5 線、面相對位置

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1、單擊以編輯,母版標(biāo)題樣式,,單擊以編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,*,*,*,第五章 點(diǎn)、直線與平面的相對位置,§5-1,平行問題,§5-2,相交問題,§5-3,垂直問題,§5-4,點(diǎn)、直線、平面的綜合問題,,,一．直線與平面平行,,幾何條件：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。,,有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；作平面與已知直線平行。,,,二．平面與平面平行,,幾何條件：若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)的,相交,二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平

2、面平行的作圖依據(jù)。,,兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點(diǎn)或直線作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的投影。,§5-1,平行問題,,一、,直線與平面平行,,若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行,P,C,D,B,A,,試判斷直線,AB,是否平行于定平面,,f,g,?,f,?,g,b,?,a,?,a,b,c,?,e,?,d,?,e,d,c,結(jié)論：直線,AB,不平行于定平面,m,n,m′,n′,p′,p,TL,,試過點(diǎn),K,作水平線,AB,平行于,Δ,CDE,平面,b,?,a,?,a,f,?,f,b,c,?,e,?,d,?,e,d,k,?,k,c

3、,,二、兩平面平行,,若屬于一平面的相交兩直線對應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行,P,S,E,F,D,A,C,B,,試判斷兩平面是否平行,f,?,e,?,d,?,e,d,f,c,?,a,?,a,c,b,?,b,m,?,n,?,m,n,r,?,r,s,s,?,結(jié)論：兩平面平行,,,已知定平面由平行兩直線,AB,和,CD,給定。試過點(diǎn),K,作一平面平行于已知平面 。,e,m,?,n,?,m,n,f,?,e,?,f,s,r,?,s,?,r,d,?,d,c,?,a,?,a,c,b,?,b,k,?,k,,試判斷兩平面是否平行,。,結(jié)論：兩平面平行,e,f,?,e,?,f,s,r,?,s,

4、?,d,?,d,c,?,a,?,a,c,b,?,b,r,P,H,S,H,TL,,兩平面的同名跡線相互平行，兩平面相互平行,V,H,Q,V,Q,H,Q,X,P,V,P,H,P,X,P,P,V,,P,X,P,H,,Q,V,Q,H,Q,X,Q,,,平行問題小結(jié),1,直線與特殊位置平面平行,平面的積聚投影與直線的同面投影平行。,,2,兩特殊位置平面平行,平面的同面積聚投影平行。,,3,同面跡線相互平行 ，兩平面平行,,4,一般位置直線與平面平行,一般位置直線與平面內(nèi)一條直線平行 。,,5,兩一般位置平面平行,兩平面內(nèi)有兩條相交直線對應(yīng)平行。,,,§5-2,相交問題,,直線與平面相交，有一個(gè)交點(diǎn)。二平面

5、相交有一條交線。下面討論如何求交點(diǎn)和交線的作圖問題。,交點(diǎn)或交線是參與,相交的幾何元素所共有的點(diǎn)或直線，所以相交的實(shí)質(zhì)就是共有,。,,一、,直線與平面相交,的,特殊情況,,二、平面與平面相交的特殊情況,,三、,直線與平面相交的一般,情況,,四、平面與平面相交的一般情況,,直線與平面相交,P,B,A,K,,直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，它是直線與平面的共有點(diǎn)。,,,交點(diǎn)的特性：,交點(diǎn)總是可見，而且是可見與不可見的分界點(diǎn)。,,M,B,C,A,,平面與平面相交,F,K,N,L,,兩平面的交線是相交二平面的共有線。欲求二平面的交線，只要求得屬于交線的任意兩點(diǎn)，然后將兩點(diǎn)相連即可。。,,,交線的特性,：,

6、交線總是可見的，是可見與不可見的分界線。,,一、直線與平面相交的特殊情況,,直,線與平面相交的特殊情況，系指參與相交的直線或平面，其中之一對投影面處于垂直的位置，它在該面上的投影有,積聚性，利用積聚投影確定,交點(diǎn)在該面上的投影。再根據(jù)屬于,直線的點(diǎn)的投影，屬于平面的點(diǎn)或直線的作圖規(guī)律，即可確定,交點(diǎn)的其余二,投影。,,1,特殊位置平面與一般位置直線相交,,,2,投影面垂直線與一般位置平面相交,,,b,?,b,a,?,a,c,c,?,m,?,m,n,n,?,1,直線與,特殊位置,平面相交,,利用,特殊位置,平面投影的,積聚性,，,在直線上定點(diǎn)，直接求出交點(diǎn),。,V,H,A,B,C,N,M,a,c

7、,b,K,k,k,?,k,,,,交點(diǎn)是唯一的點(diǎn)，其他投影重疊處都是,重影點(diǎn)。,可見性判別的基本方法依然是交叉二直線重影點(diǎn)的可見性判別。對于特殊情況可以直接判斷。,b,?,b,a,?,a,c,c,?,m,?,m,n,n,?,判別直線的可見性,V,H,A,B,C,N,M,a,c,b,K,k,k,k,?,,2,投影面垂直線與,一般位置,平面相交,,a,?,b,?,c,?,a,b,c,d,?,e,?,k′,(,k,),d,,(,,e,),,,,此時(shí)的特殊位置直線是指投影面垂直線，直線在某投影面上有積聚性。,二、平面與平面相交的特殊情況,,求兩平面交線的問題可以看作是求屬于交線的任意,兩個(gè)共有點(diǎn),的問題

8、。,,對于特殊位置平面來說，總有一個(gè)投影為積聚投影，其交線的投影就在這個(gè)積聚投影上。,,,,V,H,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,e,f,d,d,?,f,?,e,?,b,a,c,c,?,a,?,b,?,D,A,B,C,a,c,b,E,F,K,L,k,l,k,l,k,?,l,?,e,f,d,d,?,f,?,e,?,b,a,c,c,?,a,?,b,?,V,H,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,D,A,B,C,a,c,b,E,F,K,L,k,l,k,l,k,?,,交線是唯一的，其他投影重疊處都是,重影點(diǎn)。,可見性判別的基本方法依然是交叉二直線重影點(diǎn)的可見性判別。對于特殊情況可以直接判斷。,,

9、l,?,三、一般位置直線與一般,位置,平面相交,,一般位置線面相交由于直線和平面的投影都,沒有積聚性,，求交點(diǎn)時(shí)無積聚性投影可以利用，因此通常要采用,輔助平面法,求一般位置線面的交點(diǎn)。,,,一般位置線、面相交求交點(diǎn)的步驟：,,（,l,）,含已知直線作特殊位置的輔助平面；,,（,2,）求輔助平面與已知平面的交線；,,（,3,）求交線與已知直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。,,（,4,）判別可見性。,,,A,B,C,S,F,E,輔助平面求線面交點(diǎn),示意圖,,M,N,K,用投影面垂直面作為輔助面求線面的交點(diǎn),H,b,e,f,a,c,A,B,C,P,H,E,F,m,n,P,作垂直面的目的是把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊

10、問題,M,N,K,k,,m,n,以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn),。,P,H,m,?,f,?,e,?,e,f,b,c,?,a,?,a,c,b,?,步驟：,,1,、 過,EF,作鉛垂平面,P,。,,2,、求,P,平面與,Δ,ABC,的交線,MN,。,3,、求交線,MN,與,EF,的交點(diǎn),K,。,k,?,k,n′,,,H,V,a,?,b,?,c,?,c,e,a,A,B,b,C,F,E,f,′,f,k,?,K,k,e,?,直線,FE,與平面,Δ,ABC,相交，判別可見性,示意圖,Ⅲ,Ⅳ,3,,( ),(,,),4,,注意兩點(diǎn)：,,1,、判別某個(gè)投影面上的可見性，就在該投影上取重影點(diǎn)。,,2,、對于

11、一般情況，必須在每個(gè)投影面上分別取重影點(diǎn)判別，不能根據(jù)一個(gè)投影面上的可見性而推論另一個(gè)投影面上的可見性。,Ⅰ,Ⅱ,1,?,,2,?,,2,1,直線,EF,與平面,ABC,相交，判別可見性。,利用重影點(diǎn)判別可見性,(,,),f,?,e,?,e,f,a,c,?,c,b,a,?,b,?,1,2,4,?,3,?,( ),k,k,?,3,4,2,?,1,?,,m,?,n,?,n,m,b,a,?,a,c,b,?,c,?,1,?,2,?,以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn),S,V,2,1,k,k,?,,步驟,：,,1,、 過,MN,作正垂平面,S,。,,2,、求,S,平面與,ΔABC,的交線,ⅠⅡ,。,3,、求交

12、線,ⅠⅡ,與,MN,的交點(diǎn),K,。,,四、兩一般位置平面相交,,求兩一般位置平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題,,,因而可利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。,,,1,、線面交點(diǎn)法,,,2,、三面共點(diǎn)法,,,E,L,N,利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。,M,B,C,A,E,K,N,L,B,C,A,互交,全交,K,M,,,求兩一般位置平面交線的作圖步驟：,,1,、用直線與平面求交點(diǎn)的方法求出兩平面的,兩個(gè)共有點(diǎn),K,、,E,。,b,c,a,a,?,b,?,c,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,P,V,Q

13、,V,g,?,f,?,f,g,k,?,k,e′,e,2,、連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出交線,KE,。,一般不選,AB,、,BC,、,NL,,1,、線面相交法求交點(diǎn),,,b,c,a,a,?,b,?,c,?,若選,AC,、,BC,l,l,?,,m,m,?,n,?,k,e,e′,k,?,n,,若選了交點(diǎn)在圖形之外的邊,P,H,Q,V,利用重影點(diǎn)判別可見性,兩平面相交，判別可見性,b,c,a,a,?,b,?,c,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,k,e,e,?,k,?,( ),( ),,3,?,,4,?,,3 4,,2,1,1,?,,2,?,利用重影點(diǎn)判別可見性,兩平面相交，判

14、別可見性,b,c,a,a,?,b,?,c,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,k,e,e,?,k,?,3,?,,4,?,,3 4,,2,1,( ),1,?,,2,?,( ),,R,1,R,2,P,S,2,、三面共點(diǎn)法求交線,(,適用于,兩平面圖形投影不重疊,),,,,K,L,,R,1V,R,2V,1′,2′,3′,4′,1,2,3,4,5′,6′,8′,7′,5,6,7,8,k,l,l′,k′,求兩平面的交線,b,c,a,a,?,b,?,c,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,g′,g,1,2,P,V,1′,2′,k,k′,Q,V,e,e′,,b,c,a,a,

15、?,b,?,c,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,g′,g,k,k′,e,e′,利用重影點(diǎn)判別可見性,,a,c,?,b,a,?,c,b,?,f,?,e,?,e,f,k,?,k,,試過,K,點(diǎn)作一直線平行于已知平面,Δ,ABC,，,并與直線,EF,相交,。,,分析,:,過已知點(diǎn),K,作平面,P,平行,于,?,,ABC,；,直線,EF,與平 面,P,交于,H,；,連接,KH,，,KH,即為所求。,,,F,P,C,A,B,E,K,H,,作圖步驟,m,?,n,?,h,?,h,n,m,f,f,?,a,c,?,b,a,?,c,b,?,e,?,e,k,?,k,P,V,1,?,1,2,?,2,1

16、,、過點(diǎn),K,作平面,KMN,//,?,,ABC,平面。,2,、過直線,EF,作正垂平面,P,。,3,、,求平面,P,與平面,KMN,的交線,ⅠⅡ,。,4,、求交線,ⅠⅡ,與,EF,的交點(diǎn),H,。,5,、,連接,KH,，,KH,即為所求。,,求兩平面的交線,a,′,b,′,c,′,a,e,′,f,′,g,′,b,c,f,e,g,,a,′,b,′,c,′,a,e,′,f,′,g,′,b,c,f,e,g,求兩平面的交線,,綜合練習(xí),設(shè)自點(diǎn),S,發(fā)射槍彈同時(shí)命中繩索,AB,、,CD,，,求彈道軌跡和命中點(diǎn)的投影。,a′,b′,s′,a,b,c,d,s,d′,c′,P,H,分析,,過,S,與,AB,相

17、交的直線的軌跡是平面,SAB,。,同理，過,S,與,CD,相交的直線的軌跡是平面,SCD,。,故過,S,與交叉二線,AB,、,CD,均相交的直線是兩平面,SAB,、,SCD,的交線,。,投影作圖步驟,,連接,SA,、,SB,成△,SBC,。,,求,CD,與△,SBC,的,交點(diǎn),L,。,,連接,SL,并延長與,AB,交于點(diǎn),K,。,l′,k′,k,l,相交問題小結(jié),相交問題的實(shí)質(zhì)就是共有，線與面共有點(diǎn)，面與面共有線。,,相交問題的特殊情況是交點(diǎn)或交線可以在具有積聚性的線或面的投影上直接求出。,,相交問題的一般情況是將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊情況。求法是：,,包含直線作一投影面垂直面,,求該面與一般平面

18、的交線,,求該交線與一般直線的交點(diǎn),,求兩個(gè)一般平面的交線就是把該作法重復(fù)一遍。,,相交問題練習(xí)評講,p′,p,q′,s′,s,q,,相交問題練習(xí)評講,p′,p,a,b,b,′,a,′,k′,k,,相交問題練習(xí)評講,a,b,b,′,a,′,c′,c,3(4),2(1),4′,3′,1′,2′,k′,k,s,s′,,相交問題練習(xí)評講,a,b,b,′,a,′,c′,c,3(4),2(1),4′,3′,1′,2′,k,s,k′,s′,,a,b,′,a,′,c′,d′,b,d,c,1,2,4,3,4′,1′,2′,3′,相交問題練習(xí)評講,s′,k′,k,s,,§5-3,垂直問題,,一、,直線與平面垂直

19、,,,幾何條件,：,若直線垂直于屬于平面的任意兩條相交直線，,,則直線垂直于平面。反之若直線垂直于平面，則直線必垂直于,,屬于平面的任意相交二直線。,,因?qū)儆谄矫娴恼骄€、水平線是相交二直線，由直角投影,,定理得出。,,,平面垂線的投影特性：,若直線垂直于平面，則直線的水,,平投影必垂直于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影,,必垂直于該平面的正平線的正面投影。,,二、,兩平面垂直,,,幾何條件,：,若一平面通過另一平面的一條垂線，則兩平,,面垂直。反之若兩平面垂直，則從屬于其中一平面的任何一點(diǎn),,向另一平面所作的垂線必屬于該平面。,,,直線與平面垂直的幾何條件,：,若一直線垂直于一平面內(nèi)

20、任意兩條相交直線,，,則此直線必垂直于該平面。,,平面垂（法）線的性質(zhì),：,若一直線垂直于一平面,，,則此直線必垂直于屬于該平面的一切直線。,,,,V,H,P,A,K,L,D,C,B,E,,平面垂線的投影特性：,若一直線垂直于一平面，則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。,V,P,A,K,L,D,C,B,E,H,a,?,a,d,?,c,?,b,?,d,c,b,e,?,e,k,n,,k,?,n,?,,由平面垂線的投影特性得出：,若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直

21、于該平面。,a,?,c,a,c,?,,n,?,,n,k,f,?,d,?,b,?,d,b,f,k,?,V,P,A,K,L,D,C,B,E,H,,平面由,?,,BDF,給定，試過定點(diǎn),K,作平面的法線,。,a,?,c,a,c,?,,n,,n,?,k,f,?,d,?,b,?,d,b,f,k,?,,h,?,,,試過定點(diǎn),K,作特殊位置平面的法線,。,,h,?,h,,h,?,h,k,k,?,S,V,k,?,k,P,V,k,?,k,,垂直于正垂面的直線是正平線,,垂直于鉛垂面的直線是水平線,,垂直于水平面的直線是鉛垂線,Q,H,h,,平面由兩平行線,AB,、,CD,給定，試判斷直線,MN,是否垂直于定平面

22、。,e,?,f,?,e,m,?,n,m,n,?,c,?,a,?,a,d,?,b,?,c,d,b,f,,結(jié)論：直線與平面不垂直,,h,?,,,,h,?,h,,h,?,h,（,k,）,k,?,k,?,k,P,′,k,?,k,垂直于正垂面的直線是正平線,垂直于鉛垂面的直線是水平線,,垂直于水平面的直線是鉛垂線,q,h,p,q,′,s,′,s,例題 過定點(diǎn),K,作特殊位置平面（△表示）的法線。,,試過點(diǎn),N,作一平面，使該平面與,V,面的夾角為,60 °,，與,H,面的夾角為,45 °,。,n,?,n,,,分析：平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角。,,所以平面法線對,H,面的傾角

23、為,45°,，對,V,面的傾角為,30°,。,H,P,A,K,F,D,C,B,E,f,?,?,試過點(diǎn),N,作一平面，使該平面與,V,面的夾角為,60 °,，與,H,面的夾角為,45 °,。,直徑任取,NM,作圖過程,|,y,M,-y,N,|,|,z,M,-z,N,|,m,?,h,?,m n,m,k,|,z,M,-z,N,|,|,y,M,-y,N,|,30,°,45,°,m n,m,?,n,?,k,?,,h,,n,?,n,,Ⅱ,若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。,即包含某平面垂線的任意平面都與該平面垂直。、,A,D,,兩,平面垂直的幾何條件,,若一平面通過另一平面的

24、一條垂線，則兩平面垂直。反之，若兩平面垂直，則從屬于其中一平面的任何一點(diǎn)向另一平面所作的垂線必屬于該平面。,,投影作圖,：由幾何條件得知若兩平面垂直，其中一平面必包含另一平面的一條垂線，因此兩平面垂直的投影作圖建立在平面垂線的基礎(chǔ)上。,,反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。,A,D,Ⅰ,Ⅱ,,兩平面垂直,兩平面不垂直,Ⅱ,Ⅰ,A,D,,g,?,,平面由,?,,BDF,給定，試包含直線,KG,作已知平面的垂面,h,a,?,c,a,c,?,,h,?,k,k,?,f,?,d,?,b,?,d,b,f,g,,試判斷,?,,A,BC,與相交兩直線,KG,

25、和,KH,所給定的平面是否垂直。,g,?,h,?,a,?,c,h,a,c,?,k,k,?,b,?,b,g,,f,?,f,,d,?,d,結(jié)論：因?yàn)槠矫娣ň€,AD,不在,?,,A,BC,平面上，所以兩平面不垂直。,或者說平面,ABC,未包含平面,GKH,的垂線,,,例題 過點(diǎn),K,作正垂面Ｐ垂直于平面,△,ABC,。,,b′,a′,k′,k,b,c′,c,a,P,V,Q,H,過點(diǎn),K,作鉛垂面,Q,垂直于平面,△,ABC,。,分析：,,P⊥V,，,P⊥ABC → P⊥,平面,ABC,的正面跡線,,→,P,垂直于面上正平線,同理：,,Q⊥H,，,Q⊥ABC →

26、Q⊥,平面,ABC,的水平跡線,,→,Q,垂直于面上水平線,試過定點(diǎn),A,作直線與已知直線,EF,正交。,a,?,e,f,a,f,?,e,?,,E,Q,分析,,,過已知點(diǎn),A,作平面與已知直線,EF,垂直相交于點(diǎn),K,，,連接,AK,，,AK,即為所求。,F,A,K,,作圖過程,,2,?,,1,a,?,e,,a,f,?,e,?,1,?,2,,2,?,,1,P,V,a,?,e,f,a,f,?,e,?,1,?,2,k,?,k,直角三角形法求,SC,KA,即,A,到,EF,的距離,f,,§5-4,關(guān)于空間幾何元素間的一些綜合問題,一、,量度問題,,1.,實(shí)長和實(shí)形,,,⑴ 直線段的實(shí)長,,⑵ 平

27、面圖形的實(shí)形,,,2.,有關(guān)距離的量度,,⑴ 兩點(diǎn)之間的距離,,⑵ 點(diǎn)到直線的距離、兩平行線間的距離,,⑶ 點(diǎn)到平面、相互平行的直線和平面之間的距離、兩平行平面間的距離,,,⑷,相叉二直線的最短距離,,3.,有關(guān)角度的量度,,⑴ 直線對投影面的傾角,,⑵ 直線對投影面的傾角,,⑶ 相交二直線的夾角,,⑷ 直線與平面的夾角,,⑸ 兩平面間的夾角,,,(1),實(shí)長與實(shí)形,,求線段的實(shí)長采用直角三角形法,,求平面圖形的實(shí)形可以將圖形劃分為三角形，求每個(gè)三角形的實(shí)形，進(jìn)而求出平面圖形的實(shí)形。,?,|,z,A,-z,B,,|,AB,X,a,?,a,b,?,,b,,P,P,H,點(diǎn)到投影面垂直線的距離,點(diǎn)

28、到投影面平行線的距離,點(diǎn)到一般位置線的距離,兩,平行的直線之間的距離,A,B,a(b,),K,k,L,(l),H,L,l,K,k,B,a,A,b,（,2,）點(diǎn)到直線的距離,KL,M,K,L,M,1,M,2,K,L,V,H,P,H,K,k,P,L,l,A,D,C,B,E,L,K,(3),點(diǎn),到,平面的距離,點(diǎn)到投影面垂直面的距離,點(diǎn)到一般位置平面的距離,點(diǎn)到平面的距離,L,K,P,M,K,L,Q,P,K,L,平行的直線與平面間的距離,,兩,平行平面之間的距離,P,Ｈ,M,M,1,(4),交叉二直線的最短距離,其中之一為投影面垂直線,k,L,l,K,公垂線,距離,Ｈ,M,M,1,k(l,),K,,

29、L,二者均為同一投影面的平行線,交叉二直線的最短距離,交叉二直線的最短距離及公垂線,M,M,1,M,P,P,M,M,1,M,P,距離,公垂線,距離,距離,距離,L,K,V,H,W,H,H,P,E,S,C,D,a,α,A,直線對投影面的傾角,相交二直線的夾角,平面對投影面的傾角,A,C,B,3,有關(guān)角度的量度,直線與平面的夾角,兩,平面之間的夾角,P,B,A,P,Q,φ,A,B,,ω,α,β,γ,φ,b,P,K,θ,a,P,C,θ,δ,K,φ,E,D,(4),交叉二直線的最短距離,交叉二直線的最短距離及公垂線,,,二、定位問題,:,線與平面、平面與平面的相交問題。,,三、解決綜合題的一般步驟,,

30、,1.,分析,,,2.,作圖,,,3.,檢查、討論,,四、綜合舉例,,,,過點(diǎn),E,作,直線,EF,與已知直線,AB,、,CD,均相交。,已知條件,相對位置關(guān)系分析,軌跡分析,實(shí)際解題方案,例題：已知三角形,ABC,的,BC,邊屬于,MN,，,分別以,AB,為斜邊和直角 邊作出三角形,ABC,的投影。,b,a′,b′,m′,n′,a,m,n,以,AB,為斜邊，實(shí)際上就是,C,角為直角，,MN,為水平線，則，在,H,面上可以直接求出,C,點(diǎn)。,c,c,′,,例題：已知三角形,ABC,的,BC,邊屬于,MN,，,分別以,AB,為斜邊和直角 邊作出三角形,ABC,的投影。,,如果以,AB

31、,為直角邊，則,AC,┴AB,，過,A,點(diǎn)作,一,AB,的垂面，與,MN,的交點(diǎn)即為,C,點(diǎn)。,b,a′,b′,m′,n′,a,m,n,,作一直線,MN,與相叉直線,AB,和,CD,相交，并平行于直線,EF,。,,,,,x,o,e,a,b,d,c,f,e′,f′,a′,b′,c′,d′,n,n′,原題,分析,作圖,作圖思路：,,含交叉二線之一（,AB,或,CD,） 作,直線,EF,的平行平面,,求此平面與交叉二線中的另一直線（,CD,或,AB,）,的交點(diǎn),,過此交點(diǎn)作直線,EF,的平行線,P,V,m,m′,C,求作以,AB,為底，頂點(diǎn),C,屬于直線,MN,的等腰三角形,ABC,,。,a,b,m

32、,n,a,′,b′,m′,n′,x,o,,原題,分析,,作圖思路：,,作等腰△,ABC,底邊的中垂面,,求此中垂面與頂點(diǎn)所在直線,MN,的交點(diǎn),,連接該交點(diǎn)和底邊兩端點(diǎn),作圖,c′,c,P,V,,作一平面,P,，,使其與△,ABC,平行，且距△,ABC,為定長,L,,。,原題,,k,k′,e,e′,f,f′,分析,c,a,b,c,c′,a′,b′,x,o,a,b,L,b′,a′,c′,x,o,作圖思路：,,過平面上的已知點(diǎn)作平面的法線,,在此法線上從已知點(diǎn)截取定長獲得距平面為定長的端點(diǎn),,過此端點(diǎn)作平面平行于已知面,d,L,d′,,例題,﹕,,已知點(diǎn),K,到△,ABC,距離為定長,L,，求,k

33、,,。,L,,d,d′,L,o,a,b,c,c′,a′,b′,x,,k′,,k,e′,e,1,、,用上例的方法獲得法線上定長端點(diǎn)再與已知點(diǎn),K,連線平行于已知平面,,∵,平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角。,例題,,已知點(diǎn),K,到△,ABC,距離為定長,L,，求,k,,。,2,、,利用平面法線對投影面的傾角與平面相應(yīng)的傾角互余，即與平面相應(yīng)的最大斜度線對同一投影面的傾角互余,L,b,c,c′,b′,x,o,k,′,a′,a,β,b,為,平面,ABC,對,V,面的傾角,β,1,b,1,為,平面,ABC,的,法線,對,V,面的傾角,法線的,V,投影長度,法線的,Y,坐標(biāo)差,(,

34、法線,),k,β,1,L,投影作圖步驟,﹕,利用對,V,面的最大斜度線求出,b,角,.,2,、,90°,–,,b,﹦,b,1,3,、,由法線的實(shí)長,L,及,b,1,，,用直角△法求出,法線的,V,投影長度和法線的,Y,坐標(biāo)差,作業(yè)評講,,求,K,點(diǎn)到平面的真實(shí)距離,b′,a′,c′,b,a,c,k′,k,Q,H,TL,,1,3,2,1′,2′,3′,a,b,a′,c,d,c′,b′,d′,求作以,AB,為邊,并屬于△,ⅠⅡⅢ,的正方形,ABCD,。,作圖思路,,在△,ⅠⅡⅢ,上取線，確定,a′ b′,及其鄰邊的方向,,確定鄰邊,AD,,作對應(yīng)邊的平行線，完成正方形,ABCD,。,,,c,a,b

35、,a′,b′,c′,a,b,a′,b′,c′,c,例,,已知,AB⊥BC,，求,bc,。,包含,AB,做,BC,的垂面，,BC,垂直于平面上所有的線。,利用平面法線的投影特性,過點(diǎn),B,作,AB,的垂面，,BC,屬于該平面,。,再在平面內(nèi)取點(diǎn),作菱形,ABCD,，使,AB//MN,，點(diǎn),A,屬于直線,I II,，,BC,屬于直線,III IV,，,完成其,H,、,V,面投影。,m′,n′,m,n,1′,2,′,1,2,3,4,3,′,4′,b,b′,a,′,a,sc,c,c′,d′,d,作圖思路：,,包含,ⅠⅡ,作一個(gè)平面與,MN,平行,,求該平面與,ⅢⅣ,的交點(diǎn)，即,B,點(diǎn)。,,作,AB//

36、MN,得,AB,的投影。求,AB,實(shí)長，用定比的方法，根據(jù)實(shí)長求得,C,點(diǎn)的投影。,,根據(jù)平行四邊形作出,D,點(diǎn)的投影。,,d,?,e,?,d,e,作屬于,?,,A,BC,的直線,FG,與直線,DE,垂直相交。,f,?,a,?,c,a,c,?,b,?,b,,,P,H,f,Qv,g,g,?,,SC,DF,求直線,DE,與,?,ABC,的夾角,θ,b′,c′,a′,d′,e′,b,a,c,d,e,f′,f,SC,DE,SC,DF,SC,FE,φ,θ,SC,FE,,本章要點(diǎn),,（,一）平行問題,,,1,熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；,2,熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。,

37、,（二）相交問題,,,1,熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和作兩個(gè)面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。,2,熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。,3,掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見性的方法。,,（三）垂直問題,掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。,,（四）點(diǎn)、線、面綜合題,,1,熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法；,2,能對一般畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。,c,P16,習(xí),5-6,（左） 求兩平面的交線并判別可見性。,P,H,Q,H,k′,l′,k,l,a,b,a′,b′,c′,1,2,3,1′,2′,3′,分析 不選,BC,、,ⅠⅡ,、,ⅠⅢ,作業(yè)講評,,求兩平面的交線并判別可見性。,1,2,3,1′,2′,3′,a,b,c,a′,b′,c′,k′,l′,k,l,P,H,Q,V,R,V,k′,l′,k,l,,,,,分析 不選,AB,、,ⅡⅢ,作圖,檢查、討論,作業(yè)講評,