高中數(shù)學(xué)《兩角和與差的余弦》教案蘇教版必修4

第 1 課時： 3.1.1 兩角和與差的余弦 【三維目標(biāo)】： 一、知識與技能 1. 掌握用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式，進(jìn)一步體會向量方法的作用； 2. 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化歸思想在三角變換中的作用； 3. 能用余弦的和差角公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式的證明二、過程與方法 1. 經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，體會向量和三角函數(shù)的聯(lián)系； 2. 通過向量的手段證明兩角差的余弦公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會向量法作為一種有效手段 的同時掌握兩角差的余弦函數(shù)；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí) . 三、情感、態(tài)度與價值觀 1. 創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識 . 2. 通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個全新的認(rèn)識；理解掌握 兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力. 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】 ： 重點(diǎn) : 兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用 . 難點(diǎn) : 兩角差的余弦公式的推導(dǎo) . 【學(xué)法與教學(xué)用具】 ： 1. 學(xué)法： (1) 自主性學(xué)習(xí)法：通過自學(xué)掌握兩角差的余弦公式. (2) 探究式學(xué)習(xí)法：通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過程 . (3) 反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距 . 2. 教法：啟發(fā)式教學(xué) 3. 教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀. 【授課類型】：新授課 【課時安排】： 1 課時 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1 ．?dāng)?shù)軸兩點(diǎn)間的距離公式： MN x1 x2 ． 2．點(diǎn) P( x, y) 是 終邊與單位圓的交點(diǎn)，則 sin y,cosx ． 二、研探新知 兩角和的余弦公式的推導(dǎo)（向量法） ： 把 cos( ) 看成兩個向量夾角的余弦，考慮用向量的數(shù)量積來研究。 在 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy 中 ， 以 Ox 軸為 始 邊分 別 作 角 , ， 其 終邊 分別 與 單 位 圓 交 于 P1 (cos , sin ) , P2 (cos ,sin ) ，則 P1OP2 由于余弦函數(shù)是周期為 2 的偶函數(shù)， 所以，我們只需考慮 0 的情況。 設(shè)向量 a = OP1 (cos ,sin ) , b = OP2 (cos , sin ) , 則 a b =| a || b | cos( ) = cos( ) 用心 愛心 專心 - 1 - 另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有 a b =cos cos sin sin , 所以 cos() = cos cos sin sin 這就是兩角差的余弦公式。 【探究】： 如圖 3-1-2 ，在直角坐標(biāo)系 xOy 中，單位圓 O 與 x 軸交于 P0 ，以 Ox 為始邊分別作出角 , , ，其終邊分別和單位圓交于 P1 , P2 ,P3 ，由 P0 P3 P2 P1 ，你能否導(dǎo)出兩角差的余弦 公式？ 在公式 C( ) 中用 代替 ，就得到 cos( ) cos cos sin sin ．（ C( ) ） 這就是兩角和的余弦公式 【說明】： 公式 C( ) 對于任意的 , 都成立。 【思考】： “用 代替 ”的換元方法體現(xiàn)在圖形上具有什么幾何意義？你能直接利用向量的數(shù)量 積推出兩角和的余弦公式嗎？ 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例 1（教材 P92 例 1）利用兩角和（差）的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式： （1） cos( ) sin ； （ 2） sin( ) cos 2 2 例 2（教材 P93 例 2）利用兩角和（差）的余弦公式，求 cos750 , cos15 0 , sin150 ,tan 150 。 【舉一反三】： 1. 求值：（ 1） cos1950 （ 2） cos540 cos360 sin 540 sin 360 （1） cos195 cos(180 15 )cos15 (cos45 cos30 sin 45 sin30 ) 6 2 4 （ ） cos54 cos36 sin54 sin36 cos(54 36 ) 0 ． 2 【 點(diǎn) 評 】： 把 一 個 具 體 角 構(gòu) 造 成 兩 個 角 的 和 、 差 形 式 ， 有 很 多 種 構(gòu) 造 方 法 ， 例 如 ： cos15 cos 60 45 ，要學(xué)會靈活運(yùn)用 . 【思考】：你會求① cos105 、② sin 750 、③ cos 150 、④ cos cos 3 sin 5 sin 3 的值嗎 ? 5 10 10 例 3（教材 P 例 3）已知 2 3 3 ，求 cos( ) 的 sin , ( , ),cos , ( , ) 93 2 3 2 5 值 用心 愛心 專心 - 2 - 【思考】：在上例中，你能求出 sin( ) 的值嗎？ 【舉一反三】： 1. 已知 cos 3 , ( , ) , 求 cos ( ) 的值 . 5 2 4 2. 已知 sin 4 ， , ,cos 5 , 是第三象限角，求 cos 的值 . 5 2 13 提示：注意角 、 的象限，也就是符號問題 . 3. 已知 cos(2 α- β )=- 11 ,sin ( α -2 β )= 4 3 , 且 <α < ,0< β< , 求 cos( α +β ) 的值 14 7 4 2 4 四、鞏固深化，反饋矯正 教材 P94 練習(xí)第 2 題，第 3 題 五、歸納整理，整體認(rèn)識 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦公式，要求同學(xué)們掌握公式 C( ) 的推導(dǎo)，能熟練運(yùn) 用 C( ) 公式，注意 C( ) 公式的逆用。在解題過程中注意角 、 的象限，也就是符號問 題，學(xué)會靈活運(yùn)用 . 六、承上啟下，留下懸念 1. 用兩點(diǎn)距離公式推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式。 2. 預(yù)習(xí)兩角和與差的正弦 七、板書設(shè)計 （略） 八、課后記： 用心 愛心 專心 - 3 -