離散時間信號的傅立葉變換(DTFT)-數(shù)字信號處理

單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,2.2.1 DTFT定義,離散時間序列的傅立葉變換,是的連續(xù)函數(shù)，且是周期的，周期為2。,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,四種形式的傅立葉變換,1）連續(xù)、非周期x（t）,連續(xù)、非周期,2）連續(xù)、周期x（t）,離散、非周期,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,3）離散、非周期x（n）,連續(xù)、周期,4）離散、周期,離散、周期,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,總結(jié)：若x在時域是周期的，那么在頻域X一定是離散的，,若x在時域是非周期的，那么X一定是連續(xù)的。,第四種變換在時域和頻域都是離散的，且都是周期的，周期都為N點，在計算機上能方便地利用DFT來實現(xiàn)信號的頻譜分析。,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,時域卷積定理：,y(n)=x(n)*h(n),頻域卷積定理：,若 y(n)=x(n)h(n)，則,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,Parseval（巴塞伐）定理：,信號在時域的總能量等于其頻域的總能量，頻域,的總能量等于,在一個周期內(nèi)的積分。,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,2.DTFT的反變換公式,傅立葉系數(shù)展開式為,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,Wiener-khinchin（維納-辛欽）定理：,若,x(n)是功率信號，其自相關(guān)函數(shù)的定義為：,功率信號x(n)的功率譜,為：,2.2 離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,此式稱為確定性信號的維納-辛欽定理，它說明功,率信號x(n)的自相關(guān)函數(shù)和其功率譜是一對傅立,葉變換,信號的總功率,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,小結(jié)：不管x(n)是實信號還是復信號，其功率譜 始終是的實函數(shù)，即功率譜失去了相位信息。,2.2.2 信號截短對DTFT的影響,例：將一個n=-+的無限長信號x(n)截短，最簡單的方法是用一個窗函數(shù)去乘該信號，若所用的窗函數(shù)為矩形窗，即,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,那么，x,N,(n)=x(n)d(n),實現(xiàn)了對x(n)的自然截短。,解：先研究d(n)的頻譜特點：,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,即：,記,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,可理解為 的增益，可正可負，當,=0時，當N/2=k時，=2k/N,時，在=0兩邊第一個過零點間的,部分稱為 的主瓣，對矩形窗來說，該主瓣寬,度B=4/N，主瓣以外部分（|2/N）稱為,的邊瓣，顯然，N增大時，主瓣寬度B減小，,當N,時，,趨于（），這時相當于對信,號沒有截短。,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,若xN(n)=x(n)d(n)，那么,卷積的結(jié)果是 的主瓣對 起到了“平滑”,的作用，降低了,中譜峰的分辨能力。,加窗對頻域分析帶來的另一個影響是頻譜泄露,（leakage）,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,例如：假設(shè)x(n)為兩個正弦信號之和，那么起頻,譜在,1,，,2,處各有一個譜線，若 的主瓣寬,度4/N大于|,2,-,1,|，那么在 中將分辨,不出這兩根譜線，這是由于窗函數(shù)d（n）過短，,而使其頻譜的主瓣過寬，邊瓣過大所引起的，若,增加數(shù)據(jù)長度N，使4/N|2-1|，那么，,這兩個譜峰可分辨出。,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,例：令,即 是頻域的矩形函數(shù)，所以，對應的 x(n),為 sinc 函數(shù)，現(xiàn)對x(n)用矩形窗d（n），,n=0，30來截短，試分析截短后對x(n)頻譜的,影響。,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,解：記 xN(n)=x(n)d(n),從結(jié)果可以看出，在,原來為零的位置,|04）處以,不再為零，,這是由于不再,零，這是由于,的邊瓣所產(chǎn)生的，這種現(xiàn)象稱,為頻譜的泄露。,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,邊瓣越大，且衰減得越慢，泄露就越嚴重，在頻,譜分析中，泄露往往會模糊原來的形狀，窗函數(shù),過大的邊瓣有可能產(chǎn)生虛假的峰值，這些都是不,希望的。,但在實際工作中，對信號的截短是不可避免的，,因此總要使用窗函數(shù)，一般要求，窗函數(shù)的主瓣,越窄越好，邊瓣越小并衰減得越快越好。,2.2離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）,漢明窗、漢寧窗,