二正態(tài)分布教案(一)

精品資源 人教B版選修二正態(tài)分布教案 教學目標 (1)通過實際問題，借助直觀(如實際問題的直方圖) ，了解什么是正態(tài)分布曲線和正 態(tài)分布； (2)認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義； (3)會查標準正態(tài)分布表， 求滿足標準正態(tài)分布的隨機變量 X在某一個范圍內(nèi)的概率. 教學重點，難點 (1)認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義； (2)求滿足標準正態(tài)分布的隨機變量 X在某一個范圍內(nèi)的概率. 教學過程 一.問題情境 1.復習頻率分布直方圖、頻率分布折線圖的意義、作法； b 回顧曲邊梯形的面積 S = f f(x)dx的意義. ■ a 第一步 對數(shù)據(jù)分組(取組距 d = 4); 第二步 列出頻數(shù)(或頻率)分布表； J 第三步 作出頻率分布直方圖，如圖 2-6-2 . 顛率 贏 J7 ~k 」 \ U IIIIbrtR三. 5。 1S5 ]65 ]7(J 175 I8<) 修品2m 困？ 6 -3 .學生活動 為了研究身高的分布，可以先根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖. 2.從某中學男生中隨機地選出 84名，測量其身高，數(shù)據(jù)如下(單位 cm) 164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178 164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181 181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174 159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172 163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171 185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172 179 161 160 175 169 上述數(shù)據(jù)的分布有怎樣的特點？ 169 175 161 155 156 182 182 歡迎下載 精品資源 ® 2-6-2 由圖2-6-2可以看出，上述數(shù)據(jù)的分 布呈“中間高，兩邊底，左、右大致 對稱”的特點. 可以設想，若數(shù)據(jù)無限增多且組距 無限縮小，那么頻率直方圖的頂邊 無限縮小乃至形成一條光滑的曲線， 我們將此曲線稱為概率密度曲線. 再觀察此概率密度曲線的特征. 三.建構(gòu)數(shù)學 1 _72 1 .正態(tài)密度曲線：函數(shù) P(x) = /— e 2a , x w R的圖象為正態(tài)密度曲線，其中 M■和仃 、、2 二： 為參數(shù)(c > 0 , NwR).不同的N和仃對應著不同的正態(tài)密度曲線. 2 .正態(tài)密度曲線圖象的性質(zhì)特征： (1)當x<R時，曲線上升；當 x>N時，曲線下降；當曲線向左右兩邊無限延伸時， 以x軸為漸進線； (2)正態(tài)曲線關(guān)于直線 x = N對稱； (3)仃越大，正態(tài)曲線越扁平； 仃越小，正態(tài)曲線越尖陡； (4)在正態(tài)曲線下方和 x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為 1. 3.正態(tài)分布： 若X是一個隨機變量，對任給區(qū)間 (a,b], P(a <x< b)恰好是正態(tài)密度曲線下方和 X軸上(a, b]上方所圍成的圖形的面積，我們就稱隨機變量 X服從參數(shù)為N和。2的正 態(tài)分布，簡記為 X~N(N,。2). 4. 正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取得的概率值： 具體地，如圖所示，隨機變量 X取值 (1)落在區(qū)間(R —仃，N+仃)上的概率約為 68.3% ,即 P(N —仃 <X MN +仃)=0.683; (2)落在區(qū)間(N —2仃，卜+2仃)上的概率約為95.4%,即 P(N—2。<X 七h十2仃)=0.954; (3)落在區(qū)間(N—3仃，N+3仃)上的概率約為99.7%,即 歡迎下載 精品資源 P(N —3仃 <X EN 十3仃)=0.997 . 2. 5 . 3。原則： 服從于正態(tài)分布 N (匕仃2)的隨機變量X只取(N—3ct,N+3g)之間的值， 并簡稱為3。原則. 6 .標準正態(tài)分布： 事實上，N就是隨機變量X的均值，仃2就是隨機變量X的方差，它們分別反映X 取值的平均大小和穩(wěn)定程度. 我們將正態(tài)分布 N(0,1)稱為標準正態(tài)分布. 通過查標準正態(tài) 分布表(見附表1)可以確定服從標準正態(tài)分布的隨機變量的有關(guān)概率. 7 .非標準正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布： X 非標準正態(tài)分布 X|_N(巴仃2)可通過z = 轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布 zLI N(0,1). a 四.數(shù)學運用 1.例題： 例1. 一臺機床生產(chǎn)一種尺寸為 10mm的零件，現(xiàn)在從中抽測 10個，它們的尺寸分別如 下(單位:mm): 10.2, 10.1 , 10, 9.8, 9.9, 10.3, 9.7, 10, 9.9, 10.1,如果機床生產(chǎn) 零件的尺寸Y服從正態(tài)分布，求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式. 1 解：由題意得 N =— (10.2+10.1 +10+9.8+9.9+10.3 +9.7+10 + 9.9 + 10.1)=10 , 10 2 1 __ _2 _ _2 _ _2 __ _2 __ _2 __ _2 ； = [(10.2 -10)2 - (10.1 -10)2 - (10-10)2 (9.8-10)2 (9.9 -10)2 (10.3-10)2 10 +(9.乙 120 廣 (10 2 10) 6 9.29 +10) —(10.1,10)^100.^3=0.03. 所以Y的概率密度函數(shù)為 P(x)= 10 50(x/0)2 —=e 3 ,xw R. .6 二 歡迎下載 例2.若隨機變量Z ~ N(0,1),查標準正態(tài)分布表，求: (1) P(Z <1.52)； ⑵ P(Z>1.52)； (3) P(0.57 <x <2.3)； (4) P(Z <-1.49). 解：(1) P(Z M1.52) =0.9357 . ⑵ P(Z >1.52) =1 -P(Z <1.52) =1 -0.9357 =0.0643 . (3) P(0.57 <x <2.3) =P(Z <2.3) -P(Z <0.57) =0.9893 — 0.7157 =0.2736 ； (4) P(Z < -1.49) = P(Z _1.49) =1 -P(Z <1.49) -1 -0.9319 = 0.0681 . 例3.在某次數(shù)學考試中， 考生的成績X服從一個正態(tài)分布， 即X N（90,100）.試求 考試成績X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？ 解：法一(將非標準正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布) ： 70 -90 X -90 110 -90 P(70 :二 X < 110) = P( :二 ：二 )=P(-2 Z :二 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2) 10 10 10 = P(Z W2) I 1—P Z M 2) = P 4 M 2> 1 2 0.9772= 1 0. 9 54 4 0. 法二(3仃原則)：因為 X □ N(90,100),所以 9 =90,仃=J100=10. 由于正態(tài)變量在區(qū)間（N -2仃，R+2。）內(nèi)取值的概率是 0.954 ,而該正態(tài)分布 N-2b =90-2父10=70,卜+2。=90+2父10=110, 所以考試成績 X位于區(qū)間（70,110）上的概率就是0.954. 2.練習：課本P77練習第1, 2題. 五.回顧小結(jié)： 1 .正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義； 2 .正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取得的概率值； 3 .求滿足標準正態(tài)分布的隨機變量 X在某一個范圍內(nèi)的概率的方法. 六.課外作業(yè)：課本P78 習題2. 6第1, 2, 3, 4題.