2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué)（人教A版必修四） 第二章 平面向量 第二章 章末檢測（B）（含答案）

第二章　平面向量(B) (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，則x的值是(　　) A．－6 B．6 C．9 D．12 2．下列命題正確的是(　　) A．單位向量都相等 B．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線 C．若|a＋b|＝|a－b|，則a·b＝0 D．若a與b都是單位向量，則a·b＝1. 3．設(shè)向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a與b的夾角大于90°，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－，2) B．(－∞，－)∪(2，＋∞) C．(－2，) D．(－∞，2)∪(，＋∞) 4．平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則·等于(　　) A．8 B．6 C．－8 D．－6 5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，則向量a與向量b的夾角是(　　) A. B. C. D. 6．關(guān)于平面向量a，b，c，有下列四個(gè)命題： ①若a∥b，a≠0，則存在λ∈R，使得b＝λa； ②若a·b＝0，則a＝0或b＝0； ③存在不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ使得c＝λa＋μb； ④若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)． 其中正確的命題是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，則向量a在向量b上的投影等于(　　) A．－4 B．4 C．－ D. 8．設(shè)O，A，M，B為平面上四點(diǎn)，＝λ＋(1－λ)·，且λ∈(1,2)，則(　　) A．點(diǎn)M在線段AB上 B．點(diǎn)B在線段AM上 C．點(diǎn)A在線段BM上 D．O，A，B，M四點(diǎn)共線 9．P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，＝(＋)，則△ABC的面積與△ABP的面積之比為(　　) A. B．2 C．3 D．6 10．在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，則m＋n等于(　　) A. B. C. D．1 11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，則a·(b＋c)等于(　　) - 2 - / 11 A．－ B．－ C．0 D. 12．定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面說法錯(cuò)誤的是(　　) A．若a與b共線，則a⊙b＝0 B．a(chǎn)⊙b＝b⊙a(bǔ) C．對任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．設(shè)向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，則λ＝________. 14．a(chǎn)，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b|＝________. 15．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直線l過點(diǎn)A(3，－1)，且與向量a＋2b垂直，則直線l的方程為________． 16．已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，設(shè)M是直線OP上任意一點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則·的最小值為________． 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)如圖所示，以向量＝a，＝b為邊作?AOBD，又＝，＝，用a，b表示、、. 18．(12分)已知a，b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2， 求：(1)(a－2b)·(a＋b)； (2)|a＋b|； (3)|3a－4b|. 19．(12分)已知a＝(，－1)，b＝，且存在實(shí)數(shù)k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb ，且x⊥y，試求的最小值． 20．(12分)設(shè)＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．在線段OC上是否存在點(diǎn)M，使MA⊥MB？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 21．(12分)設(shè)兩個(gè)向量e1、e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 22．(12分)已知線段PQ過△OAB的重心G，且P、Q分別在OA、OB上，設(shè)＝a，＝b，＝ma，＝nb. 求證：＋＝3. 第二章　平面向量(B) 答案 1．B　[∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.] 2．C　[∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b |a－b|2＝a2＋b2－2a·b |a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.] 3．A　[∵a與b的夾角大于90°，∴a·b<0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，即3m2－2m－8<0，∴－<m<2.] 4．A　[∵＝＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， ∴·＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.] 5．C　[∵a(b－a)＝a·b－|a|2＝2，∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝.] 6．B　[由向量共線定理知①正確；若a·b＝0，則a＝0或b＝0或a⊥b，所以②錯(cuò)誤；在a，b能夠作為基底時(shí)，對平面上任意向量，存在實(shí)數(shù)λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③錯(cuò)誤；若a·b＝a·c，則a(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正確，即正確命題序號是①④.] 7．A　[向量a在向量b上的投影為|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝－＝－4.] 8．B　[∵＝λ＋(1－λ)＝＋λ(－)∴＝λ，λ∈(1,2)，∴點(diǎn)B在線段AM上，故選B.] 9．C　[設(shè)△ABC邊BC的中點(diǎn)為D，則＝＝. ∵＝(＋)＝，∴＝，∴||＝||.∴＝3.] 10．B　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋故有m＋n＝＋＝.] 11．B　[由已知得4b＝－3a－5c，將等式兩邊平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化簡得a·c＝－.同理由5c＝－3a－4b兩邊平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－.] 12．B　[若a＝(m，n)與b＝(p，q)共線，則mq－np＝0，依運(yùn)算“⊙”知a⊙b＝0，故A正確．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a(bǔ)＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a(bǔ)，故B不正確．對于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正確．對于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正確．] 13．2 解析　∵a＝(1,2)，b＝(2,3)， ∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 14．7 解析　∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×(－)＝49. ∴|5a－b|＝7. 15．2x－3y－9＝0 解析　設(shè)P(x，y)是直線上任意一點(diǎn)，根據(jù)題意，有·(a＋2b)＝(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，整理化簡得2x－3y－9＝0. 16．－8 解析　設(shè)＝t＝(2t，t)，故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2 )2－8，故當(dāng)t＝2時(shí)，·取得最小值－8. 17．解?。剑絘－b.∴＝＋＝＋＝＋＝a＋b. 又＝a＋b.＝＋＝＋＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b. 18．解　a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4. (1)(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12. (2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a＋b|＝2. (3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19， ∴|3a－4b|＝4. 19．解　由題意有|a|＝＝2，|b|＝＝1. ∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b. ∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0.化簡得k＝. ∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.即t＝－2時(shí)，有最小值為－. 20．解　設(shè)＝t，t∈[0,1]，則＝(6t,3t)，即M(6t,3t).＝－＝(2－6t,5－3t)， ＝－＝(3－6t,1－3t)．若MA⊥MB，則·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0.即45t2－48t＋11＝0，t＝或t＝.∴存在點(diǎn)M，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)或. 21．解　由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角， 得<0， 即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0. 整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te<0.(*) ∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°. ∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1 ∴(*)式化簡得：2t2＋15t＋7<0.解得：－7<t<－. 當(dāng)向量2te1＋7e2與e1＋te2夾角為180°時(shí)，設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)． 對比系數(shù)得，∴ ∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是∪. 22. 證明　如右圖所示， ∵＝(＋)＝(a＋b)， ∴＝＝(a＋b)． ∴＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b. ＝－＝nb－ma. 又P、G、Q三點(diǎn)共線， 所以存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得＝λ. ∴(－m)a＋b＝λnb－λma， ∴(－m＋λm)a＋(－λn)b＝0. ∵a與b不共線， ∴ 由①②消去λ得：＋＝3. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！