周道祥彈性力學(xué) 第三章 (2)

逆解法框圖逆解法框圖由邊界條件選擇某應(yīng)力的函數(shù)式Y(jié)ES求應(yīng)力分量NO滿(mǎn)足邊界條件嗎?YES結(jié)論NO積分求函數(shù) 3-4 3-4 簡(jiǎn)支梁受均布荷載簡(jiǎn)支梁受均布荷載解：用半逆解法解：用半逆解法q0 xyLL矩形截面簡(jiǎn)支梁，體矩形截面簡(jiǎn)支梁，體力不計(jì)，求應(yīng)力分量力不計(jì)，求應(yīng)力分量由材力知由材力知：（1 1）根據(jù)上、下邊界根據(jù)上、下邊界處的法向分布面力，假處的法向分布面力，假設(shè)設(shè) 為某種函數(shù)為某種函數(shù)；并；并求求應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)；由上、下邊界的面力：由上、下邊界的面力：由于由于q q沿沿x x軸不變化，與軸不變化，與x x無(wú)關(guān)，故可假設(shè)無(wú)關(guān)，故可假設(shè)也與也與x x無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)則則其中：其中：為待定函數(shù)為待定函數(shù)（a）（2-24）容容代入（2-24）容容（2 2）必須必須滿(mǎn)足相容方程滿(mǎn)足相容方程，據(jù)此求待定函數(shù)據(jù)此求待定函數(shù)（2-24）容容代入（2-24）容容上述方程為上述方程為x x的二次多項(xiàng)式，要求全梁范的二次多項(xiàng)式，要求全梁范圍內(nèi)無(wú)論圍內(nèi)無(wú)論x x取何值均成立，只有：取何值均成立，只有：二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)零次項(xiàng)零次項(xiàng)（1）（2）（3）由（由（1 1）、（）、（2 2）式：）式：由（由（3 3）式）式：故故：（b）（3 3）根據(jù)（）根據(jù)（223223）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量；（c）（d）（e）上述應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡微分方程及相容方程，只上述應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡微分方程及相容方程，只要選擇適當(dāng)?shù)南禂?shù)要選擇適當(dāng)?shù)南禂?shù)A A、BKBK常數(shù)，使所有邊界條常數(shù)，使所有邊界條件滿(mǎn)足，則（件滿(mǎn)足，則（c c）、（d d）、（）、（e e）為正確解答。為正確解答。（3 3）根據(jù)（）根據(jù)（223223）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量；（c）（d）（e）求待定系數(shù)前的觀察與簡(jiǎn)化求待定系數(shù)前的觀察與簡(jiǎn)化對(duì)稱(chēng)分析對(duì)稱(chēng)分析該問(wèn)題：關(guān)于該問(wèn)題：關(guān)于y y軸軸結(jié)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)、荷載對(duì)稱(chēng)構(gòu)對(duì)稱(chēng)、荷載對(duì)稱(chēng)x-xxyo在對(duì)稱(chēng)位置在對(duì)稱(chēng)位置上的單元體上的單元體必具有：必具有：對(duì)稱(chēng)的變形對(duì)稱(chēng)的變形狀態(tài)狀態(tài)對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)AA由上圖可見(jiàn)：由上圖可見(jiàn)：由應(yīng)力分量的正、負(fù)號(hào)規(guī)定可由應(yīng)力分量的正、負(fù)號(hào)規(guī)定可知，對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力狀態(tài)，正應(yīng)力知，對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力狀態(tài)，正應(yīng)力具有相同的符號(hào)，剪應(yīng)力具有具有相同的符號(hào)，剪應(yīng)力具有相反的符號(hào)相反的符號(hào)。故故 x x、y y應(yīng)是應(yīng)是x x的偶函數(shù)（對(duì)稱(chēng)）的偶函數(shù)（對(duì)稱(chēng)）xyxy應(yīng)是應(yīng)是x x的奇函數(shù)（反稱(chēng)）的奇函數(shù)（反稱(chēng)）由（由（222323）可看出應(yīng)力函數(shù)可看出應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為應(yīng)為x的偶函數(shù)的偶函數(shù)。由（由（b b）式式要使要使（x，y）為為x的偶函數(shù)，必須的偶函數(shù)，必須在全梁內(nèi)處處成立在全梁內(nèi)處處成立4 4）檢查應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件）檢查應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件（求待定系數(shù)）（求待定系數(shù)）代回應(yīng)力分量表達(dá)式（代回應(yīng)力分量表達(dá)式（c c）、（）、（d d）、（）、（e e）只要：只要：E=F=G=0qLqLLLy0 xqa a）考察上、下邊界（主邊界）考察上、下邊界（主邊界）上邊界：上邊界：下邊界：下邊界：聯(lián)聯(lián)立求解得：立求解得：故應(yīng)力分量：故應(yīng)力分量：b）再考察左、右邊界（次邊界）再考察左、右邊界（次邊界）由于已考慮了對(duì)稱(chēng)關(guān)系，只需考察一個(gè)邊界由于已考慮了對(duì)稱(chēng)關(guān)系，只需考察一個(gè)邊界（f）（g）（h）由于右邊界上沒(méi)有由于右邊界上沒(méi)有水平面力，要求：水平面力，要求：考察右邊界考察右邊界顯然不能滿(mǎn)足顯然不能滿(mǎn)足即：在即：在 內(nèi)內(nèi)根據(jù)圣維南原理，可采用等效力系代換做到近似滿(mǎn)足根據(jù)圣維南原理，可采用等效力系代換做到近似滿(mǎn)足qLqLLLy0 xq只須要求只須要求：將（將（f）式代入（式代入（4）（4）（5）積分后：積分后：K=0K=0將（將（f）式代入（式代入（4）積分后：積分后：由于切向面力由于切向面力qLqL的分布規(guī)律未知，故根據(jù)圣維南的分布規(guī)律未知，故根據(jù)圣維南原理，采用等效代換，做到近似滿(mǎn)足，只要原理，采用等效代換，做到近似滿(mǎn)足，只要將（將（h）式代入式代入該式自然滿(mǎn)足該式自然滿(mǎn)足（取負(fù)號(hào)是由于面力取負(fù)號(hào)是由于面力qL與與y相反）相反）K=0將所求代回（f）、（g）、（h）應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：（36）注意到材力的表達(dá)方式：注意到材力的表達(dá)方式：5）通過(guò)幾何方程、物理方程及兩端位移約束條件，）通過(guò)幾何方程、物理方程及兩端位移約束條件，可確定位移分量可確定位移分量撓曲線(xiàn)方程：撓曲線(xiàn)方程：與材力的結(jié)果比較：材力解彈力附加項(xiàng)（修正項(xiàng)）與材力的結(jié)果比較與材力的結(jié)果比較材力解材力解彈力附加項(xiàng)（修正項(xiàng)）彈力附加項(xiàng)（修正項(xiàng)）qq材力彈力0.10.20.30.40.50.2671.0672.44.2676.6671.3305.27711.71920.46031.2492.289.1220.5236.48570.0960.7682.5926.14412表中可看出：當(dāng)表中可看出：當(dāng)時(shí)材力解足夠精確；當(dāng)時(shí)材力解足夠精確；當(dāng)時(shí)時(shí) y，v附附已不可忽視，其解答應(yīng)由彈力按多項(xiàng)式求解。當(dāng)已不可忽視，其解答應(yīng)由彈力按多項(xiàng)式求解。當(dāng)時(shí)彈力多項(xiàng)式解也已不準(zhǔn)確（因兩邊用了等效條件）。時(shí)彈力多項(xiàng)式解也已不準(zhǔn)確（因兩邊用了等效條件）。作業(yè)：作業(yè)：3-93-9，3-103-10Thank Everybody!