2011年高考數(shù)學一輪復習 第十節(jié)函數(shù)模型及其應用課件 新人教版

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1、 1 .了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征， 知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù) 類型增長的含義. 2 .了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、 分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型) 的廣泛應用. 三種函數(shù)模型的性質(zhì) 函數(shù) 性質(zhì)yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0)在(0，)上的增減性增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增 函數(shù) 性質(zhì)yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0)圖象的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與y軸隨x增大逐漸表現(xiàn)為與x軸隨n值變化而不同值的比較存在一個x0，當xx0時，有l(wèi)ogaxxnax平行一樣平行一樣 思考探

2、究以上三種函數(shù)都是單調(diào)增函數(shù)，它們的增長速度相同嗎？在(0，)上隨著x的增大，三種函數(shù)的函數(shù)值間有什么關(guān)系？提示：三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長速度不同，且不在同一個檔次上，因此在(0，)上，總會存在一個x0，使xx0時有axxnlogax. 1 .下列函數(shù)中隨x的增大而增大速度最快的是 () A.y B.y1 0 0 lnx C.yx1 0 0 D.y1 0 0 2 x解析：因為指數(shù)函數(shù)的增大速度較快，故可排除B、C.又 e21， y 的增大速度要比y1 0 0 2 x的增大速度要快.答案：A 2 .在一定范圍中，某種產(chǎn)品的購買量y噸與單價x元之間滿 足 一次函數(shù)關(guān)系，如果購買

3、1 0 0 0噸，每噸為8 0 0元， 如果購買2 0 0 0噸，每噸為7 0 0元，一客戶購買4 0 0噸， 單價應該是 () A.8 2 0元 B.8 4 0元 C.8 6 0元 D.8 8 0元 解析：設yaxb，則 解得 y1 0 x9 0 0 0，由4 0 01 0 x9 0 0 0得x8 6 0 (元).答案：C 3 .2 0 0 6年7月1日某人到銀行存入一年期款a元，若年利率為 x，按復利計算，則到2 0 1 1年7月1日可取款 () A.a(1x)5元 B.a(1x)6元 C.a(1x)5元 D.a(1x5 )元解析：因為年利率按復利計算，所以到2 0 1 1年7月1日可取款

4、a(1x)5 .答案：A 4 .某出租車公司規(guī)定“打的”收費標準如下：3公里以內(nèi)為起 步價8元(即行程不超過3公里，一律收費8元)，若超過3公 里除起步價外，超過部分再按1 .5元/公里收費計價，若某 乘客再與司機約定按四舍五入以元計費不找零錢，該乘客 下車時乘車里程數(shù)為7 .4公里，則乘客應付的車費是 .解析：乘車里程數(shù)為7 .4，則付費應為81 .54 .41 4 .6，四舍五入后乘客應付的車費為1 5元.答案：1 5元 5 .有一批材料可以建成2 0 0 m的圍墻， 如果用此材料在一邊靠墻的地方 圍成一塊矩形場地，中間用同樣的 材料隔成三個面積相等的矩形(如圖 所示)，求圍成的矩形最大面

5、積 (圍 墻厚度不計). 解：設矩形的長為x m，寬為 ，則S當x1 0 0時，Smax2 5 0 0 m2 .答：圍成矩形最大面積為2 5 0 0 m2 . 1 .在實際問題中，有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次 函數(shù)模型，其增長特點是直線上升(自變量的系數(shù)大于0 ) 或直線下降(自變量的系數(shù)小于0 ).2 .很多實際問題中變量間的關(guān)系，不能用同一個關(guān)系式給 出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù).如出租車票 價與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù). 特別警示分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起.要注意各段變量的范圍，特別

6、是端點值. 某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時每噸為1 .8 0元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3 .0 0元，某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5 x,3 x(噸).(1 )求y關(guān)于x的函數(shù)；(2 )若甲、乙兩戶該月共交水費2 6 .4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費. 思路點撥 課堂筆記(1 )當甲的用水量不超過4噸時，即5 x4，乙的用水量也不超過4噸，y1 .8 (5 x3 x)1 4 .4 x；當甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸，即3 x4且5 x4時，y41 .83 x1 .83 (5 x4 )2 0 .4 x4 .8 .

7、當乙的用水量超過4噸，即3 x4時，y241 .83(3 x4 )(5 x4 )2 4 x9 .6 .所以y (2 )由于yf(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增.當x 0， 時，yf( )1 1 .5 2；當x ( ， 時，yf( )2 2 .4；當x ( ，)時，令2 4 x9 .62 6 .4，解得x1 .5 .所以甲戶用水量為5 x7 .5噸，付費S141 .83 .531 7 .7 0 (元)；乙戶用水量為3 x4 .5噸，付費S 241 .80 .538 .7 0 (元). 保持兩戶用水比例不變，若兩戶用水均不超過4噸，則兩戶共交水費的最大值是多少？解：只要甲戶不超過4噸，則乙戶一定不超過

8、4噸， 5 x4，即x ， ymax1 .8(43 )1 1 .5 2 (元). 有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題等.一般利用函數(shù)圖象的開口方向和對稱軸與單調(diào)性解決，但一定要注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯. 某人要做一批地磚，每塊地磚(如圖1所示)是邊長為0 .4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，且CECF，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格之比依次為3 2 1 .若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH. (1 )求證：四邊形EFGH是正方

9、形；(2 )E、F在什么位置時，做這批地磚所需的材料費用最?。?思路點撥 課堂筆記(1 )圖2是由四塊圖1所示地磚組成，由圖1依次逆時針旋轉(zhuǎn)9 0，1 8 0，2 7 0后得到， EFFGGHHE，CFE為等腰直角三角形，四邊形EFGH是正方形.(2 )設CEx，則BE0 .4x，每塊地磚的費用為W，制成CFE、ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價格依次為3 a、2 a、a(元)， W 3 a (0 .4x)0 .42 a0 .1 6 0 .4(0 .4x)aa(x20 .2 x0 .2 4 )a(x0 .1 )20 .2 3 (0 x0 .4 )，由a0，當x0 .1時，W有最小值，即

10、總費用最省.答：當CECF0 .1米時，總費用最省. 指數(shù)函數(shù)模型的應用是高考的一個主要內(nèi)容，常與增長率相結(jié)合進行考查.在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表示.通?？杀硎緸閥a(1p)x(其中a為原來的基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式. 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為1 0 0萬人，如果年自然增長率為1 .2 %，試解答以下問題：(1 )寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2 )計算1 0年以后該城市人口總數(shù)(精確到0 .1萬人)；(3 )計算大約多少年以后，該城市人口將達到1 2 0萬人(精確到1年)；(4 )如果2 0年后該城市人口總數(shù)

11、不超過1 2 0萬人，年自然增長率應該控制在多少？(參考數(shù)據(jù)：1 .0 1 2 9 1 .1 1 3 ,1 .0 1 2 1 0 1 .1 2 7，lg1 .2 0 .0 7 9，lg2 0 .3 0 1 0，lg1 .0 1 2 0 .0 0 5，lg1 .0 0 9 0 .0 0 3 9 ) 思路點撥 課堂筆記(1 )1年后該城市人口總數(shù)為y1 0 01 0 01 .2 %1 0 0(11 .2 %).2年后該城市人口總數(shù)為y1 0 0(11 .2 %)1 0 0(11 .2 %)1 .2 %1 0 0(11 .2 %)2 .3年后該城市人口總數(shù)為y1 0 0(11 .2 %)21 0 0

12、(11 .2 %)21 .2 %1 0 0(11 .2 %) 3 . x年后該城市人口總數(shù)為：y1 0 0(11 .2 %)x.(2 )1 0年后人口總數(shù)為1 0 0(11 .2 %)1 0 1 1 2 .7 (萬人).(3 )設x年后該城市人口將達到1 2 0萬人，即1 0 0(11 .2 %) x1 2 0，xlog1 .0 1 2 log1 .0 1 2 1 .2 0 1 6 (年). (4 )由1 0 0(1x%)2 0 1 2 0，得(1x%)2 0 1 .2，兩邊取對數(shù)得2 0 lg(1x%)lg1 .20 .0 7 9，所以lg(1x%) 0 .0 0 3 9 5，所以1x%1

13、.0 0 9，得x0 .9 %，即年自然增長率應該控制在0 .9 %. 高考數(shù)學應用題的命題背景常常關(guān)注一些與現(xiàn)實生活中密切相關(guān)的人文性問題，人口現(xiàn)狀、失學兒童的求助、世界環(huán)保、人文與社會，這些源于生活而應用于生活的命題形式，是高考命題的首選.0 9年浙江高考以與居民生活密切相關(guān)的生活用電問題為背景考查了函數(shù)在實際問題中的應用，是高考的一個新的考查方向. 考題印證 (2 0 0 9 浙江高考)某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價.該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下：高峰時間段用電價格表高峰月用電量(單位：千瓦時)高峰電價(單位：元/千瓦時)50及以下的部分0.568超過50至200的

14、部分0.598超過200的部分0.668 低谷時間段用電價格表低谷月用電量(單位：千瓦時)低谷電價(單位：元/千瓦時)50及以下的部分0.288超過50至200的部分0.318超過200的部分0.388 若某家庭5月份的高峰時間段用電量為2 0 0千瓦時，低谷時間段用電量為1 0 0千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為元(用數(shù)字作答). 【解析】高峰時段電費a5 00 .5 6 8(2 0 05 0 )0 .5 9 81 1 8 .1 (元). 低谷時段電費b5 00 .2 8 8(1 0 05 0 )0 .3 1 8 3 0 .3 (元).故該家庭本月用電量為ab1 4 8 .4

15、(元).【答案】1 4 8 .4 自主體驗 據(jù)調(diào)查，某地區(qū)1 0 0萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民人均年收入為3 0 0 0元，為了增加農(nóng)民的收入，當?shù)卣e極引進資金，建立各種加工企業(yè)，對當?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進行加工，同時吸收當?shù)夭糠洲r(nóng)民進入加工企業(yè)工作.據(jù)估計，如果有x(x0 )萬農(nóng)民進企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均年收入有望提高2 x%，而進入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均年收入為3 0 0 0 a元(a1 ). (1 )在建立加工企業(yè)后，要使從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的農(nóng)民的年總收入，試求x的取值范圍； (2 )在(1 )的條件下，當?shù)卣畱撊绾我龑мr(nóng)民(即x多大時)，能使這1

16、 0 0萬農(nóng)民的人均年收入達到最大. 解：(1 )由題意得(1 0 0 x)3 0 0 0 (12 x%)1 0 03 0 0 0，即x25 0 x0，解得0 x5 0，又 x0， 0 x5 0 .(2 )設這1 0 0萬農(nóng)民的人均年收入為y元，則y x2 5 (a1 ) 23 0 0 03 7 5 (a1 )2 (0 x5 0 ). 又 a1， 2 5 (a1 )5 0，又函數(shù)y在(0 ,5 0 上單調(diào)遞增，當x5 0時，y最大.答：安排5 0萬人進入企業(yè)工作，才能使這1 0 0萬人的人均年收入最大. 1 .某種細胞在培養(yǎng)過程中正常情況下，時刻t(單位：分)與細 胞數(shù)n(單位：個)的部分數(shù)據(jù)

17、如下：t 0 20 60 140n 1 2 8 128 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，推測繁殖到1 0 0 0個細胞時的時刻t最接近于 ()A.2 0 0B.2 2 0C.2 4 0 D.2 6 0解析：由表格中所給數(shù)據(jù)可以得出n與t的函數(shù)關(guān)系為n ，令n1 0 0 0，得 1 0 0 0，又2 1 01 0 2 4，所以時刻t最接近2 0 0分.答案：A 2 .某企業(yè)去年銷售收入1 0 0 0萬元，年成本分為年生產(chǎn)成 本5 0 0 萬元與年廣告費成本2 0 0萬元兩部分.若利潤的 P%為國稅且年廣告費超出年銷售收入2 %的部分也必 須按P%征國稅， 其他不納稅，已知該企業(yè)去年共納 稅1 2 0萬元，則稅率P

18、%為 () A.1 0 % B.1 2 % C.2 5 % D.4 0 % 解析：(1 0 0 05 0 02 0 0 )P%(2 0 01 0 0 02 %)P%1 2 0，所以P%2 5 %.答案：C 3 .某公司招聘員工，經(jīng)過筆試確定面試對象人數(shù)，面試對 象人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為： 其中x代表擬錄用人數(shù)，y代表 面試對象人數(shù).若應聘的面試對象人數(shù)為6 0人，則該公 司擬錄用人數(shù)為 ( ) A.1 5 B.4 0 C.2 5 D.3 0 解析：根據(jù)分段函數(shù)關(guān)系，面試對象人數(shù)為6 0即y6 0，則應用y2 x1 06 0，可得x2 5，即該公司擬錄用人數(shù)為2 5 .答案：C 4

19、 .某超市銷售一種奧運紀念品，每件售價1 1 .7元，后來，此 紀念品的進價降低了6 .4 %，售價不變，從而超市銷售這種 紀念品的利潤提高了8 %.則這種紀念品的原進價是 元.解析：設原進價為x元，則依題意有(1 1 .7x)(18 %)1 1 .7(16 .4 %)x，解得x6 .5 .答案：6 .5 5 .一輛汽車在某段路程中的行駛 速度v與時間t的關(guān)系如圖所 示，則該汽車在前3小時內(nèi)行駛 的路程為km，假設這輛 汽車的里程表在汽車行駛這段 路程前的讀數(shù)為2 0 0 8 km，那么 在t 1 ,2 時，汽車里程表讀數(shù) S與時間t的函數(shù)解析式為. 解析：汽車在前3小時內(nèi)行駛的路程為三個矩形

20、的面積5 018 019 012 2 0；當t1時，汽車的里程表讀數(shù)為2 0 0 85 02 0 5 8，則t 1 ,2 時，汽車的里程表讀數(shù)為S2 0 5 88 0 (t1 )8 0 t1 9 7 8，故t 1 ,2 時，汽車的里程表讀數(shù)S與時間t的函數(shù)解析式為S8 0 t1 9 7 8 .答案：2 2 0S8 0 t1 9 7 8 6 .(2 0 1 0 淄博模擬)甲乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村鰻魚養(yǎng)殖業(yè)的 規(guī)模(總產(chǎn)量)進行調(diào)查，提供了兩個方面的信息，分別得 到甲、乙兩圖： 甲調(diào)查表明：每個魚池平均產(chǎn)量直線上升，從第1年1萬條鰻魚上升到第6年2萬條.乙調(diào)查表明：全縣魚池總個數(shù)直線下降，由第1

21、年3 0個減少到第6年1 0個.請你根據(jù)提供的信息說明：(1 )第2年全縣魚池的個數(shù)及全縣出產(chǎn)的鰻魚總數(shù).(2 )到第6年這個縣的鰻魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第1年擴大了還是縮小了？說明理由.(3 )哪一年的規(guī)模(即總產(chǎn)量)最大？說明理由. 解：由題意可知，圖甲圖象經(jīng)過(1 ,1 )和(6 ,2 ) 兩點，從而求得其解析式為y甲0 .2 x0 .8，圖乙圖象經(jīng)過(1 ,3 0 )和(6 ,1 0 )兩點.從而求得其解析式為y乙4 x3 4 .(1 )當x2時，y甲0 .220 .81 .2，y乙423 42 6，y甲y乙1 .22 63 1 .2所以第2年魚池有2 6個，全縣出產(chǎn)的鰻魚總數(shù)為3 1 .2萬條.(2 )第1年出產(chǎn)魚13 03 0 (萬條)，第6年出產(chǎn)魚21 02 0 (萬條)，可見第6年這個縣的鰻魚養(yǎng)殖業(yè)規(guī)劃比第1年縮小了. (3 )設當?shù)趍年時的規(guī)模，即總出產(chǎn)是量為n，那么ny甲y乙(0 .2 m0 .8 )(4 m3 4 )0 .8 m23 6 m2 7 .20 .8 (m24 .5 m3 4 )0 .8 (m2 .2 5 )23 1 .2 5因此，當m2時，n最大值為3 1 .2 .即當?shù)?年時，鰻魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模最大，最大產(chǎn)量為3 1 .2萬條.