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2019-2020年高考數(shù)學重點難點講解 求解函數(shù)解析式教案 舊人教版
求解函數(shù)解析式是高考重點考查內容之一，需引起重視.本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎上，掌握求函數(shù)解析式的幾種方法，并形成能力，并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力.
●難點磁場
(★★★★)已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1).
●案例探究
［例1］(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表達式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達式.
命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念中的三要素：定義域、值域和對應法則，以及計算能力和綜合運用知識的能力.屬★★★★題目.
知識依托：利用函數(shù)基礎知識，特別是對“f”的理解，用好等價轉化，注意定義域.
錯解分析：本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價轉化易出錯.
技巧與方法：(1)用換元法；(2)用待定系數(shù)法.
解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0
1,x>0;01時f(x)等于( )
A.f(x)=(x+3)2－1 B.f(x)=(x－3)2－1
C.f(x)=(x－3)2+1 D.f(x)=(x－1)2－1
二、填空題
3.(★★★★★)已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式為_________.
4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,則f(x)=_________.
三、解答題
5.(★★★★)設二次函數(shù)f(x)滿足f(x－2)=f(－x－2),且其圖象在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為，求f(x)的解析式.
6.(★★★★)設f(x)是在(－∞,+∞)上以4為周期的函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間［2，3］上時，f(x)=－2(x－3)2+4，求當x∈［1,2］時f(x)的解析式.若矩形ABCD的兩個頂點A、B在x軸上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的圖象上，求這個矩形面積的最大值.
7.(★★★★★)動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)順次經過B、C、D再回到A，設x表示P點的行程，f(x)表示PA的長，g(x)表示△ABP的面積，求f(x)和g(x),并作出g(x)的簡圖.
8.(★★★★★)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函數(shù)，在［1，4］上是二次函數(shù)，且在x=2時，函數(shù)取得最小值，最小值為－5.
(1)證明：f(1)+f(4)=0;
(2)試求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；
(3)試求y=f(x)在［4，9］上的解析式.
參考答案
難點磁場
解法一：(換元法）
∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1
令u=2－cosx(1≤u≤3),則cosx=2－u
∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3)
∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4)
解法二：(配湊法）
f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5
∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4).
殲滅難點訓練
一、1.解析：∵f(x)=.
∴f［f(x)］==x,整理比較系數(shù)得m=3.
答案：A
2.解析：利用數(shù)形結合，x≤1時，f(x)=(x+1)2－1的對稱軸為x=－1,最小值為－1，又y=f(x)關于x=1對稱，故在x>1上，f(x)的對稱軸為x=3且最小值為－1.
答案：B
二、3.解析：由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3.由上面兩式聯(lián)立消去f()可得f(x)=－x.
答案：f(x)= －x
4.解析：∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,
∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+()bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1.
故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,∴f(x)=x2+x.
答案：x2+x
三、5.解：利用待定系數(shù)法，設f(x)=ax2+bx+c,然后找關于a、b、c的方程組求解，f(x)=.
6.解：(1)設x∈［1,2］,則4－x∈［2,3］,∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)=f(－x),又因為4是f(x)的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4.
(2)設x∈［0，1］，則2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,又由(1）可知x∈［0,2］時，f(x)=－2(x－1)2+4,設A、B坐標分別為(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1,則|AB|=2t,|AD|=－2t2+4,S矩形=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令S矩=S，∴=2t2(2－t2)(2－t2)≤()3=,當且僅當2t2=2－t2,即t=時取等號.∴S2≤即S≤,∴Smax=.
7.解：(1)如原題圖，當P在AB上運動時，PA=x;當P點在BC上運動時，由Rt△ABD可得PA=;當P點在CD上運動時，由Rt△ADP易得PA=;當P點在DA上運動時，PA=4－x,故f(x)的表達式為：
f(x)=
(2)由于P點在折線ABCD上不同位置時，△ABP的形狀各有特征，計算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對P點的位置進行分類求解.
如原題圖，當P在線段AB上時，△ABP的面積S=0；當P在BC上時，即1＜x≤2時，S△ABP=ABBP=(x－1）；當P在CD上時，即()2＜x≤3時，S△ABP=11=；當P在DA上時，即3＜x≤4時，S△ABP=(4－x).
故g(x)=
8.(1)證明：∵y=f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0.
(2)解：當x∈［1,4］時，由題()意，可設f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).
(3)解：∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函數(shù)，∴可設f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1－2)2－5=－3,又f(1)=k1=k,∴k=－3.∴當0≤x≤1時，f(x)=－3x,當－1≤x＜0時，f(x)=－3x,當4≤x≤6時，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)=
－3(x－5)=－3x+15,當6＜x≤9時，1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5.∴f(x)=.
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