二次根式應用

第十八章《勾股定理》教材分析及教學建議 本章主要內容是勾股定理及其逆定理。首先讓學生通過觀察得出直角三角形兩條直角邊的平方和等于 斜邊的平方的結論并加以證明，從而得到勾股定理，然后運用勾股定理解決問題。在此基礎上，引入勾股 定理的逆定理，并結合此項內容介紹逆命題、逆定理的概念。 本章教學時間約需8課時，具體安排如下： 18. 1勾股定理 4 課時 19. 2 勾股定理的逆定理 3 課時 數(shù)學活動 小結 1 課時 、教科書內容和課程學習目標 本章知識結構框圖： 互逆定理 直角三角形是一種特殊的三角形，它有許多重要的性質，如兩個銳角互余， 30。的角所對的直角邊等 于斜邊的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性質，而且是一條非常重要的性質。 勾股定理是幾何中幾個最重要的定理之一，它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數(shù)量關系，它可以 解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要依據(jù)之一，在生產(chǎn)生活實際中用途很大。它不 僅在數(shù)學中，而且在其他自然科學中也被廣泛地應用。 目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類 的語言、音樂、各種圖形等。據(jù)說我國著名數(shù)學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇 宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種“語言”的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義，發(fā)現(xiàn) 勾股定理，尤其在 2000多年前，是非常了不起的成就。 在第一節(jié)中，教科書讓學生通過觀察計算一些直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積與以斜邊 為邊長的正方形的面積的關系，發(fā)現(xiàn)兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形 的面積，從而發(fā)現(xiàn)勾股定理。 勾股定理的證明方法很多，教科書正文中介紹的是一種面積證法。其中的依據(jù)是圖形經(jīng)過割補拼接后， 只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。在教科書中，圖 18.1 -3 (1)中的圖形經(jīng)過割補拼接后得到圖 19.1 —3（3）中的圖形。由此就證明了勾股定理。通過推理證實命題 1的正確性后，教科書順勢指出什么 是定理。 由勾股定理可知，已知兩條直角邊的長 a,b,就可以求出斜邊c的長。由勾股定理可得以，二白2一占二或 由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長。也就是說，在直 角三角形中，已知兩條邊的長，就可以求出第三條邊的長。教科書相應安排了三個探究欄目，讓學生運用 勾股定理解決問題。 在第二節(jié)中，教科書讓學生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發(fā)現(xiàn)畫出的三角 形是直角三角形。從而猜想如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直 角三角形。這個猜想可以利用全等三角形證明，得到勾股定理的逆定理。 勾股定理的逆定理給出了判定一個三角形是直角三角形的方法。教科書安排了兩個例題，讓學生學會 運用這種方法。這種方法與前面學過的一些判定方法不同，它通過代數(shù)運算“算”出來。實際上利用計算 證明幾何問題學生已經(jīng)見過，計算在幾何里也是很重要的。從這個意義上講，勾股定理的逆定理的學習， 對開闊學生眼界，進一步體會數(shù)學中的各種方法有很大的意義。 幾何中有許多互逆的命題，互逆的定理，它們從正反兩個方面揭示了圖形的特征性質，所以互逆命題 和互逆定理是幾何中的重要概念。學生已見過一些互逆命題（定理），例如：“兩直線平行，內錯角相等” 與“內錯角相等，兩直線平行”；“全等三角形的對應邊相等”與“對應邊相等的三角形是全等三角形” 等，都是互逆命題。勾股定理與勾股定理的逆定理也是互逆的命題，而且這兩個命題的題設和結論都比較 簡單。因此，教科書在前面已有感性認識的基礎上，在第二節(jié)中，結合勾股定理的逆定理的內容的展開， 穿插介紹了逆命題、逆定理的概念，并舉例說明原命題成立其逆命題不一定成立。為鞏固這些內容，相應 配備了一些練習與習題。 本章學習目標如下： 1 .體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單問題； 2 .會運用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3 .通過具體的例子，了解定理的含義，了解逆命題、逆定理的概念，知道原命題成立其逆命題不一定 成立。 二、本章編寫特點 （一）讓學生體驗勾股定理的探索和運用過程 勾股定理的發(fā)現(xiàn)從傳說故事講起，從故事中可以發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形有這樣的性質：以等腰直角三角 形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。再看一些其他直角三角形, 發(fā)現(xiàn)也有上述性質。因而猜想所有直角三角形都有這個性質，即如果直角三角形的兩直角邊長分別為 斜邊長為匚，那么療口 +&'=/（教科書把這個猜想記作命題1,把下節(jié)“如果三角形的三邊長 明瓦匚滿 足0=十上，=/,那么這個三角形是直角三角形”記作命題 2,便于引出互逆命題）。 教科書讓學生用勾股定理探究三個問題。探究 1是木板進門問題。按照已知數(shù)據(jù)，木板橫著、豎著都 不能進門，只能斜著試試。由此想到求長方形門框的對角線的長，而這個問題可以用勾股定理解決。探究 2 是梯子滑動問題：梯子頂端滑動一段距離，梯子的底端是否也滑動相同的距離。這個問題可以轉化為已知 斜邊與一條直角邊的長求另一條直角邊的長的問題，這也可以用勾股定理解決。 探究3是在數(shù)軸上畫出表示 小 的點。分以下四步引導學生： （1）將在數(shù)軸上畫出表示 屈 的點的問題轉化為畫出長為 廂 的線段的問題。 （2）由長為 J5的線段是直角邊都為 1的直角三角形的斜邊，聯(lián)想到長為 距的線段能否是直角邊為 正整數(shù)的直角三角形的斜邊。 （3）通過嘗試發(fā)現(xiàn)，長為 屈的線段是直角邊為 2,3的直角三角形的斜邊。 （4）畫出長為,兩 的線段，從而在數(shù)軸上畫出表示 上 的點。 （二）結合具體例子介紹抽象概念 在本章中，結合勾股定理、勾股定理的逆定理介紹了定理、逆命題、逆定理的內容。 在勾股定理一節(jié)中，先讓學生通過觀察得出命題 1,然后通過面積變形證明命題 1。由此說明，經(jīng)過證 明被確認正確的命題叫做定理。 在勾股定理的逆定理一節(jié)中，從古埃及人畫直角的方法談起，然后讓學生畫一些三角形（已知三邊， 并且兩邊的平方和等于第三邊的平方），可以發(fā)現(xiàn)畫出的三角形是直角三角形。因而猜想如果三角形的三 邊長演，瓦二滿足十方，二二\那么這個三角形是直角三角形，即教科書中的命題 2。把命題2的條件、結 論與上節(jié)命題1的條件、結論作比較，引出逆命題的概念。接著探究證明命題 2的思路。用三角形全等證 明命題2后，順勢引出逆定理的概念。 命題1,命題2屬于原命題成立，逆命題也成立的情況。為了防止學生由此誤以為原命題成立，逆命題 一定成立，教科書特別舉例說明有的原命題成立，逆命題不成立。 （三）注重介紹數(shù)學文化 我國古代的學者們對勾股定理的研究有許多重要成就，不僅在很久以前獨立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理，而且 使用了許多巧妙的方法證明了它，尤其在勾股定理的應用方面，對其他國家的影響很大，這些都是我國人 民對人類的重要貢獻。 本章介紹了我國古代的有關研究成果。在引言中介紹我國古算書《周髀算經(jīng)》的記載“如果勾是三、 股是四、那么弦是五"。有很多方法可以證明勾股定理。教科書為了弘揚我國古代數(shù)學成就，介紹了我國 古人趙爽的證法。首先介紹趙爽弦圖，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題 1的基本思路?！摆w爽弦圖”表現(xiàn) 了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學的驕傲。正因為此，這個圖案被選為 2002年 在北京召開的世界數(shù)學家大會的會徽。還在習題中安排我國古代數(shù)學著作《九章算術》中的問題，展現(xiàn)我 國古人在勾股定理應用研究方面的成果。 本章也介紹了國外的有關研究成果。如勾股定理的發(fā)現(xiàn)是從與畢達哥拉斯有關傳說故事引入的。又如 勾股定理的逆定理從古埃及人畫直角的方法引入。再如介紹古希臘哲學家柏拉圖關于勾股數(shù)的結論。 三、幾個值得關注的問題 （一）讓學生獲得更多與勾股定理有關的背景知識 與勾股定理有關的背景知識豐富， 除正文介紹的有關內容外， 教科書在“閱讀與思考 勾股定理的證明” 中介紹了另外幾種證明勾股定理的方法，還安排了一個數(shù)學活動，讓學生收集一些證明勾股定理的方法， 并與同學交流。 在教學中，應注意展現(xiàn)與勾股定理有關的背景知識，使學生對勾股定理的發(fā)展過程有所了解，感受勾 股定理的豐富文化內涵，激發(fā)學生的學習興趣。特別應通過向學生介紹我國古代在勾股定理研究方面的成 就，激發(fā)學生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養(yǎng)他們的民族自豪感，同時教育學生發(fā)奮圖強， 努力學習，為將來擔負起振興中華的重任打下基礎。 （二）適當總結與定理、逆定理有關的內容 第3頁 本章中給出了定理、逆定理的概念，可以在小結中回顧已學的一些結論。例如，在第七章“三角形” 中， “三角形的內角和等于 180 °”是由平行線的性質與平角的定義推出的，這個結論也稱為三角形內角和 定理。又如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等證明的，前一個結論也稱為角的平分線 的性質定理，而后一個結論是角的平分線的性質定理的逆定理。這樣就可以從定理、逆定理的角度認識已 學的一些結論，明確其中一些結論之間的關系。 互逆命題、互逆定理的概念，學生接受它們困難不大，對于那些不是以“如果……那么……”形式給 出的命題，敘述它們的逆命題困難較大，是教學中的一個難點。解決這個難點的方法是，適當復習命題的 有關內容，學會把一個命題變?yōu)椤叭绻敲础钡男问健Ｗ⒁膺@些概念是第一次學習，不要要求過 高。 四、教學建議 本章內容的重點與難點是勾股定理及其應用，勾股定理的互定理及其應用。勾股定理是解幾何題中有關 線段計算問題的重要依據(jù)，也是以后學習解直角三角形的主要依據(jù)之一。本章的難點是掌握勾股定理并能 熟練的運用勾股定理。要注意：在直角三角形中，反映的是直角三角形的三邊關系。直角三角形兩直角邊 a,b 的平方和等于斜邊的平方和。在其它三角形中不存在這樣的關系。這是一個非常重要的定理。它是 把形 轉化為數(shù) ，它的應用非常廣泛。勾股定理的互定理則是 把數(shù)轉化為形 ，通過計算判定一個三角形是否為直 角三角形。 相關知識點回顧 ： （ 1 ）直角三角形的兩個銳角互余 （ 2 ）直角三角形中 30 度角所對的直角邊等于斜邊的一半。 （ 3 ）斜邊大于任一條直角邊 （ 4 ）全等三角形判定方法。 （ 5 ）面積公式 學生在本章學習中存在認知誤區(qū)和思維障礙。 ⑴忽視題目中的隱含條件。如在 RtAABC中，/ B=90, a, b, c分別為三條邊，a= 3, b=4,求邊c 的長。不少學生會認為 c=5,忽視了 b是斜邊這一隱含條件。 4 2） 忽視定理成立的條件是在直角三角形中， 有的同學看到三角形的兩邊是 3 和 4， 就會認為第三邊是 5 ， （3）考慮問題不全面造成漏解．如已知直角三角形的兩邊長分別為 5 和 12，求第三邊。 （4）通過添加輔助線將非直角三角形轉化為直角三角形. 如（a）連結兩點構造直角三角形 （b）作高構造直 角三角形（ c ）構造幾何圖形解決代數(shù)問題。 教學建議 本章教學教師可采用主體性學習的教學模式， 提出問題讓學生思考，設計問題讓學生做，錯誤原因讓 學生找，方法與規(guī)律讓學生歸納．教師的作用在于組織、點撥、引導，促進學生主動探索、積極思考、大 膽想象、總結規(guī)律，充分發(fā)揮學生的主體作用，讓學生真正成為教學活動的主人。本章的教學步驟可分五 步：探索結論一一驗證結論一一 初步應用結論一一證明結論一一應用結論解決實際問題。 1、在探索結論階段，應調動學生的積極性，讓學生充分參與 例如，教材設計了在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理的活動，教師鼓勵學生嘗試求出方格 中三個正方形的面積、比較這三個正方形的面積的關系，由此得到直角三角形三邊的關系、通過對幾個特 殊例子的考察歸納出直角三角形三邊之間的一般規(guī)律，運用自己的語言表達探索過程和所得結論。 2、在勾股定理的探索和驗證過程中，數(shù)形結合的思想有較多的體現(xiàn) 例如，在探索勾股定理的過程中，教師應引導學生由正方形的面積想到；而在勾股定理的驗證過程中, 教師又應引導學生由數(shù)想到正方形的面積. 3、初步應用結論階段的重點是讓學生明確：在直角三角形中，知道兩邊的長度，可以求得第三邊的 長度，教師應充分利用教材讓學生體會勾股定理及其逆定理在現(xiàn)實世界中有著較為廣泛的應用，如埃及人 利用結繩的方法作出直角，利用勾股定理求出螞蟻的最短路線等。 4、證明結論階段主要是理清思路，而不只是介紹某一種證明方法教師在教學中應激發(fā)學生探索更多 的證明方法，注意訓練學生書寫規(guī)范。 5、應用結論解決實際問題要注意強調兩類問題：探索性問題和應用性問題通過問題的解決，讓學生 學會從不同角度分析問題、解決問題；讓學生學會引申、變更問題，以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的創(chuàng) 造能力 例有一個邊長為 50分米的正方形洞口，問用直徑為多長的圓形鐵片來堵住洞 y 口？ 表面看上去這是一個有關圓的問題。其實圓形鐵片的直徑就應該是等腰三角形的 I 斜邊長邊長是50分米，把它看成一個直角三角形， 然后用勾股定理，兩條直角邊的平 果: 方和等于斜邊的平方。就是 50x50+50x50=5000 ,答案是50,2=70.5 要求學生記住勾股定理， 然后對待問題套公式， 這樣可以解決一系列的問題 6、注重介紹數(shù)學史，凸顯數(shù)學的文化價值 7、關注學生學習過程的評價，對于本章的學習，除了考查勾股定理的解題應用外，還應該關注對學 生學習過程的評價。例如，讓學生動手截、害U、拼、補，使學生參與定理的發(fā)現(xiàn)、探索、驗證過程，既能 培養(yǎng)學生數(shù)學的直觀能力，又能體現(xiàn)教學的針對性、活動性、開放性與合作性。 五常見典型錯誤簡析 (1)如何求第三邊？ 第5頁 例1在RtAABC中，/ B = 90, a, b, c分別為三條邊，a=3, b= 4,求邊c的長。 不少學生會認為c=5,忽視了 b是斜邊這一隱含條件。 例2判斷：在^ ABC中，AC = 3, BC = 4,求AB的長 不少學生會認為 AB=5,忽視了△ ABC是直角三角形這個條件。 例3已知直角三角形的兩邊長分別為 5和12,求第三邊。 不少學生會認為第三邊為 13,忽視了 12可能是直角邊也可能是斜邊。 例 4 如圖，/ A =45, / B= Z D=90 , BC=1 , AD =2, 求 CD 的長。 不少學生會在四邊形 ABCD里面加輔助線，破壞了已知的條件。增加了解題的難度。應該把AB,CD邊 延長，構造出新的直角三角形，利用勾股定理解題。 (2)螞蟻怎么走最近？ 例5如圖，有一個圓柱，它的高等于 12厘米，底面半徑等于 3厘米.在圓柱的下底面 A點有一只螞 蟻，它想吃到上底面上與 A點相對的C點處的食物，需要爬行的最短路程是多少 ？(兀的值取3). 本題常見錯誤有兩個：一是不能正確地將圓柱的側面展開，從而無法進行求解；二是誤將圓柱側面展 第9頁 (3)木板能否經(jīng)過門框？ 例6 一個門框的長為 2m,寬為1m,如圖所示，一塊長 3 m,寬2.2m的薄木 板能否從門框內通過？為什么？不少學生一看此題，就會給出答案： 不能.而不知應先利用勾股定理求出 AC的長再進行判斷。 (4)梯子底端下滑幾米？ 例7 一個3 m長的才^子AB ,斜靠在一豎直的墻 AO上，這時AO的距離為 2. 5 m,如果梯子的頂端 A沿墻下滑0. 5m,那么梯子底端 B也外移0. 5嗎？ 本題學生容易錯誤地理解為梯子的頂端 A沿墻下滑0. 5 m時， 梯子底端C向外移動的距離是 CD ,因為梯子的長度沒有改變, 認為CD=AE ,得出錯誤解答。 （5）湖水如何知深淺？ 例8荷花問題”：平平湖水清可當 忙向前，花離原位一尺遠；能算諸用請解 六中考熱點 勾股定理在中考數(shù)學中單獨命題考杳 程、函數(shù)、四邊形、圓以及相似形等知識 要求身。 1（2009年達州）圖『株美麗的勾股力 止方形A、B、C、D的邊長分別是3、 A. 13 B. 26 2 （2009年濱州）如圖 3,已知△ AD = 8, 則邊BC的長為（ A. 21 B. 15 C. 6 3（2009年安順）圖甲是我國古代著空 個全等的直角三角形圍成的。在 RtA 四個直角三角形中邊長為 6的直角邊攻 1, 面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊，漁人觀看 逝，湖水如何知深淺 ？”請用學過的數(shù)學知識解答這個問題. :的選擇題和填空題相對較少，而主要是m 綜合在一起考查，靈活性強，涉及面廣、能力 、乙 E 對，其中所有的四邊形都是止方形， 所有的三角形都是直角三角形. 若 5、2、3,則最大正方形 E的面積是 C. 47 D. 94 【答案】C ABC 中，AB =17, AC = 10, BC 邊上的高 ） ………B/I\c D.以上答案都不對 【答案】A B D C 1的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四 ABC 中，若直角邊 AC = 6, BC=6,將 總 >別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù) 卜曲 學風車”，則這個風車的外圍周長（圖乙中的實線）是 【答案】76 4 （2009年湖南長沙）如圖，等腰△ ABC中， 若 AB 5cm, BC 6cm ,則 AD cm 5 （2009恩施市）如圖，長方體的長為 15,5 距離為5, 一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點 （ ）A. 5>/21 B. 25 C. 10 AB AC, AD是底邊上的高， 1.［答案］4 / \ B D C 置為10,圖為20,點B離點C的 / 7 A爬到點B ,需要爬行的最短距離是 I；—B * 51c V5 5 D. 35【答案】B ： 20 6 （2009年濱州）某樓梯的側面視圖如圖 4所示， C 90° ,因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在 其中 AB 4米， BAC 30° , J-4 L——15 M0 AB段樓梯所鋪地毯的長 P^IB C 度應為.【答案】（2+2 與）米. 7（2009年四川省內江市）已知RtAABC的周長是4 443 , A 斜邊上的中線長是 2,則Saabc =【答案】8 8 （2009年宜賓）已知：如圖，以 RtAABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形. ^9 若斜邊AB= 3,則圖中陰影部分的面積為 .【答案】9. 2 DF 9 （2009年崇左）如圖，在等腰梯形 ABCD中，已知 AD//BC , AB = DC,AD =2, BC = 4,延長 BC 至U E,使 CE = AD. (1)證明：A BAD 0 A DCE; (2)如果AC ± BD,求等腰梯形 ABCD的高DF的值.答案 10 （09白銀市）如圖13, 4ACB和△ ECD都是等腰直角三角形，/ ACB=/ECD = 90 第十八章勾股定理 18. 1勾股定理（一） 、教學目標 1 . 了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾股定理。 2 .培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結規(guī)律的意識和能力。 3 .介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學生的愛國熱情，促其勤奮學習。 、重點、難點 4 .重點：勾股定理的內容及證明。 5 .難點：勾股定理的證明。 三、例題的意圖分析 例1 （補充）通過對定理的證明，讓學生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學生的思維，鍛煉學生的 動手實踐能力；這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學家之手。激發(fā)學生的民族自豪感，和愛國 情懷。 例2使學生明確，圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。進一步讓學生確信勾 股定理的正確性。 四、課堂引入 目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類 的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文 明人”，那么他們一定會識別這種語言的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前， 是非常了不起的成就。 讓學生畫一個直角邊為 3cm和4cm的直角△ ABC ,用刻度尺量出 AB的長。 以上這個事實是我國古代 3000多年前有一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折成直角，兩段 連結得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@句話意思是說一個直角三角形較短直角邊（勾）的 長是3,長的直角邊（股）的長是 4,那么斜邊（弦）的長是 5。 再畫一個兩直角邊為 5和12的直角△ ABC,用刻度尺量 AB的長。 你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關系，52+122和132的關系，即32+42=52, 52+122=132,那么就有勾2+股2=弦 2 O 對于任意的直角三角形也有這個性質嗎？ 五、例習題分析 例1 （補充）已知：在^ ABC中，/ C=90°，/ A、/ B、/ C的對邊 為 a、b、c。 求證：a2+b2=c2。 分析：⑴讓學生準備多個三角形模型， 最好是有顏色的吹塑紙， 讓學生拼擺 不同的形狀，利用面積相等進行證明。 ⑵拼成如圖所示，其等量關系為： 4Sa+S小『S大正 4X — ab+ ( b— a) 2=c2,化簡可證。 2 ⑶發(fā)揮學生的想象能力拼出不同的圖形，進行證明。 （4）勾股定理的證明方法，達 300余種。這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學家之手。激發(fā)學生 的民族自豪感，和愛國情懷。 a b a 例2已知：在^ ABC中，/ C=90° A、/ B、/ C 的對邊為 a、b、Co 求證：a2+b2=c2。 分析：左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形的面積相等。 左邊 S=4X 1ab+c2 2 右邊 S= (a+b) 2 左邊和右邊面積相等，即 4X — ab+ c2= (a+b) 2 2 化簡可證。 六、課堂練習 1 .勾股定理的具體內容是： 2 .如圖，直角△ ABC的主要性質是：/ C=90° ,(用幾何語言表示) ⑴兩銳角之間的關系：; ⑵若D為斜邊中點，則斜邊中線 ; ⑶若/ B=30° ,貝U/ B的對邊和斜邊： ; ⑷三邊之間的關系： 。 3 . △ ABC的三邊a、b、c,若滿足b2= a2+c2,則=90° ;若滿足b2 >c2+a2,則/ B是 角； 若滿足b2<c2+a2,則/ B是 角。 4.根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。 七、課后練習 1 ,已知在 RtAABC 中，/ B=90 ⑴c=。(已知 ⑵a=。(已知 ⑶b=。(已知 A ,a、b、c>A ABC的三邊，則 a、b,求 c) b、 c,求 a) a、c,求 b) 2 .如下表，表中所給的每行的三個數(shù) a、b、c,有a< bvc,試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律，寫出當 a=19時, b, c的值，并把b、c用含a的代數(shù)式表示出來。 3、4、5 32+42=52 5、12、13 52+122=132 7、 24、 25 72+242=252 9、 40、 41 92+402=412 19, b、 c 192+b2=c2 3 .在^ ABC中，/ BAC=120 ° , AB=AC= 1073 cm, 一動點P從B向C以每秒2cm的速度移動，問當 4.已知：如圖，在^ ABC中，AB=AC , 求證：⑴ AD2-AB 2=BD - CD D在CB的延長 B 線上。 P點移動多少秒時，PA與腰垂直。 課后反思: ⑵若D在CB上，結論如何，試證明你的結論。 八、參考答案 課堂練習 1 .略； 2 .⑴/ A+/B=90° ;⑵ CD=1AB;⑶ AC=1AB;⑷ AC2+BC2=AB 2。 3 . 3 B,鈍角, 銳角; 4 .提示：因為 S 梯形 ABCD = S^ABE+ S^BCE+ $△ EDA ,又因為 S 梯形 ACDG = g (a+b) 2, 1 SABCE= Sa EDA = — at), 2 1 2 Saabe = — c2, 2 c 1 (a+b) 2=2x 一 2 ab+ -c2o 2 課后練習 1. .⑴ c= . b2 ⑵ a= , b2 c2 ⑶ b= c2 a2 2 2 a b 2. c b 則 b,j, 2 2 a c=— 1 一， 一；當 a=19 時，b=180, c=181。 3. 5秒或 10秒。 4 .提示：過A作AEXBC于E。 18. 1 勾股定理（二） 第13頁 -、教學目標 1 .會用勾股定理進行簡單的計算。 2 .樹立數(shù)形結合的思想、分類討論思想。 二、重點、難點 1 .重點：勾股定理的簡單計算。 2 .難點：勾股定理的靈活運用。 三、例題的意圖分析 例1 （補充）使學生熟悉定理的使用，剛開始使用定理，讓學生畫好圖形，并標好圖形，理清邊之間的 關系。讓學生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。并學會利用不同的條件轉化為已知 兩邊求第三邊。 例2 （補充）讓學生注意所給條件的不確定性，知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。 例3 （補充）勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造 直角三角形的輔助線做法。讓學生把前面學過的知識和新知識綜合運用，提高綜合能力。 四、課堂引入 復習勾股定理的文字敘述；勾股定理的符號語言及變形。學習勾股定理重在應用。 五、例習題分析 例 1 （補充）在 RtAABC , / C=90° ⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2,求bo ⑶已知c=17,b=8,求a。 ⑷已知 a： b=1: 2,c=5,求 a。 ⑸已知 b=15, /A=30 ° ,求 a, c。 分析：剛開始使用定理，讓學生畫好圖形，并標好圖形，理清邊之間的關系。⑴已知兩直角邊，求斜 邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一邊和兩 邊比，求未知邊。通過前三題讓學生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學 生明確已知一邊和兩邊關系，也可以求出未知邊，學會見比設參的數(shù)學方法，體會由角轉化為邊的關系的 轉化思想。 則此題可解。 例2 （補充）已知直角三角形的兩邊長分別為 5和12,求第三邊。 分析：已知兩邊中較大邊 12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應分兩種情況 分別進形計算。讓學生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。 例3 （補充）已知：如圖，等邊△ ABC的邊長是6cm。 ⑴求等邊^(qū) ABC的高。 ⑵求Sa ABC o 分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要 創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做 法。欲求高 CD,可將其置身于 RtAADC或RtABDC中， 但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質，可求 AD=CD= - AB=3cm , 2 六、課堂練習 1 .填空題 ⑴在 RtAABC , /C=90° , a=8, b=15,貝U c=。 ⑵在 RtAABC , / B=90° , a=3, b=4,貝U c=。 ⑶在 RtAABC , /C=90° , c=10, a： b=3: 4,貝U a=, b= ⑷一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為 ⑸已知直角三角形的兩邊長分別為 3cm和5cm,,則第三邊長為 ⑹已知等邊三角形的邊長為 2cm,則它的高為 ,面積為 。 2 .已知：如圖，在^ ABC 中，/ C=60° , AB= 473 , AC=4 , AD 是 BC 邊上的高，求BC的長。 3 .已知等腰三角形腰長是 10,底邊長是16,求這個等腰三角形的面積。 七、課后練習 1 .填空題 在 RtAABC , / C=90° , ⑴如果 a=7, c=25,貝U b=。 ⑵如果/ A=30 ° , a=4,貝U b=。 ⑶如果/ A=45 ° , a=3,貝U c=。 ⑷如果 c=10, a-b=2,貝U b=。 ⑸如果a、b、c是連續(xù)整數(shù)，則 a+b+c=。 ⑹如果 b=8, a： c=3： 5,貝U c=。 2 .已知：如圖，四邊形 ABCD中，AD//BC, AD ± DC , AB LAC, / B=60° , CD=1cm ,求 BC 的長。 課后反思: 八、參考答案 課堂練習 1. 17; 77; 6, 8; 6, 8, 10; 4 或 V34; 芯,33 ; 2. 8; 3. 48。 課后練習 2. 1. 24; 473 ; 3 J2 ; 6; 12; 10; 、教學目標 1 .會用勾股定理解決簡單的實際問題。 2 .樹立數(shù)形結合的思想。 、重點、難點 1 .重點：勾股定理的應用。 2 .難點：實際問題向數(shù)學問題的轉化。 三、例題的意圖分析 例1 （教材P74頁探究1）明確如何將實際問題轉化為數(shù)學問題，注意條件的轉化; 知識、思想、方法解決實際問題。 例2 （教材P75頁探究2）使學生進一步熟練使用勾股定理，探究直角三角形三 邊的關系：保證一邊不變，其它兩邊的變化。 四、課堂引入 勾股定理在實際的生產(chǎn)生活當中有著廣泛的應用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使用解決 了許多生活中的問題，今天我們就來運用勾股定理解決一些問題，你可以嗎？試一 試。 五、例習題分析 學會如何利用數(shù)學 例1 （教材P74頁探究1） 分析：⑴在實際問題向數(shù)學問題的轉化過程中，注意勾股定理的使用條件，即門框為長方形，四個角都是 直角。⑵讓學生深入探討圖中有幾個直角三角形？圖中標字母的線段哪條最長？⑶指出薄木板在數(shù)學問題 ⑸注意給學生 例2 （教材P75頁探究2） 分析：⑴在△ AOB中，已知 ⑵在ACOD中，已知 則BD=OD —OB,通過計算可知 AB=3 , AO=2.5 ,利用勾股定理計算 CD=3, CO=2,利用勾股定理計算 OD。 BDWAC。 OB 。 ⑶進一步讓學生探究 AC和BD的關系，給AC不同的值，計算 BD。 六、課堂練習 1 .小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著 45度的坡路走了 500米, 離地面的高度是 米。 看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹的 4^3米，則這兩株樹之間的垂直距離是 2.如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是 3.如圖，一根12米高的電線桿兩側各用 4題圖 15米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是 中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？⑷轉化為勾股定理的計算，采用多種方法。 小結深化數(shù)學建模思想，激發(fā)數(shù)學興趣。 18. 1勾股定理（三） 第15頁 4.如圖，原計劃從 A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公路，后因技術 攻關，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價為 300萬元，隧道總長為 2公里，隧道造價為 500萬元，AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省工程費用 是多少？ 七、課后練習 1 .如圖，欲測量松花江的寬度， 沿江岸取B、C兩點，在江對岸取一點 A,使AC垂直江岸，測得BC=50 米， ZB=60° ,則江面的寬度為 。 2 .有一個邊長為 1米正方形的洞口，想用一個圓形蓋去蓋住這個洞 口，則圓形蓋半徑至少為 米。 3 . 一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在 P、Q兩點，PQ=16 厘米，且 RPL PQ 則RQ=厘米。 4 .如圖，鋼索斜拉大橋為等腰三角形， 支柱高24米，/ B= / C=30° , E、F分別為BD、CD中點，試求B、C兩點之間的距離，鋼索 AB和 AE的長度。 （精確到1米） 課后反思: 八、參考答案： 課堂練習： 1. 250拒； 2. 6, 243 3. 18 米； 4. 11600; 課后練習 … 2 1. 50 V 3 米； 2.—; 3. 20; 4. 83 米，48 米，32 米; 18. 1勾股定理（四） 一、教學目標 1 .會用勾股定理解決較綜合的問題。 2 .樹立數(shù)形結合的思想。 二、重點、難點 1 .重點：勾股定理的綜合應用。 2 .難點：勾股定理的綜合應用。 三、例題的意圖分析 例1 （補充）“雙垂圖”是中考重要的考點，熟練掌握“雙垂圖”的圖形結構和圖形性質，通過討論、 計算等使學生能夠靈活應用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有： 3個直角三角形，三個勾股定理及推導 式BC2-BD2=AC2-AD2,兩對相等銳角，四對互余角，及 30?；?5。特殊角的特殊性質等。 例2 （補充）讓學生注意所求結論的開放性，根據(jù)已知條件，作適當輔助線求出三角形中的邊和角。讓 學生掌握解一般三角形的問題常常通過作高轉化為直角三角形的問題。使學生清楚作輔助線不能破壞已知 角。 例3 （補充）讓學生掌握不規(guī)則圖形的面積，可轉化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉化為直角三角 形的方法，把四邊形面積轉化為三角形面積之差。在轉化的過程中注意條件的合理運用。讓學生把前面學 過的知識和新知識綜合運用，提高解題的綜合能力。 例4 （教材P76頁探究3）讓學生利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)軸上 的點與實數(shù) 對應的理論。 四、課堂引入 復習勾股定理的內容。本節(jié)課探究勾股定理的綜合應用。 五、例習題分析 例 1 （補充）1.已知：在 Rt^ABC 中，/C=90° , CD^BC 于 D, Z A=60 ° , CD= J3 , 求線段AB的長。 分析：本題是“雙垂圖”的計算題，“雙垂圖”是中考重要的考點，所以要求學生對圖形及性質掌握非常 熟練，能夠靈活應用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有： 3個直角三角形, C A B 三個勾股定理及推導式 BC2-BD2=AC2-AD2,兩對相等銳角，四對互余角，及 30°或45°特殊角的特殊性質等。 要求學生能夠自己畫圖，并正確標圖。引導學生分析：欲求 AB ,可由 AB=BD+CD ,分別在兩個三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 BD=3和 ad=1?；蛴?ab,可由ab Jac2 bc2 ,分別在兩個三角形中利用勾 股定理和特殊角，求出 AC=2和BC=6。 例 2 （補充）已知：如圖，△ ABC 中，AC=4 , / B=45° , / A=60 ° 根據(jù)題設可知什么？ 分析：由于本題中的△ ABC不是直角三角形，所以根據(jù)題設只能直接求得/ ACB=75。。在學生充分思考和討論后，發(fā)現(xiàn)添置 AB邊上的高這條輔助線, 就可以求得 AD , CD, BD , AB, BC及S”bc。讓學生充分討論還可以作其 它輔助線嗎？為什么？ 小結：可見解一般三角形的問題常常通過作高轉化為直角三角形的問題。 并指出如何作輔助線？ 解略。 例 3（補充）已知：如圖，/B=/D=90° , /A=60° , AB=4 , CD=2。 求：四邊形ABCD的面積。 分析：如何構造直角三角形是解本題的關鍵，可以連結 AC,或延長 AB、DC交于F,或延長 AD、BC交 于E,根據(jù)本題給定的角應選后兩種， 進一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。 教學中要逐層展示給學 生，讓學生深入體會。 解：延長AD、BC交于E。 ?. /A=/60° , Z B=90 ° , . E=30° 。 AE=2AB=8 , CE=2CD=4 , BE2=AE 2-AB 2=82-42=48, BE= <48 =4用。 d DE2= CE2-CD2=42-22=12，.= DE= 7T2 = 2V3 。 S 四邊形 ABCD =SaaBE-SacDE = 小結：不規(guī)則圖形的面積，可轉化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉化為直角三角形的方法，把四 邊形面積轉化為三角形面積之差。 例4 （教材P76頁探究3） 分析：利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應的理論。 變式訓練：在數(shù)軸上畫出表示 忑3 1,2 J2的點。 六、課堂練習 1 . △ ABC 中，AB=AC=25cm ,高 AD=20cm,則 BC=, S*bc=。 2 . △ ABC 中，若/ A=2/B=3/C, AC= 273 cm,則/ A=度，/ B=度，/C= 度, BC=, S/\ ABC =o 3 . AABC 中，/ C=90° , AB=4 , BC= 2 上,CD± AB 于 D,則 AC= CD=, BD=, AD=Sabc =。 4 .已知：如圖，△ ABC 中，AB=26 , BC=25 , AC=17 , 求 Saabc。 七、課后練習 1 .在 RtAABC 中，/ C=90 2.在 RtAABC 中，/ C=90 ,CD，BC 于 D, / A=60 ° , ,Saabc =30, c=13,且 avb, CD= V3 , AB=。 貝 U a=, b= 第19頁 5 .已知：如圖，在^ ABC 中，/ B=30° , / C=45° , AC= 272 , 求（1） AB 的長；（2） Sa ABC。 6 .在數(shù)軸上畫出表示一癡,我 J5的點。 課后反思: 八、參考答案： 課堂練習： 1. 30cm, 300cm2； 2. 90, 60, 30, 4, 2V3； 3. 2,8,3, 1, 243; 4,作 BDXAC 于 D,設 AD=x ,貝U CD=17-x, 252-x2=262- (17-x) 2, x=7 , BD=24 , 1 Saabc= — AC - BD=254 ; 2 課后練習： 1. 4; 2. 5, 12; 3,提示：作 AD ±BC 于 D, AD=CD=2 , AB=4 , BD= 273 , BC=2+ 2V3 ,字abc= =2+ 2y3 ； 4. 略。 18. 2勾股定理的逆定理（一） 、教學目標 1 .體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。 2 .探究勾股定理的逆定理的證明方法。 3 .理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關系。 、重點、難點 1 .重點：掌握勾股定理的逆定理及證明。 2 .難點：勾股定理的逆定理的證明。 三、例題的意圖分析 例1 （補充）使學生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關系。 例2 （P82探究）通過讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學生的興趣和求 知欲，鍛煉學生的動手操作能力，再通過探究理論證明方法，使實踐上升到理論，提高學生的理性思維。 例3 （補充）使學生明確運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判 斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計算出 a2+b2和c2的值。③判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角 三角形；若不相等，則不是直角三角形。 四、課堂引入 創(chuàng)設情境：⑴怎樣判定一個三角形是等腰三角形? ⑵怎樣判定一個三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進行對比，從勾股定理的逆命題進 行猜想。 五、例習題分析 例1 （補充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？ ⑴同旁內角互補，兩條直線平行。 ⑵如果兩個實數(shù)的平方相等，那么兩個實數(shù)平方相等。 ⑶線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。 ⑷直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。 分析：⑴每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設和結論調換即可，但要分清題設和結論，并注 意語言的運用。 ⑵理順他們之間的關系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能 都假。 解略。 例2（P82探究）證明：如果三角形的三邊長 a,b,c滿足a2+b2=c2, 那么這個三角形是直角三角形。 分析：⑴注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖形，然后寫 已知求證。 ⑵如何判斷一個三角形是直角三角形， 現(xiàn)在只知道若有一個角 是直角的三角形是直角三角形， 從而將問題轉化為如何判斷一個角 是直角。 ⑶利用已知條件作一個直角三角形，再證明和原三角形全等， 使問題得以解決。 ⑷先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊 A1B〔=c,則通過三邊對應相等的兩個三角 形全等可證。 ⑸先讓學生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學生的興趣和求知欲，再探究理 論證明方法。充分利用這道題鍛煉學生的動手操作能力，由實踐到理論學生更容易接受。 證明略。 例 3 （補充）已知：在^ ABC 中，/ A、/ B、/ C 的對邊分別是 a、b、c, a=n2- 1, b=2n, c=n2+1 (n>1) 求證：/ C=90 。 分析：⑴運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷那條邊最大。 ②分別用代數(shù)方法計算出 a2+b2和c2的值。③判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相 等，則不是直角三角形。 ⑵要證/ C=90。，只要證△ ABC是直角三角形，并且c邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明 a2+b2=c2 即可。 ⑶由于 a2+b2= (n2—1) 2+ (2n) 2=n4 + 2n2+1, c2= (n2+1) 2= n4+2n2+1,從而 a2+b2=c2,故命題 獲證。 六、課堂練習 1 .判斷題。 ⑴在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對的角是直角。 ⑵命題：“在一個三角形中，有一個角是 30。，那么它所對的邊是另一邊的一半?！钡哪婷}是真命 題。 ⑶勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。 (4)A ABC的三邊之比是1: 1: 四,則△ ABC是直角三角形。 2 . △ ABC中/A、/B、/ C的對邊分別是 a、b、c,下列命題中的假命題是( ) A.如果/ C —/B=/A,則4ABC是直角三角形。 B.如果c2= b2-a2,則△ ABC是直角三角形，且/ C=90°。 C.如果(c + a) ( c- a) =b2,則△ ABC是直角三角形。 D.如果/ A : /B: /C=5: 2: 3,則4ABC是直角三角形。 3 .下列四條線段不能組成直角三角形的是( ) A. a=8, b=15, c=17 B. a=9, b=12, c=15 C. a= v'5 , b= V3 , c= v2 D. a： b： c=2： 3: 4 4 .已知：在^ ABC中，/ A、/B、/C的對邊分別是a、b、c,分別為下列長度，判斷該三角形是否是 直角三角形？并指出那一個角是直角？ (1) a= 33 , b= 2 < 2 , c=痣； ⑵ a=5, b=7 , c=9; ⑶a=2, b= V3 , c= 71 ; ⑷a=5, b=2d6 , c=1。 七、課后練習， 1 .敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。 ⑴如果a3>0,那么a2>0; ⑵如果三角形有一個角小于 90。，那么這個三角形是銳角三角形； ⑶如果兩個三角形全等，那么它們的對應角相等； ⑷關于某條直線對稱的兩條線段一定相等。 2 .填空題。 ⑴任何一個命題都有,但任何一個定理未必都有 。 ⑵“兩直線平行，內錯角相等?！钡哪娑ɡ硎?。 ⑶在△ ABC中，若a2=b2-c2,則4ABC是 三角形，是直角； 第27頁 若 a2vb2—c2,則/ B 是。 ⑷若在△ ABC 中，a=m2— n2, b=2mn , c= m2+n2,則△ ABC 是 三角形。 3.若三角形的三邊是 ⑴1、/3、 ⑸(m + n) 2— 1, 2 (m + n), 1 1 1 c c c 2; ⑵一，一,一； ⑶32, 42, 52 (4)9, 40, 3 4 5 41； （m+n） 2+1;則構成的是直角三角形的有（ A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個 4.已知：在^ ABC中，/ A、/ B、/C的對邊分別是 a、b、c,分別為下列長度，判斷該三角形是否 是直角三角形？并指出那一個角是直角? ⑴a=9, b=41, c=40; ⑵a=15, b=16, c=6; ⑷a=5k, b=12k, c=13k (k>0)。 課后反思: 八、參考答案： 課堂練習： 1.對，錯，錯，對； 2. D; 3. D; 4.⑴是，/ B;⑵不是；⑶是，/ C;⑷是，/ Ao 課后練習： 1 .⑴如果a2>0,那么a3>0;假命題。 ⑵如果三角形是銳角三角形，那么有一個角是銳角；真命題。 ⑶如果兩個三角形的對應角相等，那么這兩個三角形全等；假命題。 ⑷兩條相等的線段一定關于某條直線對稱；假命題。 2 .⑴逆命題，逆定理；⑵內錯角相等，兩直線平行；⑶直角，/ B,鈍角；⑷直角。 3 . B 4.⑴是，/ B;⑵不是，；⑶是，/ C;⑷是，/ Co 18. 2勾股定理的逆定理（二） 、教學目標 1 .靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。 2 .進一步加深性質定理與判定定理之間關系的認識。 、重點、難點 1 .重點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。 2 .難點：靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。 三、例題的意圖分析 例1 （P83例2）讓學生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。 QPR=90° ; 例2 （補充）培養(yǎng)學生利用方程思想解決問題，進一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆 定理解決實際問題的意識。 四、課堂引入 創(chuàng)設情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學知識和 數(shù)學方法。 五、例習題分析 例 1 （P83 例 2） 分析：⑴了解方位角，及方位名詞； ⑵依題意畫出圖形； QR=30 ; ⑶依題意可得 PR=12X 1.5=18, PQ=16X1.5=24, ⑷因為242+182=302, PQ2+PR2=QR2,根據(jù)勾股定理 的逆定理，知/ ⑸ / PRS=/QPR-/QPS=45°。 小結：讓學生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識。 例2 （補充）一根30米長的細繩折成 3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長 7米，比 較長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀。 分析：⑴若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長； ⑵設未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長 5、12、13; ⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，由 52+122=132,知三角形為直角三角形。 解略。 六、課堂練習 1 .小強在操場上向東走 80m后，又走了 60m,再走100m回到原地。小強在 操場上向東走了 80m后，又走60m的方向是。 2 .如圖，在操場上豎直立著一根長為 2米的測影竿，早晨測得它的影長為 4 B D A 米，中午測得它的影長為 1米，則A