48高階導(dǎo)數(shù)與高階微分講解

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,*,第八節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分,一、高階導(dǎo)數(shù)的定義,二、,高階導(dǎo)數(shù)求法舉例,三、高階微分,12/4/2024,1,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,一、高階導(dǎo)數(shù)的定義,問題:,變速直線運動的加速度.,定義,記作,12/4/2024,2,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為,高階導(dǎo)數(shù),.,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),12/4/2024,3,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例,例1,解,1.直接法:,由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).,12/4/2024,4,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例2,解,同理可得,12/4/2024,5,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例3,解,同理可得,12/4/2024,6,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例4,解,特殊地,12/4/2024,7,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例5,解,留意,求,n,階導(dǎo)數(shù)時,求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出,n,階導(dǎo)數(shù).(,數(shù)學(xué)歸納法證明,),12/4/2024,8,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例6,解,12/4/2024,9,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,2.高階導(dǎo)數(shù)的運算法則:,萊布尼茲公式,12/4/2024,10,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例7,解,12/4/2024,11,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,3.間接法,常用高階導(dǎo)數(shù)公式,利用的高階導(dǎo)數(shù)公式,通過四則,運算,變量代換等方法,求出n階導(dǎo)數(shù).,12/4/2024,12,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例8,解,12/4/2024,13,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例1,解,隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,直接對方程兩邊對x逐次求導(dǎo),(y是x的函數(shù)),最終解出y的高階導(dǎo)數(shù).,12/4/2024,14,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,12/4/2024,15,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例2,解,12/4/2024,16,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù),12/4/2024,17,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例1,解,12/4/2024,18,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,12/4/2024,19,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例3,設(shè) 連續(xù)，,求 .,不一定存在,故用定義求,解,12/4/2024,20,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,12/4/2024,21,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例3,例4,12/4/2024,22,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例5,12/4/2024,23,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,一階微分的定義,三 高階微分,12/4/2024,24,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,若 可微時，稱它的微分,為,y,的,二階微分,，記為 .當(dāng) 可微時，,一般地，當(dāng),y,的,n,-1,階微分 可微時，,為,y,的,三階微分,，記為,稱它的微分,二階微分：,n階微分：,稱n-1階微分的微分稱為n階微分，記作,高階微分：,二階以及二階以上的微分統(tǒng)稱為高階微分。,1,高階微分的定義,12/4/2024,25,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,2.高階微分的求法,用同樣的方法，得,這里,dx,的是x處的產(chǎn)生的增量,與變量x無關(guān),視作常數(shù),即,y,的,n,階微分等于它的,n,階導(dǎo)數(shù)乘上自變量的微分,的,n,次方.,12/4/2024,26,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,但對于復(fù)合函數(shù)我們就不能得出這一公式,這時才回能到前面導(dǎo)出的公式,這里 當(dāng)u的是自變量x時,這事實也說明高階導(dǎo)數(shù)不具有形式不變性,所以,12/4/2024,27,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,對于復(fù)合函數(shù)我們就不能得出,留意這里記號,如n=2時,應(yīng)有,表示不同含義,不能混淆.,12/4/2024,28,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例1,求 的二階微分.,解:,所以,若把 看成是由 復(fù)合而成的函數(shù)，,則,所以,且,12/4/2024,29,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,例2 設(shè) 分別依公式（1）、,（2）求,解 由 得,依公式（1）得,類似地，依公式（2）得,12/4/2024,30,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,三、小結(jié),高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;,高階導(dǎo)數(shù)的運算法則(萊布尼茲公式);,n,階導(dǎo)數(shù)的求法：,1.直接法;,2.間接法.,12/4/2024,31,福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,