曲線的凹凸與拐點(diǎn)

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,6.4,曲線的凹凸與拐點(diǎn),前面我們介紹了函數(shù)的單調(diào)性和極值，這對(duì)于了解函數(shù)的性態(tài)很有幫助，但僅知道單調(diào)性還不能比較全面地反映出曲線的性狀，還須要考慮彎曲方向。,o,y,x,L,3,L,2,L,1,A,B,如右圖所示L,1,，L,2，,L,3,雖然都是從A點(diǎn)單調(diào)上升到B點(diǎn)，但它們的彎曲方向卻不一樣。,L,1,是“,凹(,上凸)”弧，L,2,是“,凸,(,下凸,)”弧,，,L,3,既有凸弧，也有凹弧，這和我們?nèi)粘Ａ?xí)慣對(duì)凹凸的稱呼是不一致的。,1,K,切,=f(x)0 y,單調(diào)遞增,凡呈凸型的弧段其切線總位于曲線的下方.,凡呈凹型的弧段其切線總位于曲線的上方.,K,切,=f(x)0 y,單調(diào)遞減,x,0,y,0,p,x,0,y,0,y=f(x),p,x,y,y,x,o,o,幾何特征,y=f(x),連續(xù)曲線的凹弧段與凸弧段有分界點(diǎn).,2,一、曲線凹凸的定義,問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧段位,于所張弦的上方,(凹函數(shù)),圖形上任意弧段位,于所張弦的下方(凸函數(shù)),3,的值分別是,4,定義,2,5,.定義:,若曲線,y=f(x),在某區(qū)間內(nèi)位于其切線的,上方,.則稱該曲線在此區(qū)間內(nèi)是,凸,的,此區(qū)間稱為,凸,區(qū)間,.若曲線位于其切線的,下方,則稱該曲線在此區(qū)間內(nèi)是,凹,的,此區(qū)間稱為,凹,區(qū)間,.,x,y,o,1,2,3,a,b,x,y,o,1,2,3,曲線的凹凸與拐點(diǎn),a,b,幾何特征,凸,型曲線,:,切線的斜率隨著X的增大而增大.,凹,型曲線,:,切線的斜率隨著X的增大而減小.,x,1,x,2,x,3,x,1,x,2,x,3,6,定理,1,定理,1,可根據(jù)定義進(jìn)行,證明，下面證明定理,1,.,二、曲線凹凸的判定,7,定理2,8,證明,分別應(yīng)用L定理，得,兩式相減，得,由假設(shè),9,這就證明了,同理可證（1）,注,定理的結(jié)論可推廣到任意區(qū)間上,例1,解,注意到,10,三、曲線的拐點(diǎn)及其求法,1.定義,注意,:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線.,2.拐點(diǎn)的求法,證,11,方法1:,12,例2,解,凸的,凹的,凸的,拐點(diǎn),拐點(diǎn),13,14,方法2:,例3,解,15,注意:,16,二階導(dǎo)數(shù)變號(hào),，,例5,解,17,例6,求曲線,的拐點(diǎn),解,18,是拐點(diǎn),例7,Jensen,不等式,證,由Taylor公式，得,19,各式乘以,再相加，得,=1,=1,20,思考題,21,思考題解答,例,22,小結(jié):,作業(yè):,1.如何來(lái)研究函數(shù)的凹凸性.,2.凹與凸的定義,拐點(diǎn)的定義.,3.凹與凸的判定.,P153:,1,2,3,4,5.,23,