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1、第三章第三章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布1 二維隨機變量二維隨機變量 在某些實際問題中在某些實際問題中,往往需要同時用兩個或兩個以上的往往需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述試驗的結(jié)果隨機變量來描述試驗的結(jié)果,例如某地區(qū)對兒童進行抽查例如某地區(qū)對兒童進行抽查身體身體,測量被抽兒童的身高測量被抽兒童的身高H和體重和體重W,這里樣本空間這里樣本空間S=e=某地區(qū)的全部兒童某地區(qū)的全部兒童,而而H(e)和和W(e)是定義在是定義在S上的兩上的兩個隨機變量個隨機變量.1.二維二維r.v.定義定義:設(shè)設(shè)E是一個隨機試驗是一個隨機試驗,樣本空間是樣本空間是 S=e,設(shè)設(shè)X=X(e)和和Y
2、=Y(e)是定義在是定義在S上的上的r.v.,由由它們構(gòu)成的一個向量它們構(gòu)成的一個向量(X,Y),叫做叫做二維二維r.v.注注:二維二維r.v.(X,Y)的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與X和和Y有關(guān)有關(guān),而且還而且還 依賴于這兩個依賴于這兩個r.v.的相互關(guān)系的相互關(guān)系.如何描述二維如何描述二維r.v.(X,Y)的統(tǒng)計規(guī)律的統(tǒng)計規(guī)律?首先可用分布函數(shù)首先可用分布函數(shù).2.二維二維r.v.(聯(lián)合聯(lián)合)分布函數(shù)分布函數(shù):圖圖2二維二維r.v.的分布函數(shù)的基本性質(zhì)與一維的分布函數(shù)的基本性質(zhì)與一維r.v.的分布函的分布函數(shù)數(shù)F(x)的性質(zhì)類似的性質(zhì)類似.若將若將(X,Y)看成平面上隨機點的坐標看成平面上隨機點
3、的坐標,則分布函數(shù)則分布函數(shù)F(x,y)的值為的值為(X,Y)落在陰影部分的概率落在陰影部分的概率(如圖如圖1)圖圖13.下面分別討論二維離散型和連續(xù)型下面分別討論二維離散型和連續(xù)型r.v.(一一)二維離散型二維離散型r.v.例例1.設(shè)設(shè)r.v.X在在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取值四個整數(shù)中等可能地取值,r.v.Y則在則在1X中等可能地取一整數(shù)中等可能地取一整數(shù),試求試求(X,Y)的的分布律分布律.Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16X(二二)二維連續(xù)型二維連續(xù)型r.v.注
4、注:關(guān)于二維關(guān)于二維r.v.的定義的定義,分布函分布函數(shù)及其性質(zhì)數(shù)及其性質(zhì),二維離散型二維離散型r.v.連續(xù)連續(xù)型型r.v.等概念不難推廣到等概念不難推廣到n(n2)維維r.v.的情況的情況.2.邊緣分布邊緣分布 一、一、邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)：二、二、邊緣分布律邊緣分布律：例例1(續(xù)續(xù))Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 piX1/41/41/41/425/4813/487/483/481三、三、邊緣概率密度邊緣概率密度:注注:由二維隨機變量由二維隨機變量(X,Y)的
5、概率分布的概率分布(X,Y的聯(lián)合分的聯(lián)合分布可唯一地確定布可唯一地確定X和和Y的邊緣分布的邊緣分布,反之反之,若已知若已知X,Y的邊緣分布的邊緣分布,并不一定能確定它們的聯(lián)合分布并不一定能確定它們的聯(lián)合分布.3.條件分布條件分布 一、一、二維離散型二維離散型r.v.的情況的情況:例例1.設(shè)設(shè)(X,Y)的分布律為的分布律為:Y 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 求在求在X=1時時Y的條件分布律的條件分布律.X用表格形式表示為用表格形式表示為:k 0 1 2 P
6、Y=k|X=1 2/3 2/9 1/9 例例2 一射擊手進行射擊一射擊手進行射擊,擊中目標的概率為擊中目標的概率為p(0p1),射擊到擊中目標兩次為止射擊到擊中目標兩次為止,設(shè)以設(shè)以X表示首次擊中目標表示首次擊中目標進行的射擊次數(shù)進行的射擊次數(shù),以以Y表示總共進行的射擊次數(shù)表示總共進行的射擊次數(shù),試求試求X和和Y的聯(lián)合分布律和條件分布律的聯(lián)合分布律和條件分布律.二、二、二維連續(xù)型二維連續(xù)型r.v.首先引入條件分布函數(shù)首先引入條件分布函數(shù),然后得到條件概率密度然后得到條件概率密度.進一步可以化為進一步可以化為:進一步可以化為進一步可以化為:例例3.設(shè)數(shù)設(shè)數(shù)X在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上隨機地取值上隨
7、機地取值,當觀察到當觀察到X=x(0 x1)時時,數(shù)數(shù)Y在區(qū)間在區(qū)間(x,1)上隨機地取值上隨機地取值,求求Y的概率密度的概率密度.4.4.相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量 由兩個事件相互獨立的概念可引出兩個隨機變量由兩個事件相互獨立的概念可引出兩個隨機變量相互獨立的概念相互獨立的概念.若若P(AB)=P(A)P(B),則稱則稱事件事件A,B相互獨立相互獨立.2.等價定義等價定義:例例:設(shè)設(shè)X和和Y都服從參數(shù)都服從參數(shù)=1的指數(shù)分布且相互獨立的指數(shù)分布且相互獨立,試求試求PX+Y1.3.命題：設(shè)命題：設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布,則則X,Y相互獨相互獨立的充要條件是立的充要
8、條件是 =0.所以所以:=0.4.一個重要定理一個重要定理:設(shè)設(shè)(X1,X2,Xm)和和(Y1,Y2,Yn)相互獨立相互獨立,則則Xi(i=1,2,m)和和Yj(j=1,2,n)相互獨立相互獨立,又若又若h,g是連續(xù)函是連續(xù)函數(shù)數(shù),則則h(x)和和g(y)相互獨立相互獨立.5.邊緣分布及相互獨立性的概念可以推廣到邊緣分布及相互獨立性的概念可以推廣到n維維r.v.的情況的情況.5.兩個兩個r.v.的函數(shù)的分布的函數(shù)的分布(一一)和和(Z=X+Y)的分布的分布:已知已知(X,Y)的聯(lián)合密度是的聯(lián)合密度是f(x,y),求求Z=X+Y的分布的分布密度密度.結(jié)論結(jié)論:若若X,Y是連續(xù)型是連續(xù)型r.v.且
9、且X與與Y相互獨立相互獨立,則則X+Y也是連續(xù)型也是連續(xù)型r.v.且它的密度函數(shù)為且它的密度函數(shù)為X與與Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)的卷積的卷積.例例1.(P86)設(shè)設(shè)X和和Y相互獨立相互獨立,且都服從且都服從N(0,1),求求:Z=X+Y的分布密度的分布密度.結(jié)論結(jié)論:(二二)M=max(X,Y)及及m=min(X,Y)的分布的分布:設(shè)設(shè)X,Y相互獨立相互獨立,分布函數(shù)分別為分布函數(shù)分別為FX(x)和和FY(y).首先求首先求M=max(X,Y)的分布的分布.推廣推廣:設(shè)設(shè)X1,X2,Xn相互獨立相互獨立,分布函數(shù)分別為分布函數(shù)分別為F1(x),F2(x),Fn(x),則則M=max(X1,X2,
10、Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FM(z)=F1(z)F2(z)Fn(z)N=min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為FN(z)=1-(1-F1(z)(1-F2(z)(1-Fn(z)特別地特別地,當當X1,X2,Xni.i.d.時時,設(shè)分布函數(shù)為設(shè)分布函數(shù)為F(x),(四四)利用利用“分布函數(shù)法分布函數(shù)法”導(dǎo)出兩導(dǎo)出兩r.v.的和的和,商等的分布商等的分布 函數(shù)或密度函數(shù)的公式函數(shù)或密度函數(shù)的公式,其其要點要點為為:(五五)對于離散型對于離散型r.v.的函數(shù)的分布的函數(shù)的分布:設(shè)設(shè)X,Y是離散型是離散型r.v.且相互獨立且相互獨立,其分布律分別為其分布律分別為:PX=i=pi,i=0
11、,1,2,3,PY=j=qj,j=0,1,2,3,求求Z=X+Y的分布律的分布律.解解:PZ=i=PX+Y=i(X與與Y相互獨立相互獨立)于是有于是有:這就是這就是Z=X+Y的分布律的分布律.例例 設(shè)設(shè)X,Y是相互獨立的是相互獨立的r.v.,分別服從參數(shù)為分別服從參數(shù)為 1,2的泊松分布的泊松分布,試證明試證明Z=X+Y也服從泊松分布也服從泊松分布.證明證明:已知已知由上式知由上式知,PZ=i從而證明從而證明Z=X+Y也服也服泊松泊松分布分布.第三章第三章 習(xí)題課習(xí)題課一一.主要內(nèi)容主要內(nèi)容：(1)二維二維r.v.的分布函數(shù)的分布函數(shù),離散型離散型r.v.的聯(lián)合的聯(lián)合 分布分布,連續(xù)型連續(xù)型r
12、.v.的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度.(2)邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù);邊緣分布律邊緣分布律;邊緣概率密度邊緣概率密度.(3)條件分布律條件分布律;條件概率密度條件概率密度.(4)隨機變量的相互獨立隨機變量的相互獨立.(5)兩個兩個r.v.函數(shù)的分布函數(shù)的分布.1.設(shè)某人從設(shè)某人從1,2,3,4四個數(shù)中依次取出兩個數(shù)四個數(shù)中依次取出兩個數(shù),記記X為第一次所取出的數(shù)為第一次所取出的數(shù),Y為第二次所取出的數(shù)為第二次所取出的數(shù),若若第一次取后不放回第一次取后不放回,求求X和和Y的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律.二二.練習(xí)題練習(xí)題:1.設(shè)某人從設(shè)某人從1,2,3,4四個數(shù)中依次取出兩個數(shù)四個數(shù)中依次取出兩個數(shù),記
13、記X為第一次所取出的數(shù)為第一次所取出的數(shù),Y為第二次所取出為第二次所取出的數(shù)的數(shù),若第一次取后不放回若第一次取后不放回,求求X和和Y的聯(lián)合分的聯(lián)合分布律布律.=PX=iPY=j|X=i6.設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X與與Y的分布列分別為的分布列分別為X 0 1 2 Y 0 1pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3且且X與與Y相互獨立相互獨立,求求:(1)Z=X+Y的分布列的分布列;(2)(X,Y)的聯(lián)合的聯(lián)合分布列分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).6.設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X與與Y的分布列分別為的分布列分別為X 0 1 2 Y 0 1p
14、k 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3且且X與與Y相互獨立相互獨立,求求:(1)Z=X+Y的分布列的分布列;(2)(X,Y)的聯(lián)合分布列的聯(lián)合分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).解解:Z 0 1 2 3 pk1/12PZ=0=PX=0,Y=0=PX=0PY=0=1/6.1/6PZ=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=11/24.11/24PZ=2=PX=1,Y=1+PX=2,Y=0=7/24.7/24PZ=3=PX=2,Y=1=1/12.(2)Y 0 1 0 1/6 1/3 1 1/8 1/4 2 1/24 1/12x(3)M 0 1 2 pkPM=0=PX=0,Y=0=1/6;1/6PM=1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=1/4+1/8+1/3=17/24;17/24PM=2=PX=2,Y=0+PX=2,Y=1=1/8;1/8(4)N 0 1 pkPN=0=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1+PX=1,Y=0+PX=2,Y=0=1/6+1/3+1/8+1/24=2/3;2/3PN=1=PX=1,Y=1+PX=2,Y=1=1/31/3復(fù)習(xí)題（三）復(fù)習(xí)題（三）第第4題題
概率論：第三章 多維隨機變量及其分布
