天津理工大學(xué)大學(xué)物理：剛體.ppt

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1,在運(yùn)動(dòng)過程中，如果剛體上任意一條直線在各個(gè)時(shí)刻的位置始終彼此平行，則這種運(yùn)動(dòng)就叫平動(dòng)。,1.剛體運(yùn)動(dòng)學(xué),平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng),剛體是一理想模型：在任何情況下，其形狀和大小都不發(fā)生任何變化的物體，也就是說物體上任意兩點(diǎn)之間的距離永遠(yuǎn)不變。,平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體最基本的兩種運(yùn)動(dòng)。剛體的任何更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可以看成是這兩種運(yùn)動(dòng)簡單的或復(fù)雜的合成。,圖中的AB即是這樣一條直線。,剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),2,容易看出，剛體作平動(dòng)時(shí)其上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是完全相同的。知道了一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，也就知道了各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。,換句話說，在剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中，平動(dòng)的剛體可簡化為一質(zhì)點(diǎn)來處理。在剛體動(dòng)力學(xué)中也可以這樣作。這就使得我們可以集中力量來研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)問題了。,在這個(gè)意義上，描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的各種物理量，如速度、加速度等都可用來描述整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。,3,本章主要介紹的剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。,剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng),剛體的轉(zhuǎn)動(dòng),,轉(zhuǎn)軸,,剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng),剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng),,對于固定的參照系如地球而言，某一直線上的各點(diǎn)保持不動(dòng)，其它各點(diǎn)都以該點(diǎn)到該直線的垂足為圓心，在垂直于該直線的平面內(nèi)作不同的圓周運(yùn)動(dòng)，這根直線就是轉(zhuǎn)軸，這種運(yùn)動(dòng)就是剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。,考察門窗的運(yùn)動(dòng)--看成剛體,4,剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通常取一垂直于該固定軸的平面作為轉(zhuǎn)動(dòng)平面，0為轉(zhuǎn)軸與某一轉(zhuǎn)動(dòng)平面的交點(diǎn)，p為剛體上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。此質(zhì)點(diǎn)在這一轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)繞0點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)。,顯然剛體中任何其它質(zhì)點(diǎn)也都在各自的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心都在轉(zhuǎn)軸上。,由于各點(diǎn)離開轉(zhuǎn)軸的距離和方位不同，所以各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度一般各不相同，但是可以看出在相等的時(shí)間間隔內(nèi)，其上各點(diǎn)都繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過相同的角度。,可以想見，質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，用一些角量的變化來描述要比用線量來描述方便的多，下面看一下如何用角量來描述圓周運(yùn)動(dòng)。,5,總之，影響到剛體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因不僅與力的大小有關(guān)，而且與力的作用點(diǎn)的位置以及力的方向有關(guān)。為概括上面這些因素的作用，引入力矩這樣一個(gè)物理量。,2.力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)定律,經(jīng)驗(yàn)告訴我們，要使原來靜止的物體以某一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)；或使已經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)的物體改變其角速度，則不僅與所施的力的大小有關(guān)，且與力的作用點(diǎn)的位置及力的作用方向有關(guān)。,如開門窗時(shí)，用力越大門就轉(zhuǎn)的越快，若力的大小相同，則作用點(diǎn)離軸越遠(yuǎn)門就越容易轉(zhuǎn)動(dòng)。即使用同樣大小的力作用于同一點(diǎn)，力的方向不同效果就不一樣。如果力的方向與軸平行或通過轉(zhuǎn)軸，則將不能打開或關(guān)上門窗。,6,力矩,圖為可繞0軸旋轉(zhuǎn)的一剛體。設(shè)剛體所受外力F，在垂直于轉(zhuǎn)軸0的平面內(nèi)。轉(zhuǎn)軸到力的作用線之間的垂直距離是d， d稱為力對轉(zhuǎn)軸的力臂。力的大小與力臂的乘積稱為力對轉(zhuǎn)軸的力矩，用M表示,力的作用點(diǎn)離開轉(zhuǎn)軸的距離是 r，相應(yīng)的矢徑是 ，力與 r之間的夾角是? 。可以看出，,所以上式可寫成,7,如果外力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，可以把外力F分解成兩個(gè)分力：一個(gè)與轉(zhuǎn)軸平行F2；另一個(gè)F1在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)， F2對剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不起作用，只有F1能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。因此我們把F理解為外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力。,8,力矩是矢量。它的方向和指向這樣確定：方向垂直于r和F所決定的平面，在剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，M的方向和軸線方向相一致。它的指向由F和r所組成的右手螺旋決定，即由矢徑的方向經(jīng)過小于180o的角轉(zhuǎn)到力的方向時(shí)，右手螺旋前進(jìn)的方向。,根據(jù)力矩的大小和上面規(guī)定的力矩的方向，力矩可用下式表示,9,合力矩,若有幾個(gè)力同時(shí)作用于剛體之上，則要求合力矩。由于力矩是矢量，它的合成遵從于平行四邊形法則。但在剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，因?yàn)榱刂挥袃煞N可能的取向，用正負(fù)即可表示，因此力矩就可以用代數(shù)法求和。也就是說，在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，如果有幾個(gè)外力同時(shí)作用在剛體上時(shí)，它們的作用相當(dāng)于一個(gè)力矩的作用，這個(gè)力矩稱之為這幾個(gè)力的合力矩。它的量值等于這幾個(gè)力的力矩的代數(shù)和,10,P點(diǎn)表示剛體中任一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量是mi ，P點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離ri 。設(shè)剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是?，角加速度?。質(zhì)點(diǎn)所受到的外力Fi，內(nèi)力fi（剛體中的所有其它質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)P所作用的合力）。為簡單起見，假設(shè)外力Fi和內(nèi)力fi都位于質(zhì)點(diǎn)P所在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，它們與矢徑ri的交角分別是?i和?i。,根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程為,剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，每一質(zhì)點(diǎn)都作半徑不同的圓周運(yùn)動(dòng)。根據(jù)剛體可看作是一不變的，由許多質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)組來導(dǎo)出轉(zhuǎn)動(dòng)定律。,轉(zhuǎn)動(dòng)定律,11,把外力F和內(nèi)力分解為切向力和法向力,可看出：法向力的作用線是通過轉(zhuǎn)軸的，其力矩為零；起作用的只是切向力。,其中,等式兩邊分別乘上ri ，得到,外力對轉(zhuǎn)軸的力矩,內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的力矩,,,質(zhì)點(diǎn)在切線方向上的運(yùn)動(dòng)方程是,12,對剛體內(nèi)的全部質(zhì)點(diǎn)，可寫出同樣的方程式。把這些式子全部相加，得到,因?yàn)閮?nèi)力總是成對出現(xiàn)的，彼此大小相等、方向相反，即內(nèi)力的作用和反作用是沿著同一直線等值而反向，所以內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的力矩的總和等于零，即,因此上式變?yōu)?13,角加速度?可移到求和號之外，即,等式左邊是作用在剛體上的外力對轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和，即合外力矩，用M表示。,I是由剛體本身性質(zhì)所決定的物理量，叫做剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。于是，上式可寫為,令,,14,如果用矢量式表示，則為,上式表明：剛體在合外力矩M的作用下，所獲得的角加速度?與合外力矩的大小成正比，并與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I成反比。力矩的方向和角加速度的方向相同。,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律,,15,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,由,知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I等于剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積的總和。,由上面兩式就可以算出一般物體繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來。,相應(yīng)的dm的體積元,體積元處的密度,體積元與轉(zhuǎn)軸之間的距離,,,,如果物體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則上式可寫成積分形式,16,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義,把轉(zhuǎn)動(dòng)定律,與牛頓第二定律,相比較,可以進(jìn)一步了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m相當(dāng)。m是物體慣性大小的量度，與此類似，I是物體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度，或者說是物體保持轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)本領(lǐng)大小的量度。,另外，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I的定義,可以看出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定于剛體各部分的質(zhì)量對給定的轉(zhuǎn)軸的分布情況。,,17,首先I與m有關(guān)；其次在m一定的情況下還和質(zhì)量的分布有關(guān)。例如，兩質(zhì)量相同，形狀大小也相同的圓盤，一個(gè)中間密度大而邊緣密度??；另一個(gè)中間密度小邊緣密度大，則I不同。例如一圓環(huán)與一圓盤，若質(zhì)量m與半徑R均相同，則圓環(huán)的I大于圓盤的I，粗略地講質(zhì)量的分布離軸越遠(yuǎn)越分散，則I就越大。,最后I還和軸的位置有關(guān)。例如，對于細(xì)長棒，繞通過中心的轉(zhuǎn)軸和繞通過一端的轉(zhuǎn)軸的I不同，這是由于軸的位置不同則每一質(zhì)點(diǎn)到軸的距離就發(fā)生變化，因而I就不同。所以在提到I時(shí)都叫做某一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,18,質(zhì)量為m，長為L的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，假定,轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并與棒垂直時(shí),質(zhì)量為m，半徑為a的薄圓盤，繞通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：,記住,,轉(zhuǎn)軸通過棒的中心與棒垂直,19,例題：如圖所示，一滑輪可看作均勻薄圓盤。質(zhì)量為m，半徑為R。在圓盤邊緣上繞一細(xì)繩，兩端掛著質(zhì)量為m1與m2的物體。若m1 ? m2 ，忽略軸上摩擦力，且繩與圓盤之間無滑動(dòng)。求圓盤角加速度?與物體m1 、m2的加速度a。（圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mR2/2 ）,初看起來，滑輪兩邊的物體一上一下，似乎是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題。但繩子不是在滑輪上滑過去，而是通過摩擦帶動(dòng)滑輪旋轉(zhuǎn)。既然有摩擦，滑輪兩邊繩中張力并不相等，其差與滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)。既然涉及到滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，就不是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題，而是剛體動(dòng)力學(xué)問題了。,20,運(yùn)用隔離法，對滑輪及物體進(jìn)行受力分析。選地面為參照系，由牛頓第二定律可列出物體的運(yùn)動(dòng)方程,由于繩與滑輪之間無滑動(dòng)，所以兩物體的加速度大小相同。a1=a2,滑輪的運(yùn)動(dòng)方程可由轉(zhuǎn)動(dòng)定律給出,21,解上述方程即可得出,22,由此看出，滑輪兩邊的張力并不相等。但若滑輪質(zhì)量可以忽略，即m=0，則有,這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題了。,23,2 如圖所示，Q、R和S是附于剛性輕質(zhì)細(xì)桿上的質(zhì)量分別為3m、2m和1m的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)，QR=RS=l，則系統(tǒng)對00’軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為____________。,,24,4 均勻細(xì)棒OA的質(zhì)量為M，長為L，可繞通過其一端O而與棒垂直的水平固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。今使棒從水平位置由靜止開始自由下落，在棒擺動(dòng)到豎直位置的過程中，下述說法哪一種是正確的？ （A）合外力矩從大到小,角速度從小到大,角加速度從大到小. （B）合外力矩從大到小,角速度從小到大,角加速度從小到大. （C）合外力矩從大到小,角速度從大到小,角加速度從大到小. （D）合外力矩從大到小,角速度從大到小,角加速度從小到大.,由A靜止下落，此時(shí)角速度為0，豎直位置時(shí)角速度最大，A點(diǎn)時(shí)重力矩最大，由M=I?知角加速度最大，豎直位置時(shí)，重力矩為0，角加速度為0。,[ ],A,25,設(shè)棒的質(zhì)量為m，當(dāng)棒與水平面成60角并開始下落時(shí)，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有,其中,于是,3．一長為 l 的均勻直棒可繞其一端與棒垂直的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。抬起另一端使棒向上與水平面成600角。然后無初轉(zhuǎn)速地將棒釋放．已知棒對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為全ml2/3，其中m和l分別為棒的質(zhì)量和長度，則放手時(shí)棒的角加速度__________；棒轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)的角加速度__________。,棒轉(zhuǎn)到水平位置時(shí),,,26,1 剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于___________、 ____________、 ____________。,,,2.有兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量相等的細(xì)圓環(huán)，1環(huán)的質(zhì)量分布均勻，2環(huán)的質(zhì)量分布不均勻。它們對通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的德軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，則 （A）J1J2 （B）J1J2 （C）J1=J2 (D) 不能確定J1、J2哪個(gè)大。,[ ],3 一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸O以角速度?1按圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng)，將兩個(gè)大小相等方向相反但不在同一條直線的力F沿盤面同時(shí)作用到圓盤上，則圓的角速度變?yōu)?2，那么 （A） ?1 ?2 （B） ?1 = ?2 （C） ?1 ?2 （D）不能確定如何變化。,[ ],練習(xí)：,27,1 剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于____________、 ____________、 ____________。,轉(zhuǎn)軸的位置,質(zhì)量m的大小,質(zhì)量的分布,28,2.有兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量相等的細(xì)圓環(huán)，1環(huán)的質(zhì)量分布均勻，2環(huán)的質(zhì)量分布不均勻。它們對通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的德軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，則 （A）J1J2 （B）J1J2 （C）J1=J2 (D) 不能確定J1、J2哪個(gè)大。,[ C ],29,3 一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸O以角速度?1按圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng)，將兩個(gè)大小相等方向相反但不在同一條直線的力F沿盤面同時(shí)作用到圓盤上，則圓的角速度變?yōu)?2，那么 （A） ?1 ?2 （B） ?1 = ?2 （C） ?1 ?2 （D）不能確定如何變化。,1,2,力到作用點(diǎn)的垂直距離,則,轉(zhuǎn)速增大，合力矩0。,[ ],C,30,3.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能,轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,轉(zhuǎn)動(dòng)的物體能夠作功，這說明轉(zhuǎn)動(dòng)物體具有一定的動(dòng)能。那末它的動(dòng)能是如何計(jì)算的呢？ 前面講過，剛體可以看作是無數(shù)質(zhì)點(diǎn)所組成的一不變的質(zhì)點(diǎn)組，它的動(dòng)能就等于各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的總和。,考慮剛體中第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量mi，離開轉(zhuǎn)軸垂直距離 ri ，剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的角速度 ? 相等，而線速度 v 不同，因此第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)線速度的大小,相應(yīng)的動(dòng)能,整個(gè)剛體的動(dòng)能就是各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和(動(dòng)能公式),31,4.剛體的角動(dòng)量及角動(dòng)量守恒定律,角動(dòng)量（動(dòng)量矩）,質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量,在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中，可以用動(dòng)量來描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。同樣在轉(zhuǎn)動(dòng)問題中，也可以用角動(dòng)量來描述物體的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。角動(dòng)量起的作用和線動(dòng)量相類似。下面以質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)所作的圓周運(yùn)動(dòng)為例引入角動(dòng)量的概念。,32,設(shè)圓半徑為r，則質(zhì)點(diǎn)m對圓心的位置矢量是,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量是,方向處處和它的矢徑垂直。,把質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的量值p和矢徑r 的乘積定義為質(zhì)點(diǎn)對給定點(diǎn)即圓心0的角動(dòng)量的量值，即,33,一般情況下，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量P和它對于給定點(diǎn)的矢徑不一定垂直，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)對某一給定點(diǎn)的角動(dòng)量的量值應(yīng)為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量p和0點(diǎn)到p點(diǎn)的垂直距離d的乘積,因?yàn)?所以,或?qū)懗墒噶啃问?角動(dòng)量是矢量，它的方向由右手螺旋法則確定。亦即方向垂直于r和p所組成的平面，指向由r經(jīng)小于180o的角，轉(zhuǎn)到p的右手螺旋的前進(jìn)方向所確定。,34,剛體的角動(dòng)量,剛體可看作是由許多質(zhì)點(diǎn)所組成的一不變的質(zhì)點(diǎn)組?？疾炱渖系趇個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它繞軸作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)。該點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸0的角動(dòng)量的量值是,物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，整個(gè)物體的角動(dòng)量就是各質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量的總和,或?qū)懗?35,有了角動(dòng)量的概念后，轉(zhuǎn)動(dòng)定律也可以用角動(dòng)量來表述,物體所受對某給定軸的合外力矩等于物體對該軸的角動(dòng)量的時(shí)間變化率。,相類似,相類似,36,角動(dòng)量原理,設(shè)剛體在合外力矩M的作用下，繞定軸作勻變速運(yùn)動(dòng)。t時(shí)刻的角速度是?1，角動(dòng)量是L1，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I。在t+?t時(shí)刻的角速度是?2= ?1 +d?，角動(dòng)量變?yōu)長2，則角加速度為,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律知,或,轉(zhuǎn)動(dòng)物體所受到的沖量矩，等于這物體在這段時(shí)間內(nèi)的角動(dòng)量的增量。此即角動(dòng)量原理。,37,角動(dòng)量守恒定律,由上式知，如果物體所受到的合外力矩,即,則,注意：角動(dòng)量守恒的條件是合外力矩M等于零，但并不等于沒有力矩對物體作用。它可能是根本沒有外力矩作用，也有可能有力矩作用，但其矢量和為0。,當(dāng)物體所受的合外力矩M為零時(shí)，物體的角動(dòng)量I?保持不變。此即角動(dòng)量守恒定律。,38,下面的例子可以幫助我們理解角動(dòng)量守恒的概念。,假定一人站在軸處光滑的轉(zhuǎn)臺(tái)上，兩手各握住一個(gè)啞鈴。手下垂時(shí)使臺(tái)以一定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)兩手平舉時(shí)可以見到轉(zhuǎn)速變小。為什么會(huì)這樣呢？原因是這個(gè)系統(tǒng)有共同的角速度?，但在舉手的過程中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨時(shí)間增加。由于對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為0，因此按I?=恒量，當(dāng)I增加時(shí)，?應(yīng)減少。跳舞時(shí)，演員的快速旋轉(zhuǎn)就運(yùn)用了這個(gè)道理。,39,一人站在靜止的轉(zhuǎn)臺(tái)上，一只手握住一個(gè)重輪的軸。輪子的軸和臺(tái)的軸一致。若用另一只手不停地推動(dòng)重輪轉(zhuǎn)動(dòng)，將會(huì)看到人和轉(zhuǎn)臺(tái)一起向反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。原因是這個(gè)轉(zhuǎn)軸是由兩部分組成，各以角速度?1、?2繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)兩部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量各為I1、I2，由于不受外力矩作用，角動(dòng)量守恒。而且最初是靜止的，因此有,即,旋轉(zhuǎn)方向是相反的。,40,7 一飛輪以角速度 ?0 繞光滑固定軸旋轉(zhuǎn)，飛輪對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J1；另一靜止飛輪突然和上述轉(zhuǎn)動(dòng)的飛輪嚙合，繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，該飛輪對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為前者的二倍，嚙合后整個(gè)系統(tǒng)的角速度?為 （A）3 ?0 （B） ?0/3 （C） ?0 （D）無法判斷。,角動(dòng)量守恒,[ ],B,聶,41,8. 一圓盤正繞垂直于盤面的水平光滑固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為?1，如圖所示，射來兩個(gè)質(zhì)量相同，速度大小相同，方向相反并在同一直線上的子彈，子彈射入圓盤并且留在盤內(nèi)，若子彈射入圓盤后的瞬間，圓盤的角速度為?2，則 （A） ?1 ?2 （B） ?1 ?2 （C） ?1 = ?2 （D）不能確定,角動(dòng)量守恒,射入后 I2﹥I1 ，?減小,[ ],A,42,10 一個(gè)物體正在繞固定光滑軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則它受熱膨脹時(shí) （A）角速度不變。 （B）角速度變小。 （C）角速度變大。 （D）無法確定角速度如何變化。,光滑軸，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能不變。,受熱膨脹：I=?mr2，r 增大，I 增大，則 ? 變?。?遇冷收縮：I=?mr2，r 減小，I 減小，則 ? 變大。,[ ],B,43,5 如圖所示，A、B兩飛輪的軸桿在一條直線上，并可用摩擦嚙合器C使它們連接，開始時(shí)B輪以角速度?B轉(zhuǎn)動(dòng)，A輪以角速度 ?A 轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)在嚙合過程中兩飛輪不受其它力矩的作用。當(dāng)兩飛輪連接在一起后，共同的角速度為?，若A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 JA；則B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JB=__________.,角動(dòng)量守恒,,44,6 如圖所示，一靜止的均勻細(xì)棒，長為L、質(zhì)量為M，可繞通過棒的端點(diǎn)且垂直于棒長的光滑固定軸0在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為ML2/3，一質(zhì)量為m、速率為v的子彈在水平面內(nèi)沿與棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，設(shè)穿出棒后子彈的速率為v/2，則此時(shí)棒的角速度應(yīng)為____________.,角動(dòng)量守恒,,45,7 光滑的水平桌面上有一長為2l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過其中點(diǎn)O且垂直于桿的豎直光滑固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mL2/3，起初桿靜止，桌面上有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，各自在垂直于桿的方向上，正對著桿的一端，以相同速率v相向運(yùn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)兩小球同時(shí)與桿的兩個(gè)端點(diǎn)發(fā)生完全非彈性碰撞后，就與桿粘在一起轉(zhuǎn)動(dòng)，則這一系統(tǒng)碰撞后的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度應(yīng)為__________.,子彈角動(dòng)量,角動(dòng)量守恒,,46,8 有一半徑為R的水平圓轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，開始時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)以勻角速度?0轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)有一質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)中心，隨后人沿半徑向外跑去，當(dāng)人到達(dá)離轉(zhuǎn)軸為r處時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為__________．,人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mr2,角動(dòng)量守恒,,47,,4 花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員繞通過自身的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)兩臂伸開，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，角速度為?0。然后她將兩臂收回，使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減少為J0/2。這時(shí)她轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變?yōu)開_________.,5 如圖所示，一桿長l=100cm，可繞通過其上端的水平光滑固定軸0在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，相對于0軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=20kg.m2。原來?xiàng)U靜止并自然下垂。若在桿的下端水平射入質(zhì)量為m=0.01kg、速率v=400m/s的子彈并嵌入桿內(nèi)，計(jì)算桿和子彈一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度的大小。,練習(xí)：,48,4 花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員繞通過自身的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)兩臂伸開，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，角速度為?0。然后她將兩臂收回，使轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減少為J0/2。這時(shí)她轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度變?yōu)開_________.,,49,5 如圖所示，一桿長l=100cm，可繞通過其上端的水平光滑固定軸0在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，相對于0軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=20kg.m2。原來?xiàng)U靜止并自然下垂。若在桿的下端水平射入質(zhì)量為m=0.01kg、速率v=400m/s的子彈并嵌入桿內(nèi)，計(jì)算桿和子彈一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度的大小。,解：將桿與子彈視為一剛體，水平飛來子彈與剛體視為一系統(tǒng)．由角動(dòng)量守恒得：,50,6 質(zhì)量為m的一桶水懸于繞在轆轤上的輕繩下端，轆轤可視為一質(zhì)量為M的圓柱體。桶從井口由靜止釋放，求桶下落過程中繩中的張力。轆轤繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為MR2/2，其中R為轆轤的半徑，軸上摩擦忽略不計(jì)。,,7 如圖所示，一滑輪可看作均勻薄圓盤。質(zhì)量為m，半徑為R。在圓盤邊緣上繞一細(xì)繩，兩端掛著質(zhì)量為m1與m2的物體。若m1 ? m2 ，忽略軸上摩擦力，且繩與圓盤之間無滑動(dòng)。求圓盤角加速度?。（圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mR2/2 ）,51,6 質(zhì)量為m的一桶水懸于繞在轆轤上的輕繩下端，轆轤可視為一質(zhì)量為M的圓柱體。桶從井口由靜止釋放，求桶下落過程中繩中的張力。轆轤繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為MR2/2，其中R為轆轤的半徑，軸上摩擦忽略不計(jì)。,解：對水桶和圓柱形轆轤分別用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程,由此可得,將 J =MR2代入上式，得,52,7 如圖所示，一滑輪可看作均勻薄圓盤。質(zhì)量為m，半徑為R。在圓盤邊緣上繞一細(xì)繩，兩端掛著質(zhì)量為m1與m2的物體。若m1 ? m2 ，忽略軸上摩擦力，且繩與圓盤之間無滑動(dòng)。求圓盤角加速度?。（圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mR2/2 ）,由牛頓第二定律可列出物體的運(yùn)動(dòng)方程,由于繩與滑輪之間無滑動(dòng)，所以兩物體的加速度大小相同。a1=a2,滑輪的運(yùn)動(dòng)方程可由轉(zhuǎn)動(dòng)定律給出,解上述方程即可得出,