)品的強(qiáng)力的標(biāo)準(zhǔn)差較原來(lái)的有顯著增大 。 當(dāng) 時(shí) ， 故 在 下 接 受 ，認(rèn)為新產(chǎn)品的強(qiáng)力的標(biāo)準(zhǔn)差與原來(lái)的顯著差異。 演講稿 尊敬的老師們，同學(xué)們下午好： 我是來(lái)自 10 級(jí)經(jīng)濟(jì)學(xué)（ 2）班的學(xué)習(xí)委，我叫張盼盼，很榮幸有這次機(jī)會(huì)和大家一起交流擔(dān)任學(xué)習(xí)委員這一職務(wù)的經(jīng)驗(yàn)。 轉(zhuǎn)眼間大學(xué)生活已經(jīng)過(guò)了一年多，在這一年多的時(shí)間里，我一直擔(dān)任著學(xué)習(xí)委員這一職務(wù)。回望這一年多，自己走過(guò)的路，留下的或深或淺的足跡，不僅充滿了歡愉，也充滿了淡淡的苦澀。一年多的工作，讓我學(xué)到了很多很多， 下面將自己的工作經(jīng)驗(yàn)和大家一起分享。 學(xué)習(xí)委員是班上的一個(gè)重要職位，在我當(dāng)初當(dāng)上它的時(shí) 候，我就在想一定不要辜負(fù)老師及同學(xué)們我的信任和支持， 一定要把工作做好。要認(rèn)真負(fù)責(zé)，態(tài)度踏實(shí)，要有一定的組織，領(lǐng)導(dǎo)，執(zhí)行能力，并且做事情要公平， 公正，公開，積極落實(shí)學(xué)校學(xué)院的具體工作。作為一名合格的學(xué)習(xí)委員， 要收集學(xué)生對(duì)老師的意見和老師的教學(xué)動(dòng)態(tài)。在很多情況下，老師無(wú)法和那么多學(xué)生直接打交道，很多老師也無(wú)暇顧及那么多的學(xué)生， 特別是大家剛進(jìn)入大學(xué)， 很多人一時(shí)還不適應(yīng)老師的教學(xué)模式。 學(xué)習(xí)委員是老師與學(xué)生之間溝通的一個(gè)橋梁， 學(xué)習(xí)委員要及時(shí)地向老師提出同學(xué)們的建議和疑問(wèn)， 熟悉老師對(duì)學(xué)生的基本要求。再次， 學(xué)習(xí)委員在學(xué)習(xí)上要做好模范帶頭作用，要有優(yōu)異的成績(jī)，當(dāng)同學(xué)們向我提出問(wèn)題時(shí)，基本上給同學(xué)一個(gè)正確的回復(fù)。 總之，在一學(xué)年的工作之中，我懂得如何落實(shí)各項(xiàng)工作，如何和班委有效地分工合作， 如何和同學(xué)溝通交流并且提高大家的學(xué)習(xí)積 極性。當(dāng)然，我的工作還存在著很多不足之處。比日：有的時(shí)候得不到同學(xué)們的響應(yīng)， 同學(xué)們不積極主動(dòng)支持我的工作； 在收集同學(xué)們對(duì)自己工作意見方面做得不夠， 有些事情做錯(cuò)了，沒(méi)有周圍同學(xué)的提醒，自己也沒(méi)有發(fā)覺(jué)等等。 最嚴(yán)重的一次是， 我沒(méi)有把英語(yǔ)四六級(jí)報(bào)名的時(shí)間，地點(diǎn)通知到位，導(dǎo)致我們班有 4 名同學(xué)錯(cuò)過(guò)報(bào)名的時(shí)間。這次事使我懂得了做事要腳踏實(shí)地，不能馬虎。 在這次的交流會(huì)中，我希望大家可以從中吸取一些好的經(jīng)驗(yàn)，帶動(dòng)本班級(jí)的學(xué)習(xí)風(fēng)氣， 同時(shí)也相信大家在大學(xué)畢業(yè)后找到好的工作。謝謝大家！