線性代數(shù)智能化教學(xué)系統(tǒng)第3節(jié)

Click to edit Master title style,,Click to edit Master text styles,,Second level,,Third level,,Fourth level,,Fifth level,,*,,*,第 4.3 節(jié) 相似矩陣,,,相似矩陣的概念,相似矩陣的性質(zhì),,可對(duì)角化的條件,則稱,矩陣,A,相似于矩陣,B,.,,相似矩陣的概念,,設(shè),A,,,B,為,n,階矩陣,,P,為,n,階可,逆矩陣, 且,P,-1,AP,=,B,,,對(duì),A,進(jìn)行運(yùn)算,P,-1,AP,稱為對(duì),A,進(jìn)行,相似變換,，,可逆矩陣,P,稱,為把,A,變成,B,的相似變換矩陣.,階矩陣.,相似矩陣具有下列的性質(zhì)：下設(shè),A,，,B,是同,,,若矩陣,A,與矩陣,B,相似, 則,det,A,,= det,B,,.,,,若矩陣,A,與 矩陣,B,相似, 且矩陣,A,可逆, 則矩陣,B,也可逆, 且,A,-1,與,B,-1,相似.,即,A,與,B,有相同的特征多項(xiàng)式,.,,,若矩陣,A,與矩陣,B,相似, 則,|,A,-,?E,| = |,B,-,?E,| ,,A,與,B,有相同的特征值,.,,,若矩陣,A,與矩陣,B,相似, 則,其中,tr(,AB,)表示,AB,的跡,.,,設(shè),A,與,B,都是 n 階矩陣，則,tr(,AB,),=,tr(,BA,),，,,相似矩陣有相同的跡．,題是：,既然相似矩陣具有這么多性質(zhì)，而形式很簡單,的矩陣又是對(duì)角矩陣，所以下面要討論的主要問,對(duì),n,階矩陣,A,，尋求相似變換矩陣,P,，使,于對(duì)角矩陣，則稱矩陣,A,可對(duì)角化,．,P,–1,AP,,=,,?,,為對(duì)角矩陣．,如果,n,階矩陣,A,能相似,,n,階矩陣,A,相似于對(duì)角矩陣,?,的充要條件是,A,有,n,個(gè)線性無關(guān)的特征向量,.,4.3.2 矩陣可對(duì)角化的條件,,p,m,線性無關(guān).,,設(shè),,?,1,,,?,2,, … ,,?,m,是方陣,A,的,m,個(gè),特征值,,p,1,,,p,2,, … ,,p,m,依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向,如果,?,1,,,?,2,, … ,,?,m,各不相等,,則,p,1,,,p,2,, … ,,量.,,例 1,設(shè)有矩陣,(1),問矩陣,A,是否可對(duì)角化, 若能, 試求可逆,矩陣,P,和對(duì)角矩陣,,?,, 使,P,-1,AP,=,?,.,,(2),使,P,-1,AP,=,?,成立的,P,、,?,是否唯一，,舉例說明,.,,例 2,,設(shè),問,x,為何值時(shí)，矩陣,A,能對(duì)角化？,4.3.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣,在矩陣中，有一類特殊矩陣－實(shí)對(duì)稱矩陣,是一定可以對(duì)角化的，并且對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣,A,，,不僅能找到一般的可逆矩陣,P,，使得,P,-1,AP,為,對(duì)角矩陣，而且還能夠找到一個(gè)正交矩陣,T,，,使得,T,-1,AT,為對(duì)角矩陣．,在這里我們不加證明,地給出這些結(jié)果．,,實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù),.,,設(shè),A,為,n,階對(duì)稱矩陣, 則必有正交,矩陣,P,, 使,P,-1,AP,=,?,, 其中,?,是以,A,的,n,個(gè)特征,值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.,n,1,+,n,2,+ … +,n,s,=,n,.,對(duì)稱矩陣對(duì)角化的步驟,Step1,：,求出矩陣,A,的所有特征值，設(shè),A,有,s,個(gè)不同的特征值,?,1,，,?,2,，… ，,?,s,，它們,的重?cái)?shù)分別為,n,1,，,n,2,，…，,n,s,,,,,Step2 :,對(duì),A,的每個(gè)特征值,?,i,,求(,A,-,?,i,E,),x,=0,的基礎(chǔ)解系, 設(shè)為,i,= 1, 2, … ,,s,.,，以這些向量為列構(gòu),并把它們正交化、單位化，仍記,為,造矩陣,上的元素(,A,的特征值 ) 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.,則,P,為正交矩陣，且,P,-1,AP,=,?,.,要注意矩陣,P,的列與對(duì)角矩 陣,?,主對(duì)角線,,例 3,,設(shè),求正交矩陣,P,, 使,P,-1,AP,為對(duì)角矩陣.,