8.2--消元——二元一次方程組的解法

,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,8.2.2,消元,解二元一次方程組,（加減消元法）,主要步驟：,基本思路,:,4,、寫解,3,、求解,2,、代入,把變形后的方程代入到另一個方程中，消去一個,元,分別求出,兩個,未知數(shù)的值,寫出,方程組,的解,1,、變形,用含有,一個未知數(shù),的代數(shù)式表示,另一個未知數(shù),寫成,y=ax+b,或,x=ay+b,消元,:,二元,1,、解二元一次方程組的基本思路是什么？,2,、用代入法解方程的步驟是什么？,一元,復(fù)習(xí)：,解法一：設(shè)勝,x,場，負(fù),y,場，則有,x+y=10,2x+y=16,籃球聯(lián)賽中，每場都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場得,2,分，負(fù)一場得,1,分，某隊(duì)為了爭取較好的名次，想在全部的,10,場比賽中得到,16,分，那么這個隊(duì)勝負(fù)應(yīng)該分別是多少？,新課導(dǎo)入,x+y=10,2x+y=16,這兩個方程中未知數(shù),y,的系數(shù)相同,-,可消去未知數(shù),y,得,把,x=6,代入,得,y=4.,-,也能消去,未知數(shù),y,求得,x,嗎,?,像這樣,通過對方程組中的兩個方程進(jìn)行加或減的運(yùn)算就,可以消去一個未知數(shù),得到一個一元一次方程,這種方法叫做,加減消元法,簡稱,加減法,.,x=6,（,-,等式性質(zhì)）,聯(lián)系上面的方法,想一想應(yīng)怎樣解方程組,4x+10y=3.6,15x-10y=8,解,:+,得,19x=11.6,x=,二元一次方程組,4x+10y=3.6,15x-10y=8,一元一次方程,19x=11.6,x=,y=,把,x=,代入,得,y=,這個方程組的解為,x=,y=,+,同減異加,歸納,:,我們發(fā)現(xiàn),如果二元一次方程組的兩個方程中,某個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù),就可以直接用,加減法顯得非常簡便,.,例,1.,用加減法解下列方程組,:,(1),4x+y=2,4x-3y=-6,解,:(1)-,得,4y=8,y=2,把,y=2,代入方程,得,x=0,3x +7y =27,4x -7y =,13,(2),解：,+,，得,7x =14,把,x =2,代入，得,3 2+7y =27,y=3,所以原方程組的解是,x =2,y =3,所以原方程組的解是,x =0,y =2,(1)2-,得,4x=5,x=1.25,把,x=1.25,代入,得,y=-2.375,3x+2y=-1,2x+4y=-7,(1),所以,原方程組的解為,x =1.25,y =-2.375,例,2:,(3),7x+3y=36,2x+9y=51,系數(shù)的絕對值成倍數(shù)關(guān)系：,歸納：當(dāng)兩個方程中某個未知數(shù)的,系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時,我們也可以用加,減法,只不過在加或減之前,可先將一,個方程變形成與另一個方程中相同,未知數(shù)的系數(shù)相同,這樣就可以達(dá)到,消元的目的,.,看一看下面這個例子,我們又該如何解決呢,?,3x+4y=16,5x-6y=33,能用加減法做嗎,?,怎么做呢,?,試試看,!,解：,3,，得：,9x+12y=48,2,，得：,10 x-12y=66,十，得：,19x=11,x=6,把,x=6,代入,得,3x6+4y=16,y=-1/2,所以原方程組的解為,x=6,y=-1/2,例,3:,例,4:,用加減法解方程組,4x,5y=23 ,5x,2y=4 ,解：,2,，得,8x,10y=46 ,5,，得,25x,10y=20 ,，得,33x=66 x=2,把,x=2,代入，得,52,2y=4,，,y=3,所以這個方程組的解是,x=2,y=3,（,1,）,(2),加減法歸納：,用加減法解同一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值不相等，且不成整數(shù)倍的二元一次方程組時，把一個（或兩個）方程的兩邊乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個方程中某一未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，從而化為第一類型方程組求解,解：原方程組變形為,，得：,2y=2 y=1,把,y=1,代入，得,x=2,例,5,用加減法解方程組,2,（,2x+1,）,=15,5y,3,（,y+1,）,=14-4x,4x+5y=13,4x+3y=11,x=2,y=1,所以原方程組的解是,解：由,6,，得,3x+2y=9,由,15,，得,5x-3y=15,例,6,用加減法解方程組,組成一個新的方程組：,3x+2y=9 ,5x-3y=15 ,3,，得,9x,6y=27 ,2,，得,10 x,6y=30,，得,19x=57 x=3,把,x=3,代入，得,33,2y=9,y=0,所以原方程組的解是,x=3,y=0,對于,較復(fù)雜的二元一次方程組,，,應(yīng)先化簡,(,去分母,去括號,合并同類項(xiàng)等,),，通常要把每個方程整理成,含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊,，,常數(shù)項(xiàng)在方程的右邊,的形式，再作加減消元的考慮。,注意：,復(fù)雜方程先化簡,基本思路,:,主要步驟：,加減消元,:,二元,一元,加減消元法解方程組基本思路是什么？主要步驟有哪些？,處理系數(shù),同一個未知數(shù)的系,數(shù)變成相同或相反的數(shù),代入,求值,2,寫解,寫出方程組的解,加,/,減,求值,1,解方程組,：,解：原方程組可化為：,2x+3y=4,2x,-,y=8,由,-,得,:y=,-,1,所以原方程組,的解是,把,y=,-,1,代入,，,解得,:,方法,1,：,由,得,:y=,2x-8,把,代入,，得,:,2x+3(,2x-8),=4,x=7/2,把,x=7/2,代入,得,y=-1,方法,2,：,主要步驟：,基本思路：,寫解,求解,加減,二元變一元,加減消元：,消去一個元,求出兩個未知數(shù)的值,寫出方程組的解,加減消元法解方程組基本思路和主要步驟：,變形,同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù),每個二元一次方程組均可采用代入法和加減法求解，但在解題中,要根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選用最恰當(dāng)?shù)姆椒?，使?jì)算過程更簡便。,當(dāng)化簡后的方程組存在一個方程的某個未知數(shù)系數(shù)的絕對值是,1,或,有一個方程的常數(shù)項(xiàng)是,0,時，用代入法；當(dāng)兩個方程中某個未知數(shù),的絕對值相等或整數(shù)倍時，用加減法。,例,7,：,2,臺大收割機(jī)和,5,臺小收割機(jī)工作,2,小時收割小麥,3.6,公頃，,3,臺大收割機(jī)和,2,臺小收割機(jī)工作,5,小時收割小麥,8,公頃，,1,臺大收割機(jī)和,1,臺小收割機(jī),1,小時各收割小麥多少公頃？,解：設(shè),1,臺大收割機(jī)和,1,臺小收割機(jī),1,小時各收割小麥,x,公頃和,y,公頃,化簡，得：,，得：,11,x,=4.4,，,解得,x,=0.4,把,x,=0.4,代入中，得：,y,=0.2,所以原方程組的解是,答：,1,臺大收割機(jī)和,1,臺小收割機(jī),1,小時各收割小麥,0.4,公頃和,0.2,公頃。,例,8,：兩個完全相同的紙杯中盛有相同重量的水，現(xiàn)將第一個紙杯中的若干重量的水倒入第二個紙杯中，稱得第一個紙杯重,50,克，第二個紙杯重,90,克（紙杯本身的重量忽略不計(jì)），問原來紙杯中各盛有多少克水？從第一個紙杯中倒了多少克水到第二個紙杯中？,解：設(shè)原來紙杯中盛有,x,克水，從第一個紙杯中倒入第二個紙杯中的水為,y,克，根據(jù)題意，得,x,y=50 ,x,y=90 ,得：（,x,y,）（,x,y,）,50,90,，,則有,2x,50,90,所以,x=70,或者：,得：（,x+y,）,（,x,y,）,90,50,，,則有,2y,40,所以,y=20,x,y=50 ,x,y=90 ,上述方程的另一種解法是：,例,9,已知方程組,與方程組,的解相同，求,a,，,b,的值,ax-by=4,ax+by=2,4x+3y=11,4x-5y=3,解方程組,得,解：,4x+3y=11,4x-5y=3,把,x=2,，,y=1,代入 得，,ax-by=4,ax+by=2,x=2,y=1,2a,b=4,2a,b=2,解得,a=1.5,b=,1,例,10,解關(guān)于,x,，,y,的方程組,4x+3ky+1=0 ,6y-4x=1 ,解,：,+,得（,3k+6,）,y=0,即（,2+k,）,y=0,（,1,）當(dāng),k,2,時，,y=0,（,2,）當(dāng),k=-2,時，則,k+2=0,，（,2+k,）,y=0,恒成立,原方程組有無數(shù)組解,把,y=0,代入，得,-4x=1,y=0,例,11,已知,4|5x,3y,23|,5,（,x,4y,8,）,2,=0,，求,x,y,的值,解：由題知，,5x+3y-23=0 ,x+4y,8=0 ,解這個方程組，得,x=4,y=1,所以,x,y=4,1=3,例,12,已知,4x,3a+b,3,+3y,2a-b,=2,，是關(guān)于,x,、,y,的二元一次方程，試求,a,、,b,的值,解：根據(jù)題意：得,3a+b,3=1,2a-b=1,解，得,a=1,b=1,解：由已知得,3x-2y-8z=0 ,2x+y-10z=0 ,例,13,已知：,3x-2y-8z=0,，,2x+y-10z=0,，且,x,，,y,，,z,均不為零，求 的值,解得,x=4z,y=2z,把,x=4z,，,y=2z,代入所求代數(shù)式，解得,例,13,當(dāng),x=2,與,x=,3,時，代數(shù)式,2x,2,+ax,b,的值都是,9,，求,a,，,b,的值,解：把,x=2,，,x=,3,代入,2x,2,+ax-b,，得,8,2a,b=9,18,3a,b=9,即,2a,b=1,3a,b=9,解，得,a=2,b=3,例,14 a,為何值時，方程組 的解互為相反數(shù)，并求它的值,2x-7y=9a,3x+4y=a-6,解：若方程組的解互為相反數(shù)，則有,y=-x,，將,y=-x,代入原方程組，得,2x+7x=9a,3x-4x=a-6,解，得,x=3,a=3,當(dāng),a=3,時，原方程組中的解互為相反數(shù)，,即,x=3,y=-3,例,15 m,，,n,為何值時，,5x,4m-n,y,3m+2n,與,3x,5,y,6m,是同類項(xiàng),解：根據(jù)同類項(xiàng)的定義，有,4m-n=5,3m+2n=6m,解，得,m=2,n=3,1,代入消元法解二元一次方程組,對于用代入法解未知數(shù)系數(shù)的絕對值不是,1,的二元一次方程組，解題時應(yīng)選擇未知數(shù)的系數(shù)絕對值比較小的一個方程進(jìn)行變形，這樣運(yùn)算簡便,課堂小結(jié),用加減法解二元一次方程組的思想：“二元”消元轉(zhuǎn)化為“一元”條件：某一未知數(shù)系數(shù)絕對值相等,2,用加減消元法解二元一次方程組,2,若（,x-2y,3,）,2,+,（,2x,y-3,）,2,=0,，則,x,、,y,的,值是,x=_,，,y=_,1,1,1,二元一次方程組 的解是,_,4x-y=5,5x+2y=10,x=0,y=,5,3,已知,x,y,5,（,2x,3y,10,）,2,=0,，則,x=_,，,y=_,1,4,隨堂練習(xí),4,己知：，則方程組,的解是,_,x=2,，,y=3,5,已知（,3m+2n-16,）,2,與,|3m-n-1|,互為相反數(shù)，,則,m+2n=_,12,6,若方程（,a,2,-9,）,x,2,+,（,2-4a,）,x+,（,a+4,）,y+,3a,5=0,是二元一次方程，則,a,的值為,3,7,已知,5a,3x,b,2x-y,和,-9a,8-y,b,7,是同類項(xiàng)，則,2xy=_,6,2,3,8,若方程組 與 方程組,同解，則,m=_,，,n=_,9,下列方程組中，,x=_,，,y=_,4,2,10,已知方程組 ，且,x+y=2,，,則,m,2,-2m+5,的值是,_,11,當(dāng),m,時，方程組 有一組解,8,12,已知方程組 ，且,y=3x,，則,m=_,1,13,己知 ，則,的值是,_,2,14,己知 ，則 的值是,_,2,15.,如果二元一次方程組,ax-by=1,3ax+2by=23,的解是,x=5,y=4.,求,a-b,的值,.,1,、若方程組 的解滿足,2x-5y=-1,，則,m,為多少？,2,、若,(3x+2y-5),2,+|5x+3y-8|=0,求,x,2,+y-1,的值。,x+y=8m,x-y=2m,