2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列課時訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc

2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列課時訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3 1．隨機變量 在隨機試驗中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的__________表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示． 注意：（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪個結(jié)果．這種試驗就是隨機試驗．（2）有些隨機試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．（3）若是隨機變量，，是常數(shù)，則也是隨機變量． 2．離散型隨機變量 所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為__________． 注意：（1）本章研究的離散型隨機變量只取有限個值．（2）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量；②離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果，但離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機變量的結(jié)果不能一一列出． 3．離散型隨機變量的分布列的表示 一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，，…，，…，，取每一個值的概率__________，以表格的形式表示如下： 4．離散型隨機變量的分布列的性質(zhì) 根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量的分布列具有如下性質(zhì)： （1），； （2）__________． 注意：分布列的性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)． 5．兩點分布 若隨機變量的分布列具有下表的形式，則稱服從兩點分布，并稱為成功概率． __________ 注意：（1）兩點分布的試驗結(jié)果只有兩個可能性，且其概率之和為1；（2）兩點分布又稱0—1分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛． 6．超幾何分布 一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則__________，，即 其中，且，，． 如果隨機變量的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量服從超幾何分布． 注意：為的最大取值，當抽取的產(chǎn)品件數(shù)不大于總體中的次品件數(shù)，即當時，此時(抽取的樣本中的次品件數(shù))的最大值；當抽取的產(chǎn)品件數(shù)大于總體中次品件數(shù)，即時，此時的最大值． 參考答案： 1．數(shù)字 2．離散型隨機變量 3． 4． 5． 6． 重點 離散型隨機變量的概念、分布列的性質(zhì)、兩點分布、超幾何分布 難點 超幾何分布的應(yīng)用、離散型隨機變量分布列的求解 易錯 對離散型隨機變量的取值及概率、分布列的性質(zhì)、超幾何分布理解不透徹 隨機變量的理解 （1）分析隨機變量的取值所表示的事件時，應(yīng)先分清事件的結(jié)果是什么，是如何與隨機變量的取值對應(yīng)的． （2）隨機變量的取值實質(zhì)上是試驗的不同結(jié)果對應(yīng)的數(shù)值，這些數(shù)值是預(yù)先知道的可能取值，但不知道究竟是哪一個值，這是“隨機”的意義． 一個不透明的箱子中裝有標號分別為的五個大小和形狀完全相同的紅球，現(xiàn)從中任取一個，這是一個隨機現(xiàn)象． （1）寫出該隨機現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結(jié)果； （2）試用隨機變量來描述上述結(jié)果． 【解析】（1）箱子中有五個紅球，標號分別為1，2，3，4，4． 因此從中任取一個，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為“取到標號為1的紅球”“取到標號為2的紅球”“取到標號為3的紅球”“取到標號為4的紅球”． （2）令表示取到的紅球的標號， 則的所有可能取值為1，2，3，4，對應(yīng)著任取一個紅球所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，即 “”表示“取到標號為1的紅球”，“”表示“取到標號為2的紅球”， “”表示“取到標號為3的紅球”，“”表示“取到標號為4的紅球”． 【名師點睛】引進隨機變量后，隨機現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都可以通過隨機變量的取值表達出來．需要注意的是本題中取到“標號為4的紅球”對應(yīng)的結(jié)果有兩個，但對應(yīng)的是隨機變量的一個值，不能誤認為隨機變量有5個值：1，2，3，4，4． 求離散型隨機變量的分布列 （1）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)，求兩枚骰子中出現(xiàn)的點數(shù)之差的絕對值的分布列； （2）袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5，6的同樣大小的6個白球，現(xiàn)從袋中隨機取3個球，設(shè)表示取出的3個球中的最小號碼，求的分布列． 【解析】（1）易知擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)有36種等可能的情況，的可能取值為0，1，2，3，4，5，如下表： 的值 出現(xiàn)的點數(shù) 情況數(shù) 0 (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6) 6 1 (1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5) 10 2 (1，3)，(2，4)，(3，5)，(4，6)，(3，1)，(4，2)，(5，3)，(6，4) 8 3 (1，4)，(2，5)，(3，6)，(4，1)，(5，2)，(6，3) 6 4 (1，5)，(2，6)，(5，1)，(6，2) 4 5 (1，6)，(6，1) 2 由古典概型可知的分布列為 0 1 2 3 4 5 （2）根據(jù)題意，隨機變量的所有可能取值為1，2，3，4． ①，最小號碼為1，其他2個球在2，3，4，5，6中任取，所以； ②，最小號碼為2，其他2個球在3，4，5，6中任取，所以； ③，最小號碼為3，其他2個球在4，5，6中任取，所以； ④，最小號碼為4，其他2個球只能取編號為5，6的2個球，所以． 所以，隨機變量的分布列為 1 2 3 4 【名師點睛】（1）由于隨機變量的各個可能取值之間彼此互斥，因此，隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和；（2）求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量取值所對應(yīng)的概率，應(yīng)明確隨機變量取每個值所表示的意義． 離散型隨機變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用 分布列的應(yīng)用主要體現(xiàn)在分布列的性質(zhì)上的應(yīng)用，離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)主要有三方面的作用： （1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值； （2）利用“隨機變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求特定事件的概率； （3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所求的分布列是否正確． （1）設(shè)隨機變量的分布列為，，求常數(shù)及； （2）已知是離散型隨機變量，其分布列如下，求的值及． 【解析】（1）隨機變量的分布列為 由，解得． 故． （或：） （2）由，解得(負值舍去)， 故． 兩點分布的應(yīng)用 在兩點分布中，只有兩個對立的結(jié)果，知道一個結(jié)果的概率便可以求出另一個結(jié)果的概率． （1）不透明的袋中裝有大小、形狀完全相同的5個白球和4個紅球，從中隨機摸出兩個球，記，求隨機變量的分布列； （2）已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中有1件次品，現(xiàn)從中任意抽取2件進行檢查，若用隨機變量表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求的分布列． 【解析】由題意知，服從兩點分布，，， 所以隨機變量的分布列為 0 1 （2）由題意知，服從兩點分布，，， 所以隨機變量的分布列為 0 1 超幾何分布的應(yīng)用 生產(chǎn)方提供的某批產(chǎn)品共50箱，其中有2箱不合格品，采購方接收該批產(chǎn)品的準則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進行檢測，若至多有1箱不合格品，便接收該批產(chǎn)品．問該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？ 【思路分析】將50箱產(chǎn)品看作50件“產(chǎn)品”，2箱不合格品看作2件“次品”，任取5箱中不合格品的箱數(shù)可以看作是任取5件“產(chǎn)品”中所含的次品數(shù)，根據(jù)公式可求概率． 【解析】從中隨機抽取5箱，用表示“5箱中不合格品的箱數(shù)”， 則服從參數(shù)為，，的超幾何分布． 該批產(chǎn)品被接收的條件是5箱中沒有不合格品或只有1箱不合格品， 所以被接收的概率為， 故， 所以該批產(chǎn)品被接收的概率為．（或） 【名師點睛】解決此類問題，先分析隨機變量是否滿足超幾何分布，若滿足超幾何分布，則建立超幾何分布列的組合關(guān)系式，求出隨機變量取相應(yīng)值的概率；否則直接利用概率公式和計數(shù)原理求隨機變量取相應(yīng)值的概率．在解題中不應(yīng)拘泥于某一特定的類型． 求相關(guān)變量的分布列 若隨機變量的分布列不易求，可以根據(jù)題意找出與隨機變量有關(guān)的隨機變量，確定二者對應(yīng)值及取對應(yīng)值的概率的關(guān)系，將求隨機變量的分布列轉(zhuǎn)化為求隨機變量的分布列． 已知隨機變量的分布列如下表所示，分別求出隨機變量，的分布列． 【解析】由題易得的可能取值為，，，，，， 且，，， ，，， 所以的分布列為 由題易得的可能取值為，，，， 且，， ，， 所以的分布列為 某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為 1 2 3 4 5 商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．若表示經(jīng)銷一件該商品的利潤，求的分布列． 【解析】由題易得的可能取值為200，250，300，則， ， ， 所以的分布列為 【名師點睛】求隨機變量分布列的重要基礎(chǔ)是計算概率．就本題而言，是兩個關(guān)聯(lián)變量的分布列問題，可以看到解決問題的關(guān)鍵是利用互斥事件的概率計算公式． 未找準隨機變量的取值而致錯 現(xiàn)有10張獎券，其中8張2元的，2張5元的，從中同時任取3張，求所得金額的分布列． 【錯解】記所得金額為元，則的可能取值為6，12， 且，，所以的分布列為 6 12 【錯因分析】產(chǎn)生錯解的原因是沒能找準隨機變量的可能取值，事實上任取3張的結(jié)果有3種：3張2元，2張2元、1張5元，1張2元、2張5元，可得的可能取值有3個，分別為6，9，12． 【正解】記所得金額為元，則的可能取值為6，9，12， 且，，，所以的分布列為 6 9 12 錯解隨機變量的取值概率而致錯 從4名男生和2名女生中任意選擇3人參加比賽，設(shè)被選中的女生的人數(shù)為． （1）求的分布列； （2）求所選女生的人數(shù)至多為1的概率． 【錯解】（1）由題設(shè)可得的可能取值為0，1，2， 且，，， 所以的分布列為 0 1 2 （2）所選女生的人數(shù)至多為1即隨機變量的取值為，其概率為． 【錯因分析】產(chǎn)生錯解的原因是對隨機變量的取值概率求解錯誤，事實上隨機變量服從參數(shù)為，，的超幾何分布． 【正解】（1）由題設(shè)可得的可能取值為0，1，2， 且，，， 所以的分布列為 0 1 2 （2）所選女生的人數(shù)至多為1即隨機變量的取值為，其概率為． 未掌握離散型隨機變量分布列的性質(zhì)而致錯 已知是一個離散型隨機變量，其分布列如下，則常數(shù)______________． 1 2 【錯解】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可得，解得或，故填或． 【錯因分析】錯解中僅注意到隨機變量的分布列滿足概率和為，但忽略了． 【正解】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可得，解得，故填． 未弄清隨機變量取值概率的實質(zhì)而致錯 已知隨機變量的分布列如下，求隨機變量的分布列． 【錯解】由可得的可能取值為，，，，，所以的分布列為 【錯因分析】錯解中誤認為的取值概率變?yōu)樵瓉淼模瑳]有弄清隨機變量取值概率的實質(zhì)． 【正解】由可得的可能取值為，，，，，相應(yīng)的概率不變，所以的分布列為 對超幾何分布的概念理解不透徹而致錯 盒中裝有12個零件，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，若取出的是次品不再放回，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的分布列． 【錯解】由題意可知，服從超幾何分布，其中，，，所以在取得正品之前已取出次品數(shù)的分布列為，所以已取出次品數(shù)的分布列為 0 1 2 3 【錯因分析】錯解中未理解超幾何分布的概念．本題是不放回抽樣，“”表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，“”表示“前兩次都取到次品，第三次取到正品”，屬于排列問題．而超幾何分布是一次性抽取若干件產(chǎn)品，屬于組合問題． 【正解】由題易得的可能取值為0，1，2，3． ，，，， 所以已取出次品數(shù)的分布列為 0 1 2 3 【名師點睛】求隨機變量的分布列的關(guān)鍵是熟練掌握排列、組合知識，求出隨機變量每個取值的概率，注意概率的取值范圍（非負），在由概率之和為1求參數(shù)問題中要把求出的參數(shù)代回分布列進行檢驗． 1．下列隨機變量中是離散型隨機變量的為 A．某人早晨在車站等出租車的時間 B．以測量儀的最小單位計數(shù)，測量的舍入誤差 C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的射擊次數(shù) D．沿數(shù)軸隨機運動的質(zhì)點在數(shù)軸上的位置 2．袋中有大小相同的5個球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機變量，則的所有可能取值的個數(shù)是 A．5 B．9 C．10 D．25 3．隨機變量所有可能取值的集合是，且，，，則的值為 A．0 B． C． D． 4．已知隨機變量的分布列為，，則 A． B． C． D． 5．某地區(qū)15個村莊中有7個村莊交通不便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用表示這10個村莊中交通不便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是 A． B． C． D． 6．已知是一個離散型隨機變量，其分布列為 則常數(shù)等于 A． B． C． D． 7．設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量去描述1次試驗的成功次數(shù)，則______________． 8．袋中有4只紅球、3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量，則______________． 9．某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每件一等品都能通過檢測，每件二等品通過檢測的概率為．現(xiàn)有件產(chǎn)品，其中件是一等品，件是二等品． （1）隨機選取件產(chǎn)品，設(shè)至少有一件通過檢測為事件，求事件發(fā)生的概率； （2）隨機選取件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列． 10．已知隨機變量的分布列如下，則 1 2 3 4 A． B． C． D． 11．若隨機變量的分布列如下： 則當時，實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 12．一盒子中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)是一個隨機變量，則 A． B． C． D． 13．隨機變量的概率分布列為(1，2，3，4)，其中是常數(shù)，則()的值為 A． B． C． D． 14．已知隨機變量的所有可能取值為，，，若，，，則的最大值為______________． 15．某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如下圖所示： （1）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量； （2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列．  16．為了參加第二屆全國數(shù)學(xué)建模競賽，長郡中學(xué)在高二年級舉辦了一次選拔賽，共有60名高二學(xué)生報名參加，按照不同班級統(tǒng)計參賽人數(shù)，如下表所示： 班級 宏志班 珍珠班 英才班 精英班 參賽人數(shù) 20 15 15 10 （1）從這60名高二學(xué)生中隨機選出2人，求這2人在同一班級的概率； （2）現(xiàn)從這60名高二學(xué)生中隨機選出2人作為代表，進行大賽前的發(fā)言，設(shè)選出的2人中宏志班的學(xué)生人數(shù)為，求隨機變量的分布列． 17．【xx新課標全國I理節(jié)選】某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)． （1）求的分布列； （2）若要求，確定的最小值． 1．C【解析】選項A、B、D中的隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機變量．故選C． 2．B【解析】號碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9個．故選B． 3．C【解析】因為隨機變量所有可能取值的集合是，且，，，所以，故選C． 4．D 【解析】由題易得，故選D． 5．C【解析】由超幾何分布的概率計算公式可得，故選C． 6．C【解析】由分布列的性質(zhì)可得，解得．故選C． 7．【解析】本題符合兩點分布，先求的出分布列，再根據(jù)分布列的性質(zhì)可求．設(shè)失敗率為，則成功率為，所以的分布列為 0 1 則“”表示試驗失敗，“”表示試驗成功，由可得，故． 8．【解析】分析題意可知，若得分不大于7，則4個球都是紅球，此時，或3個紅球、1個黑球，此時．又，，故． 9．（1）；（2）分布列見解析． 【思路分析】（1）“至少有一件通過檢測”的反面是“沒有一件通過檢測”，即三件都不通過，利用互斥事件的概率可得；（2）求的分布列，首先要確定變量的取值，由于10件中有6件一等品，因此的所有可能取值為，由古典概型概率公式可得各概率，從而得分布列． 【解析】（1）， 所以隨機選取3件產(chǎn)品，至少有一件通過檢測的概率為． （2）由題可知的所有可能取值為． ，， ，． 則隨機變量的分布列為 0 1 2 3 10．C【解析】由分布列的性質(zhì)可得，解得．又．故選C． 11．D【解析】由題中所給分布列，可得，，故．故選D． 12．C【解析】從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，當盒中舊球的個數(shù)為時，相當于舊球的個數(shù)在原來3個的基礎(chǔ)上增加了一個，所以取出的3個球中只有一個新球，即取出的3個球中有2個舊球、1個新球，所以，故選C． 13．D【解析】由題意可得，＋＋＋，解得，故()＋，故選D． 14．【解析】由題可得，所以，且，，所以，當且僅當時取等號． 15．（1）12；（2）分布列見解析． 【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為 ． （2）的可能取值為0，1，2，且服從參數(shù)為，，的超幾何分布， 故，，， 所以的分布列為 0 1 2 16．（1）；（2）分布列見解析． 【思路分析】（1）利用組合知識得到有關(guān)事件的基本事件個數(shù)，再利用古典概型的概率公式進行求解；（2）先寫出隨機變量的所有可能取值，再利用超幾何分布的概率公式求出每個變量發(fā)生的概率，列表可得分布列． 【解析】（1）從這60名高二學(xué)生中隨機選出2名的基本事件總數(shù)為， 且這2人在同一班級的基本事件個數(shù)為， 故所求概率． （2）由題意可得的所有可能的取值為0，1，2， 且，，， 所以的分布列為 0 1 2 17．（1）分布列見解析；（2）． 【解析】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為，，，，從而； ； ； ； ； ； ． 所以的分布列為 16 17 18 19 20 21 22 （2）由（1）知，，故的最小值為19． 老師：“楚向陽同學(xué)，你認為太陽和月亮哪個更重要？” 楚陽向：“月亮更重要?！? 老師：“為什么呢？” 楚陽向：“月亮能給黑夜帶來光明，而太陽好像沒什么用，總是在大白天出來．”