2019-2020年高考數學重點難點講解 求解函數解析式教案 舊人教版.doc

2019-2020年高考數學重點難點講解 求解函數解析式教案 舊人教版 求解函數解析式是高考重點考查內容之一，需引起重視.本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數定義的基礎上，掌握求函數解析式的幾種方法，并形成能力，并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力. ●難點磁場 (★★★★)已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1). ●案例探究 ［例1］(1)已知函數f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表達式. (2)已知二次函數f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達式. 命題意圖：本題主要考查函數概念中的三要素：定義域、值域和對應法則，以及計算能力和綜合運用知識的能力.屬★★★★題目. 知識依托：利用函數基礎知識，特別是對“f”的理解，用好等價轉化，注意定義域. 錯解分析：本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價轉化易出錯. 技巧與方法：(1)用換元法；(2)用待定系數法. 解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),則x=at. 因此f(t)= (at－a－t) ∴f(x)= (ax－a－x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0) (2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c 得() 并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同時等于1或－1，所以所求函數為：f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1. ［例2］設f(x)為定義在R上的偶函數，當x≤－1時，y=f(x)的圖象是經過點(－2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點在(0，2)，且過點(－1，1)的一段拋物線，試寫出函數f(x)的表達式，并在圖中作出其圖象. 命題意圖：本題主要考查函數基本知識、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對分段函數的分析需要較強的思維能力.因此，分段函數是今后高考的熱點題型.屬★★★★題目. 知識依托：函數的奇偶性是橋梁，分類討論是關鍵，待定系數求出曲線方程是主線. 錯解分析：本題對思維能力要求很高，分類討論、綜合運用知識易發(fā)生混亂. 技巧與方法：合理進行分類，并運用待定系數法求函數表達式. 解：(1)當x≤－1時，設f(x)=x+b ∵射線過點(－2，0).∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2. (2)當－1<x<1時，設f(x)=ax2+2. ∵拋物線過點(－1，1)，∴1=a(－1)2+2,即a=－1 ∴f(x)=－x2+2. (3)當x≥1時，f(x)=－x+2 綜上可知：f(x)=作圖由讀者來完成. ●錦囊妙計 本難點所涉及的問題及解決方法主要有： 1.待定系數法，如果已知()函數解析式的構造時，用待定系數法； 2.換元法或配湊法，已知復合函數f［g(x)］的表達式可用換元法，當表達式較簡單時也可用配湊法； 3.消參法，若已知抽象的函數表達式，則用解方程組消參的方法求解f(x); 另外，在解題過程中經常用到分類討論、等價轉化等數學思想方法. ●殲滅難點訓練 一、選擇題 1.(★★★★)若函數f(x)=(x≠)在定義域內恒有f［f(x)］=x,則m等于( ) A.3 B. C.－ D.－3 2.(★★★★★)設函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，在x≤1時，f(x)=(x+1)2－1,則x>1時f(x)等于( ) A.f(x)=(x+3)2－1 B.f(x)=(x－3)2－1 C.f(x)=(x－3)2+1 D.f(x)=(x－1)2－1 二、填空題 3.(★★★★★)已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式為_________. 4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,則f(x)=_________. 三、解答題 5.(★★★★)設二次函數f(x)滿足f(x－2)=f(－x－2),且其圖象在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為，求f(x)的解析式. 6.(★★★★)設f(x)是在(－∞,+∞)上以4為周期的函數，且f(x)是偶函數，在區(qū)間［2，3］上時，f(x)=－2(x－3)2+4，求當x∈［1,2］時f(x)的解析式.若矩形ABCD的兩個頂點A、B在x軸上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的圖象上，求這個矩形面積的最大值. 7.(★★★★★)動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)順次經過B、C、D再回到A，設x表示P點的行程，f(x)表示PA的長，g(x)表示△ABP的面積，求f(x)和g(x),并作出g(x)的簡圖. 8.(★★★★★)已知函數y=f(x)是定義在R上的周期函數，周期T=5，函數y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函數，在［1，4］上是二次函數，且在x=2時，函數取得最小值，最小值為－5. (1)證明：f(1)+f(4)=0; (2)試求y=f(x),x∈［1,4］的解析式； (3)試求y=f(x)在［4，9］上的解析式. 參考答案 難點磁場 解法一：(換元法） ∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1 令u=2－cosx(1≤u≤3),則cosx=2－u ∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3) ∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4) 解法二：(配湊法） f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5 ∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4). 殲滅難點訓練 一、1.解析：∵f(x)=. ∴f［f(x)］==x,整理比較系數得m=3. 答案：A 2.解析：利用數形結合，x≤1時，f(x)=(x+1)2－1的對稱軸為x=－1,最小值為－1，又y=f(x)關于x=1對稱，故在x>1上，f(x)的對稱軸為x=3且最小值為－1. 答案：B 二、3.解析：由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3.由上面兩式聯(lián)立消去f()可得f(x)=－x. 答案：f(x)= －x 4.解析：∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1, ∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+()bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1. 故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,∴f(x)=x2+x. 答案：x2+x 三、5.解：利用待定系數法，設f(x)=ax2+bx+c,然后找關于a、b、c的方程組求解，f(x)=. 6.解：(1)設x∈［1,2］,則4－x∈［2,3］,∵f(x)是偶函數，∴f(x)=f(－x),又因為4是f(x)的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4. (2)設x∈［0，1］，則2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,又由(1）可知x∈［0,2］時，f(x)=－2(x－1)2+4,設A、B坐標分別為(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1,則|AB|=2t,|AD|=－2t2+4,S矩形=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令S矩=S，∴=2t2(2－t2)(2－t2)≤()3=,當且僅當2t2=2－t2,即t=時取等號.∴S2≤即S≤,∴Smax=. 7.解：(1)如原題圖，當P在AB上運動時，PA=x;當P點在BC上運動時，由Rt△ABD可得PA=;當P點在CD上運動時，由Rt△ADP易得PA=;當P點在DA上運動時，PA=4－x,故f(x)的表達式為： f(x)= (2)由于P點在折線ABCD上不同位置時，△ABP的形狀各有特征，計算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對P點的位置進行分類求解. 如原題圖，當P在線段AB上時，△ABP的面積S=0；當P在BC上時，即1＜x≤2時，S△ABP=ABBP=(x－1）；當P在CD上時，即()2＜x≤3時，S△ABP=11=；當P在DA上時，即3＜x≤4時，S△ABP=(4－x). 故g(x)= 8.(1)證明：∵y=f(x)是以5為周期的周期函數，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解：當x∈［1,4］時，由題()意，可設f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4). (3)解：∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函數，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函數，∴可設f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1－2)2－5=－3,又f(1)=k1=k,∴k=－3.∴當0≤x≤1時，f(x)=－3x,當－1≤x＜0時，f(x)=－3x,當4≤x≤6時，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)= －3(x－5)=－3x+15,當6＜x≤9時，1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5.∴f(x)=.