自考第1.1復數(shù)及其運算

單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,1,作業(yè),18,頁習題,1,1.,2.(1),(3),(5),(6),4,2,第一章,復數(shù)與復變函數(shù),一、復數(shù)的表示法,1.1,復數(shù),二、復數(shù)的運算,3,一、,復數(shù)的表示法,虛數(shù)單位,方程,的根是,是兩個實數(shù),稱為,復數(shù),為,的,實部,為,的,虛部,的,共軛,復數(shù),時,為,實數(shù),時,為,純,虛數(shù),1.,復數(shù)的定義,4,例如,2.,復數(shù)的,幾何,表示,任何一個,復數(shù),對應平面上的一個,點,軸上的點,軸,稱為,實,軸,軸上的點,軸,稱為,虛,軸,整個平面,或,z,平面,O,任何一個,復數(shù),一一對應一個向量,可以用向量,來表示,向量的,長度,稱為,z,的,模,或,絕對值,記為,時,以正實軸為始邊,向量,為終邊,的角的弧度數(shù),稱為,z,的,輻角,記為,任何一個非零,復數(shù),有無窮多個,輻角,把滿足,的,稱為輻角的,主值,記為,為整數(shù),對應一個,實,數(shù),對應一個,純虛,數(shù),稱為,復,平面,5,3.,輻角,主值,的算法,零,沒有輻角,O,時,時,時,時,時,時,6,歐拉公式,為實數(shù),為整數(shù),7,4.,復數(shù)的三角指數(shù)表示,設,復數(shù),O,模,輻角主值,稱為復數(shù),稱為復數(shù),例,1,設,求,解,的,三角,式,和,指數(shù),式,的,三角,表示式,的,指數(shù),表示式,8,求下列復數(shù)的三角式、指數(shù)式,9,5.,無窮遠點與擴充復平面,球面,S,與復平面切于原點,O,ON,為球面的直徑,南極,北極,復平面,對于復平面內(nèi)任何一點,z,直線段,Nz,必,相交于球面一點,P,對于球面上異于,N,的一點,P,，,直線,NP,必,相交于復平面一點,z,任何一個復數(shù)可以用,復平面內(nèi)一個點表示,因此復平面內(nèi)的點,z,一一對應球面上,也可以用球面上,若,則,我們規(guī)定,模為,的復數(shù),對應著復平面的無窮遠點,對應著球面上的點,N,用球面上的點,N,表示,復數(shù),含有,無窮遠點的平面,稱為,擴充,復平面,不含有無窮遠點的平面,稱為有限復平面,簡稱為復平面,不同于,N,的點,P,不同于,N,的點,P,表示,10,二、復數(shù)的運算,設,(1),相等,若兩個復數(shù)的,實部,和,虛部,分別相等,則稱這兩個復數(shù)相等,且,且,(2),加法,(3),減法,11,(4),乘法,設,容易證明,例如,12,乘法的幾何意義,設,任何兩個復數(shù),等于它們模,任何兩個復數(shù),等于它們輻角的,和,特別設,則,則,復數(shù),z,得到復數(shù),旋轉,特別,乘積,的模,的,乘積,乘積,的輻角,13,課本第,5,頁例,1.3,已知,正,三角形的兩個頂點為,求其第三個頂點,解,或,第三個頂點為,或,14,(5),倒數(shù),設,15,(6),除法,設,例,1,設,則,16,課本第,7,頁例,1.6,設,求,的三角式指數(shù)式,解,三角式,指數(shù)式,17,除法的幾何意義,設,任何兩個復數(shù),商,的模,等于它們模的,商,任何兩個復數(shù),商,的輻角,等于它們輻角的,差,18,(7),乘方,設,為正整數(shù),則,19,課本,7,頁例,1.7,設,為實數(shù),若,則,為實數(shù),證明,由條件得,代入得,例如,課本第,6,頁例,1.5,設,n,為自然數(shù)，,20,例,2,求,解,例,3,求,解,21,(8),開方,如果,設,則,稱為,的,n,次,方根,則,其中,時,的,n,次方根,共有,n,個不同的值,22,例,4,求,解,23,例,5,求方程,的所有根,解,方程的所有根為,24,18,頁,11,試證,三點共直線,證明,因此,由,順時針,旋轉,180,度,再乘以,得到,故,三點共直線,25,18,頁,11(2),試證,四點共圓周,證明,其中四點在以,為中心、,為半徑的圓周上,根據(jù)條件得到,在虛軸上取一點,則,的距離為,的距離為,若,的距離為,則,于是,與,的距離為,條件中四點在以,為中心、,為半徑的圓周上,其中,26,補充例,1,如果,證明,證,上面兩式相加得到,上面兩式相減得到,27,補充例,2,若,試求,n,的值,解,同樣,由條件得到,其中,k,為整數(shù),