2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.1不等式的性質(zhì)（第二課時(shí)） 大綱人教版必修.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 6.1不等式的性質(zhì)（第二課時(shí)） 大綱人教版必修 ●課 題 6.1.2 不等式的性質(zhì)(二) ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.不等式的性質(zhì)定理1，定理2，定理3及其推論. 2.不等式性質(zhì)定理1，定理2，定理3及其推論的證明方法. (二)能力訓(xùn)練要求 1.掌握不等式性質(zhì)定理1、2、3及推論的證明，初步理解證明不等式的邏輯推理方法. 2.理解定理3是移項(xiàng)法則的依據(jù). 3.能運(yùn)用不等式性質(zhì)定理及推論解決一些簡單的問題. (三)德育滲透目標(biāo) 通過對(duì)不等式性質(zhì)定理的掌握，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)變的解題能力和思考問題嚴(yán)謹(jǐn)周密的習(xí)慣. ●教學(xué)重點(diǎn) 掌握不等式性質(zhì)定理1、2、3及推論，注意每個(gè)定理的條件.理解不等式的性質(zhì)，是不等式變形的理論依據(jù). ●教學(xué)難點(diǎn) 1.理解定理1、定理2的證明，即“a＞bb＜a和a＞b，b＞ca＞c”的證明.這兩個(gè)定理證明的依據(jù)是實(shí)數(shù)大小的比較與實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則. 2.定理3的推論，即“a＞b，c＞da＋c＞b＋d”是同向不等式相加法則的依據(jù).但兩個(gè)同向不等式的兩邊分別相減時(shí)，就不能得出一般結(jié)論. ●教學(xué)方法 引導(dǎo)啟發(fā)結(jié)合法——即在教師引導(dǎo)下，由學(xué)生利用已學(xué)過的有關(guān)知識(shí)，順利完成定理的證明過程及定理的簡單應(yīng)用. ●教具準(zhǔn)備 幻燈片兩張. 第一張：記作６.1.2 A a>ba-b>0 a=ba-b=0 a<ba-b<0 1.比較兩實(shí)數(shù)大小的依據(jù)： 2.比較兩實(shí)數(shù)大小的方法： 作差→變形→判斷差值的符號(hào)→得出結(jié)論. 3.已知x，y均為正數(shù)，設(shè)M＝，N=，試比較M和N的大小. 第二張：記作６.1.2 B 不等式的三條基本性質(zhì)(初中) (1) 若a＞b，則a＋c＞b＋c，a－c＞b－c； （2）若a＞b，c＞0，則ac＞bc，； (3)若a＞b，c＜0，則ac＜bc，. ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 (一)打出投影片6.1.2 A，讓學(xué)生解決下面問題： ［師］請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們比較兩實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù)是什么? ［生］我們比較兩實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù)是三個(gè)“等價(jià)”關(guān)系，即 a>ba-b>0 a=ba-b=0 a<ba-b<0 ［師］我們用“作差法”比較兩實(shí)數(shù)的大小，其一般步驟是什么? ［生］用“作差法”比較兩實(shí)數(shù)的大小，一般分三步.即： 第一步：作差并化簡，其化簡目標(biāo)應(yīng)是n個(gè)因式之積或完全平方或常數(shù)的形式. 第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)進(jìn)行討論. 第三步：得出結(jié)論. ［師］已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m＝，n＝，試比較M和N的大小. 分析：在此題中，變形過程較靈活，既要通分，又要進(jìn)行因式分解，使同 學(xué)們正確運(yùn)用完全平方公式. ［生］M－N＝（）－ ＝ ＝ ＝ ∵x，y均為正數(shù) ∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，（x－y）2≥0 ∴M－N≥0 即M≥N. (二)打出投影片6.1.2 B，使學(xué)生熟練口述初中已學(xué)過的不等式的三條基本性質(zhì). ［師］請(qǐng)同學(xué)們回顧初中我們學(xué)過的不等式的基本性質(zhì)是什么? ［生］(口述)不等式的基本性質(zhì)是： 基本性質(zhì)1 不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變. 基本性質(zhì)2 不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變. 基本性質(zhì)3 不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變. ［師］我們不僅從文字上理解不等式基本性質(zhì)，更重要的是我們要理解掌握其數(shù)學(xué)含義，即 (1)若a＞b，則a＋c＞b＋c，a－c＞b－c； (2)若a＞b，c＞0，則ac＞bc，＞； (3)若a＞b，c＜0，則ac＜bc，＜. ［師］自然界中的等量關(guān)系是相對(duì)的，而不等關(guān)系是絕對(duì)的，不等量關(guān)系比等量關(guān)系的存在更具有普遍性，所以不等關(guān)系的研究具有重要的意義，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.我們將在前面學(xué)過的一元一次不等式、一元二次不等式和含絕對(duì)值的不等式的解法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的重要性質(zhì). Ⅱ.講授新課 ［師］課本中定理1～定理3的證明，都是以實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系為依據(jù)，并直接運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則(如：正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)，同號(hào)相乘得正，異號(hào)相乘得負(fù))來確定差的符號(hào). 定理1 如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b. ［師］此定理分前、后兩部分，讓兩個(gè)學(xué)生在理解實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則基礎(chǔ)上板演證明過程. ［生甲］（證明定理1的前半部分） ∵a＞b ∴a－b＞0 由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，得 －（a－b）＜0 ∴b－a＜0 即b＜a. ［生乙］(證明定理1的后半部分) ∵b＜a ∴b－a＜0 由負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，得 －（b－a）＞0 ∴a－b＞0 即a＞b. ［師生共析］定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向；定理1的作用是把用“＞”（或“＜”)連結(jié)的不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為用“＜”(或“＞”)連結(jié)的不等式，即a＞bb＜a. 注釋：同向不等式——在兩個(gè)不等式中，如果每一個(gè)的左邊都大于(或小于)右邊，這兩個(gè)不等式就是異同向不等式.例如a2＋2＞a＋1，3a2＋5＞2a是同向不等式. 異向不等式——如果一個(gè)不等式的左邊大于(或小于)右邊，而另一個(gè)不等式的左邊小于(或大于)右邊，這兩個(gè)不等式就是異向不等式.例如a2＋3＞2a，a2＜a＋5是異向不等式. 定理2 如果a＞b，且b＞c，那么a＞c. ［師］同學(xué)們對(duì)定理2是容易理解的，但對(duì)它進(jìn)行證明，卻是比較困難的.為克服同學(xué)們出現(xiàn)下面兩種問題：一是同學(xué)們可能認(rèn)為沒有必要進(jìn)行證明；二是同學(xué)們不知道如何證明.我們可以先回答下面問題：“如果a＞b，則與誰大?”大家可能有如下答案(學(xué)生思考并回答)：學(xué)生甲：“若a＞b，則＞”；學(xué)生乙：“若a＞b，則＜”，很顯然，學(xué)生甲、乙的答案是錯(cuò)誤的，他們考慮問題都不全面.引導(dǎo)學(xué)生做出正確答案：“當(dāng)a、b同號(hào)，即a＞b＞0或0＞a＞b時(shí)有＜；當(dāng)a、b異號(hào)，即a＞0＞b時(shí)有＞”.這就告訴我們，任何一個(gè)命題要判斷其真假，我們不能只看其表，必固其根本.因此，我們掌握定理2的證明是非常必要的. ［生］(在教師指導(dǎo)下讓學(xué)生完成證明過程) ∵a＞b，b＞c ∴a－b＞0，b－c＞0. 根據(jù)兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)，得 （a－b）＋（b－c）＞0 ∴a－c＞0 即a＞c. ［師生共析］運(yùn)用定理1、可將定理2改寫為：如果a＜b，b＜c，那么a＜c，即a＜b，b＜ca＜c；定理2是不等式的傳遞性(a＞b且b＞ca＞c），它是“放縮”不等式的依據(jù). 定理3 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c. ［師］在引導(dǎo)學(xué)生證明定理1，定理2的基礎(chǔ)上，使學(xué)生明確定理3的實(shí)質(zhì)是：“在a＞b的條件下，比較a＋c與b＋c的大小.”這樣學(xué)生就可運(yùn)用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系順利完成定理3的證明過程. ［生甲］∵a＞b ∴a－b＞0 ∴（a＋c）－（b＋c）＝a－b＞0 即a＋c＞b＋c ［生乙］∵a＞b ∴a－b＞0∴a－b＋c－c＞0(利用互為相反的兩個(gè)數(shù)和是零) ∴（a＋c）－（b＋c）＞0 即a＋c＞b＋c. ［師生共析］定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向.利用定理3，可以得出：“如果a＋b＞c，那么a＞c－b”.［這是因?yàn)椋篴＋b＞ca＋b＋（－b）＞c＋（－b）a＞c－b］.也就是說：“不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊.”顯然，定理3的逆命題也成立. 想一想：如果a＜b，是否有a＋c＜b＋c？ ［生］答案是肯定的.這是由于： a＜ba－b＜0 ∴（a＋c）－（b＋c）＝a－b＜0 即a＋c＜b＋c. 定理3推論 如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d. ［師］定理3的推論是同向不等式相加，要多次運(yùn)用定理3然后由定理2證出，靈活變形，選出恰當(dāng)方法. ［生甲］∵a＞b，c＞d ∴a－b＞0，c－d＞0 ∴（a＋c）－（b＋d）＝（a－b）＋（c－d）＞0(兩個(gè)正數(shù)的和仍為正數(shù)) ∴a＋c＞b＋d. ［生乙］∵a＞b ∴a＋c＞b＋c 又∵c＞d ∴b＋c＞b＋d ∴由不等式的性質(zhì)定理2，得 a＋c＞b＋d. ［師生共析］對(duì)于定理3的推論，很明顯，它可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加.這就是說，兩個(gè)或者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向. 評(píng)述：定理3是不等式移項(xiàng)法則的基礎(chǔ)；定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù)，但兩個(gè)同向不等式的兩邊分別相減時(shí)，就不能作出一般的結(jié)論.例如： “5＞3且4＞2有5－4＝3－2”； “8＞3且4＞2有8－4＞3－2”； “6＞4且3＞－５有6－3＜4－（－5）”. 課本［例3］已知a＞b，c＜d，求證a－c＞b－d. ［師］不等式的性質(zhì)運(yùn)用時(shí)較為靈活，熟練掌握其性質(zhì)是解決不等式問題的關(guān)鍵. 分析：思路一：證明“a－c＞b－d”，實(shí)際是根據(jù)已知條件比較a－c與b－d的大小，所以以實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系為依據(jù)，直接運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則來確定差的符號(hào)，最后達(dá)到證題目的. ［生］∵a＞b，c＜d ∵a－b＞0，d－c＞0 ∴（a－c）－（b－d） ＝（a－b）＋（d－c）＞0(兩個(gè)正數(shù)的和仍為正數(shù)) 故a－c＞b－d. 思路二：我們已熟悉不等式的性質(zhì)中的定理1～定理3及推論，所以運(yùn)用不等式的性質(zhì)，加以變形，最后達(dá)到證明目的. ［生］∵c＜d ∴－c＞－d 又∵a＞b ∴a＋（－c）＞b＋（－d） ∴a－c＞b－d Ⅲ.課堂練習(xí) 1.判斷下列命題的真假，并說明理由： (1)如果a＞b，那么a－c＞b－c； (2)如果a＞b，那么＞. 分析：從不等式性質(zhì)定理找依據(jù)，與性質(zhì)定理相違的為假，與定理相符的為真. 答案：(1)真.因?yàn)橥评矸?hào)定理3. (2)假.由不等式的基本性質(zhì)2，3(初中)可知，當(dāng)c＜0時(shí)，＜.即不等式兩邊同乘以一個(gè)數(shù)，必須明確這個(gè)數(shù)的正負(fù). 2.回答下列問題： （1)如果a＞b，c＞d，能否斷定a＋c與b＋d誰大誰小?舉例說明； (2)如果a＞b，c＞d，能否斷定a－2c與b－2d誰大誰小?舉例說明. 答案：(1)不能斷定.例如：2＞1，1＜32＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0.８2－1＞1－0.８.異向不等式作加法沒定論. (2)不能斷定.例如a＞b，c＝1＞d＝－1a－2c＝a－2，b＋2＝b－2d，其大小不定.a＝８＞1＝b時(shí)a－2c＝６＞b＋2＝3.而a＝2＞1＝b時(shí)a－2c＝0＜b＋2＝3. 3.求證：(1)如果a＞b，c＞d，那么a－d＞b－c； (2)如果a＞b，那么c－2a＜c－2b. 證明：(1) (2)a＞b－2a＜－2bc－2a＜c－2b. 4.已和a＞b＞c＞d＞0，且，求證：a＋d＞b＋c. 證明：∵ ∴ ∴（a－b）d＝（c－d）b. 又∵a＞b＞c＞d＞0 ∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且＞1 ∴＞1 ∴a－b＞c－d 即a＋d＞b＋c. 評(píng)述：此題中，不等式性質(zhì)和比例定理聯(lián)合使用，使式子形與形之間的轉(zhuǎn)換更迅速.這道題不僅有不等式性質(zhì)應(yīng)用的信息，更有比例的信息，因此這道題既要重視性質(zhì)的運(yùn)用技巧，也要重視比例定理的應(yīng)用技巧. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)定理1～定理3及其推論，理解不等式性質(zhì)的反對(duì)稱性(a＞bb＜a＝、傳遞性(a＞b，b＞ca＞c)、可加性(a＞ba＋c＞b＋c)、加法法則（a＞b，c＞da＋c＞b＋d），并記住這些性質(zhì)的條件，尤其是字母的符號(hào)及不等式的方向，要搞清楚這些性質(zhì)的主要用途及其證明的基本方法. Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P８習(xí)題6.1 4.（1）、（2） (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P６～７不等式性質(zhì)定理4及其推論，定理5及其證明方法. 2.預(yù)習(xí)提綱： (1)預(yù)習(xí)定理4及其推論，理解不等式性質(zhì)的可積性、乘法法則、乘方法則. (2)預(yù)習(xí)定理5，掌握用反證法證明不等式的開方法則. ●板書設(shè)計(jì) 6.1.2 不等式的性質(zhì)(二) 一、不等式的性質(zhì) 二、不等式性質(zhì)的證明 課時(shí)小結(jié) 定理1 例題 定理2 課后作業(yè) 定理3 課堂練習(xí) 推論