初一數(shù)學(xué)競賽教程含例題練習(xí)及答案⑺ 立體圖形

初一數(shù)學(xué)競賽講座 第7講 立體圖形 　　空間形體的想象能力是小學(xué)生的一種重要的數(shù)學(xué)能力，而立體圖形的學(xué)習(xí)對培養(yǎng)這種能力十分有效。我們雖然在課本上已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡單的立體圖形，如正方體、長方體、圓柱體、圓錐體，但有關(guān)立體圖形的概念還需要深化，空間想象 能力還需要提高。 　　將空間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成平面的位置關(guān)系來處理，是解決立體圖形問題的一種常用思路。 一、立體圖形的表面積和體積計算 　　例1 一個圓柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是72cm2，在這個杯中放進棱長6cm的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊，這時水面高多少厘米？ 　　解：水的體積為722.5=180（cm3），放入鐵塊后可以將水看做是底面積為72-66=32（cm2）的柱體，所以它的高為18032=5（cm）。 　　例2 下圖表示一個正方體，它的棱長為4cm，在它的 上下、前后、左右的正中位置各挖去一個棱長為1cm的正 方體，問：此圖的表面積是多少？ 分析：正方體有6個面，而每個面中間有一個正方形 的孔，在計算時要減去小正方形的面積。各面又挖去一個 小正方體，這時要考慮兩頭小正方體是否接通，這與表面 積有關(guān)系。由于大正方體的棱長為4cm，而小正方體的棱 長為1cm，所以沒有接通。每個小正方體孔共有5個面，在計算表面積時都要考慮。 　　解：大正方體每個面的面積為44-11=15（cm2）， 　　6個面的面積和為156=90（cm2）。 　　小正方體的每個面的面積為11=1（cm2）， 　　5個面的面積和為15=5（cm2）， 　　6個小正方體孔的表面積之和為56=30（cm2）， 　　因此所求的表面積為90＋30=120（cm2）。 　　想一想，當(dāng)挖去的小正方體的棱長是2cm時，表面積是多少？請同學(xué)們把它計算出來。 　　例3 正方體的每一條棱長是一個一位數(shù)，表面的每個正方形面積是一個兩位數(shù)，整個表面積是一個三位數(shù)。而且若將正方形面積的兩位數(shù)中兩個數(shù)碼調(diào)過來則恰好是三位數(shù)的十位與個位上的數(shù)碼。求這個正方體的體積。 　　解：根據(jù)“正方體的每一條棱長是一個一位數(shù)，表面的每個正方形面積是一個兩位數(shù)，整個表面積是一個三位數(shù)”的條件，可知正方體的棱長有5，6，7，8，9這五種可能性。 根據(jù)“將正方形面積的 兩位數(shù)中兩個數(shù)碼調(diào)過來恰 好是三位數(shù)的十位上與個位 上的數(shù)碼”，可知這個正方 體的棱長是7。如右表： 　　因此這個正方體的體積是777=343。 　　例4 一個長、寬和高分別為21cm，15cm和12cm的長方體，現(xiàn)從它的上面盡可能大地切下一個正方體，然后從剩余的部分再盡可能大地切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？ 　　解：根據(jù)長方體的長、寬和高分別為21cm，15cm和12cm的條件，可知第一次切下盡可能大的正方體的棱長是12cm，其體積是121212=1728（cm3）。 　　這時剩余立體圖形的底面形狀如圖1，其高是12cm。這樣，第二次切下盡可能大的正方體的棱長是9cm，其體積是999=729（cm3）。 　　這時剩余立體圖形可分割為兩部分：一部分的底面形狀如圖2，高是12cm；另一部分的底面形狀如圖3，高是3cm。這樣，第三次切下盡可能大的正方體的棱長是6cm，其體積是666=216（cm3）。 　　因此，剩下的體積是211512-（123＋93＋63）=3780-2673=1107（cm3）。 　　說明：如果手頭有一個泥塑的長方體和小刀，那么做出這道題并不難。但實際上，我們并沒有依賴于具體的模型和工具，這就是想象力的作用。我們正是在原有感性經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，想象出切割后立體的形狀，并通過它們各個側(cè)面的形狀和大小表示出來。因此，對一個立體圖形，應(yīng)該盡可能地想到它的原型。 例5右圖是一個長27cm，寬8cm，高8cm的長方 體?，F(xiàn)將它分為4部分，然后將這4部分重新組拼， 能重組為一個棱長為12cm的正方體。請問該怎么分？ 解：重組成的正方體的棱長是12cm，而已知長方 體的寬是8cm，所以要把寬增加4cm， 為此可按右圖1中的粗線分開，分開 重組成圖2的形狀；圖2的高是8cm， 也應(yīng)增加4cm，為此可按圖2中的虛 線分開，分開后重組成圖3的形狀。 圖3就是所組成的棱長為12cm的正方 體。 說明：這里有一個樸素的思想，就 是設(shè)法把不足12cm的寬和高補成12cm 的棱長，同時按照某種對稱的方式分割。 在解關(guān)于立體圖形的問題時，需要 有較豐富的想象力，要能把平面圖形在 頭腦中“立”起來，另外還應(yīng)有一定的作圖本領(lǐng)和看圖能力。 例6 雨嘩嘩地不停地下著，如在雨地里放一個如右圖那樣的長方體的容器（單位：厘米），雨水將它下滿要用1時。有下列（1）～（5）不同的容器，雨水下滿各需多長時間？ 　　 解：根據(jù)題意知雨均勻地下， 即單位面積內(nèi)的降雨量相同。所以 雨水下滿某容器所需的時間與該容 器的容積和接水面（敞開部分）的 面積之比有關(guān)。 　　因為在例圖所示容器中： 需1時接滿，所以 二、立體圖形的側(cè)面展開圖 例7 右圖是一個立體圖形的側(cè)面 展開圖（單位：cm），求這個立體圖 形的表面積和體積。 解：這個立體圖形是一個圓柱的 四分之一（如右上圖），圓柱的底面 半徑為10cm，高為8cm。它的表面積為 　　　 　　 例8 右圖是一個正方體，四邊 形APQC表示用平面截正方體的截 面。請在右下方的展開圖中畫出四 邊形APQC的四條邊。 解：把空間圖形表面的線條畫 在平面展開圖上，只要抓住四邊形 APQC四個頂點所在的位置這個關(guān)鍵， 再進一步確定四邊形的四條邊所在 的平面就可容易地畫出。 （1）考慮到展開圖上有六個頂 點沒有標(biāo)出，可想象將展開圖折成立 體形，并在頂點上標(biāo)出對應(yīng)的符號， 見右圖。 　?。?）根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點所在的點和棱，以及四條邊所在的平面： 　　頂點：A—A，C—C，P在EF邊上，Q在GF邊上。邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。 　?。?）將上面確定的位置標(biāo)在展開圖上，并在對應(yīng)平面上連線。需要注意的是，立體圖上的A，C點在展開圖上有三個，B，D點在展開圖上有二個，所以在標(biāo)點連線時必須注意連線所在的平面。連好線的圖形如右上圖。 例9 如右圖所示，剪一塊硬紙片可以做 成一個多面體的紙模型（沿虛線折，沿實線 粘）。這個多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)的 總和是多少？ 解：從展開圖可以看出，粘合后的多面體 有12個正方形和8個三角形，共20個面。 這個多面體上部的中間是一個正三角形， 這個正三角形的三邊與三個正方形相連，這樣上部共有9個頂點，下部也一樣。因此，多面體的頂點總數(shù)為 92=18（個）。 　　在20個面的邊中，虛線有19條，實線有34條。因為每條虛線表示一條棱，兩條實線表示一條棱，所以多面體的總棱數(shù)為19＋342=36（條）。 綜上所述，多面體的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)之和為20+18＋36＝74。 說明：數(shù)學(xué)家歐拉曾給出一個公式：V＋F-E＝2。公式中的V表示頂點數(shù)，E表示棱數(shù)，F(xiàn)表示面數(shù)。 　　根據(jù)歐拉公式，知道上例多面體的面數(shù)和頂點數(shù)之后，棱數(shù)便可求得： 　　E=V＋F-2=20＋18-2=36（條）。 三、立體圖形的截面與投影 　　例10 用一個平面去截一個正方體，可以得到幾邊形？ 解：如下圖，可得到三角形、四邊形、五邊形和六邊形。 　　例11 一個棱長為6cm的正方體，把它切開成49個小正方體。小正方體的大小不必都相同，而小正方體的棱長以厘米作單位必須是整數(shù)。問：可切出幾種不同尺寸的正方體？每種正方體的個數(shù)各是多少？ 　　解：13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216。 　　如果能切出1個棱長為5cm的正方體，那么其余的只能是棱長為1cm的正體體，共切出小正方體：1＋（63-53）1=92（個）。 　　因為92＞49，所以不可能切出棱長為5cm的正方體。 　　如果能切出1個棱長為4cm的正方體，那么其余的只能是棱長為1cm或2cm的正方體。設(shè)切出棱長為1cm的正方體有a個，切出棱長為2cm的正方體有b個，則有 　　 　　設(shè)切出棱長為1cm的正方體有a個，棱長為2cm的正方體有b個，棱長為3cm的正方體有c個，則 　　解之得a=36，b=9，c=4。 　　所以可切出棱長分別為1cm，2cm和3cm的正方體，其個數(shù)依次為36，9和4。 例12 現(xiàn)有一個棱長 為1cm的正方體，一個長 寬為1cm高為2cm的長方 體，三個長寬為1cm高為 3cm的長方體。右側(cè)圖形 是把這五個圖形合并成某 一立體圖形時，從上面、 前面、側(cè)面所看到的圖形。 試?yán)孟旅嫒齻€圖形把合并成的立體圖形（如上圖）的 樣子畫出來，并求出其表面積。 　　解：立體圖形的形狀如右圖所示。 　　從上面和下面看到的形狀面積都為9cm2，共18cm2； 　　從兩個側(cè)面看到的形狀面積都為7cm2，共14cm2； 　　從前面和后面看到的形狀面積都為6cm2，共12cm2； 　　隱藏著的面積有2cm2。 　　一共有18＋16＋12＋2＝46（cm2）。 練習(xí)7 1．一個長方體水箱，從里面量得長40cm，寬30cm， 深35cm，里面的水深10cm。放進一個棱長20cm的正方體鐵 塊后，水面高多少厘米？ 2．王師傅將木塊刨成橫截面如右圖（單位：cm）那樣 的高40cm的一個棱柱。虛線把橫截面分成大小兩部分，較 大的那部分的面積占整個底面的60％。這個棱柱的體積是多 少立方厘米？ 3．在底面為邊長60cm的正方形的一個長方體的容器里，直立著一根高1m，底面為邊長15cm的正方形的四棱柱鐵棍。這時容器里的水半米深?，F(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24cm，露出水面的四棱柱鐵棍浸濕部分長多少厘米？ 　　4．下列各圖形中，有的是正方體的展開圖，寫出這些圖形的編號。 　 　 5．小玲有兩種不同形狀的紙板，一種是正方形，一種是長方形。正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1∶2。她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒（如右圖），正好將紙板用完。在小玲 所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒 的總數(shù)之比是多少？ 6．請你在下面圖（2）中畫出3種和圖 （1）不一樣的設(shè)計圖，使它們折起來后都 成為下圖所示的長方形盒子（直線段與各棱 交于棱的中點）。 7．在桌面 上擺有一些大小 一樣的正方體木 塊，從正南方向看如下左圖，從正東方向看如下右圖，要擺出這樣的圖形至多用多少塊正方體木塊？至少需要多少塊正方體木塊？ 　　8．有一個正方體，它的6個面被分別涂上了不同的顏色，并且在每個面上至少貼有一張紙條。用不同的方法來擺放這個正方體，并從不同的角度拍下照片。 　?。?）洗出照片后，把所拍攝的面的顏色種類不同的照片全部挑選出來，最多可以選出多少張照片？ 　?。?）觀察（1）中選出的照片，發(fā)現(xiàn)各張照片里的紙條數(shù)各不相同。問：整個正方體最少貼有多少張紙條？ 練習(xí)7答案 　　1．15cm。 解：若鐵塊完全浸入水中，則水面將提高 　　此時水面的高小于20cm，與鐵塊完全浸入水中矛盾，所以鐵塊頂面仍然高于水面。此時水深與容器底面積的乘積應(yīng)等于原有水量的體積與鐵塊浸入水中體積之和。 　　設(shè)放進鐵塊后，水深為xcm，則4030x＝403010+2020x， 　　解得x=15，即放進鐵塊后，水深15cm。 　　2．19200cm3。 　 　　 　　解得x=16。這個棱柱的體積是 　　{[（12+24）162]60％}40＝19200（cm3）。 　　3．25.6 cm。 　　解：容器里的水共有（6060-1515）50＝168750（cm3）。 　　當(dāng)把鐵棍提起24cm時，鐵棍仍浸在水中的部分的長是 　?。?68750-606024）（6060-1515）=24.4（cm）， 　　所以露出水面的浸濕部分長50-24.4=25.6（cm）。 　　4．（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共11個。 　　5．1∶2。 　　解：設(shè)一共做了x個豎式紙盒，y個橫式紙盒。注意到這兩種紙盒都是無蓋的，x個豎式紙盒共用x個正方形和4x個長方形紙板； y個橫式紙盒共用2y個正方形和3y個長方形紙板。根據(jù)題意，得2（x+2y）=4x+3y， 　　化簡為2x=y，即 x∶y=1∶2。 　　6．如下圖所示： 　　7．至少要6塊正方體木塊（左下圖），至多需要20塊正方體木塊（右下圖）。圖中的數(shù)字表示放在這一格上的正方體木塊的層數(shù)。 　　8．（1）26張；（2）39張。 解：（1）1個面的6種，2個面（即1個棱）的12種，3個面的 8種，共： 6+12+8=26（張）。 　?。?）因為26張照片上紙條數(shù)各不相同，所以紙條數(shù)至少也得有： 　　1+2+3+…+26=351（張）。 但在這26張照片中，很多紙條是被重復(fù)計算的。每個面上的紙條在單獨面拍攝時出現(xiàn)1次，在2個面拍攝時出現(xiàn)4次，在3個面拍攝時出現(xiàn)4次，共被計數(shù)9次。所以實際紙條數(shù)至少為：3519＝39（張）。 8