2019-2020年高一數(shù)學(xué) 2.7對(duì)數(shù)（備課資料） 大綱人教版必修.doc

2019-2020年高一數(shù)學(xué) 2.7對(duì)數(shù)（備課資料） 大綱人教版必修 一、對(duì)數(shù)定義解釋 1.如果a（a＞0且a≠1）的b次冪等于N，就是ab＝N，那么數(shù)b叫做以a為底的對(duì)數(shù)，記作：logaN＝b（a＞0且a≠1) 2.對(duì)數(shù)定義中為什么規(guī)定a＞0且a≠1呢? 因?yàn)椋? (1)若a＜0時(shí)，則N為某些值時(shí)，b值不存在.如：b＝log－28不存在. (2)若a＝0時(shí)， ①N不為0時(shí)，b不存在. 如log02不存在(可解釋為0的多少次方是2呢?) ②N為0時(shí)，b可以是任何正數(shù)，是不惟一的，即log00有無數(shù)個(gè)值.(可解釋為0的任何非零正次方都是零) (3)若a＝1時(shí)， ①N不為1時(shí)，b不存在. 如log13不存在. ②N為1時(shí)，b可以為任何數(shù)，是不惟一的，即log11有無數(shù)多個(gè)值. 因此，規(guī)定：a＞0且a≠1. 二、參考例題 ［例1］1000的常用對(duì)數(shù)記為a；ｅ的自然對(duì)數(shù)記為b；則a、b的大小關(guān)系是 A.a＞b B.a＜b C.a≤b D.不能確定 解：由題意知： a＝lg1000＝lg103＝3. b＝lne＝1. 顯然a＞b，故選A. ［例2］若2.5x＝1000，0.25y＝1000，則＝ . 解：由2.5x＝1000，得x＝log2.51000. 由0.25y＝1000得y＝log0.251000 ∴ ＝log10002.5－log10000.25 ＝log1000＝log100010＝. ［例3］設(shè)M＝{0，1}，N＝{11－a，lga，2a，a}，是否存在a的值，使M∩N＝{1}？ 解：由題意，須使集合N中有一個(gè)元素1. ①若11－a＝1，則a＝10. 這時(shí)lga＝lg10＝1. 這與集合中元素互異矛盾. ∴a≠10； ②若2a＝1，則a＝0，此時(shí)lga無意義， ∴2a≠1； ③若lga＝1，則a＝10與（ⅰ)情形相同； ④若a＝1，這時(shí)11－a＝10，lga＝lg1＝0，2a＝2. ∴N＝{10，0，2，1}. 此時(shí)M∩N＝{0，1}，這與M∩N＝{1}矛盾. 綜上所述：不存在a值，使M∩N＝{1}. 評(píng)述：此題之所以分類討論，是因?yàn)椤?”元素所對(duì)應(yīng)的集合中元素不確定，應(yīng)要求學(xué)生通過此題體會(huì)數(shù)學(xué)中的分類討論思想. 三、參考練習(xí)題 1.求下列各式中的x. （1） log8x=－; (2)logx27=; (3)log2(log5x)=0; (4)log3(lgx)=1. 解：（1）由log8x=－ 得x= 即x=. (2)由logx27= 得=27,即=33 故x==34=81. (3)由log2(log5x)=0 得log5x=20=1,故x=51=5. (4)由log3(lgx)=1,得lgx=3 故x=103=1000. 2.(1)求log84的值. （2）已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值. 分析：本題考查對(duì)數(shù)的定義、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，及利用互化解題. 解：（1）設(shè)log84=x,根據(jù)對(duì)數(shù)的定義有8x=4. 即23x=22,∴x=,即log84=. 另法：log84=22=log22=； (2)∵loga2=m,loga3=n. ∴am=2,an=3, 則a2m+n=(am)2an=223=12. 評(píng)述：此題不僅是簡(jiǎn)單的指、對(duì)數(shù)互化.同時(shí)還涉及到常見的冪的運(yùn)算法則的應(yīng)用. ●備課資料 參考練習(xí)題 1.下列各式正確的個(gè)數(shù)是 ①log416＝2 ②log164＝ ③log10100＝2 ④log100.01＝－2 A.0 B.1 C.2 D.4 解：①log416＝log442＝2，正確. ②log16＝，正確. ③log10100＝log10102＝2，正確. ④log1010-2＝－2，正確. 故選D. 2.以下四個(gè)命題中是真命題的是 ①若log5x＝3，則x＝15； ②若log25x＝，則x＝5； ③logx＝0，則x＝； ④若log5x＝－3，則x＝ A.②③ B.①③ C.②④ D.③④ 解：①若log5x＝3，則x＝53≠15，①錯(cuò)誤. ②若log25x＝，則x＝＝5，正確. ③若logx＝0，則x不存在，錯(cuò)誤. ④若log5x＝－3，則x＝5-3＝，正確. 故選C. 3.當(dāng)a＞0且a≠1，x＞0，y＞0，n∈N*，下列各式不恒等的是 A.loganx＝logax B.logax＝nloga C.＝x D.logaxn＋logayn＝n（logax＋logay） 解：∵logax不恒為1， ∴＝x不恒成立 故選C. 4.已知｜lga｜＝｜lgb｜（a＞0，b＞0），那么 A.a＝b B.a＝b或ab＝1 C.a＝b D.ab＝1 解：由｜lga｜＝｜lgb｜， 得lga＝lgb或lga＝－lgb ∴a＝b或a＝即a＝b或ab＝1 故選B. 5.log6[log4（log381）]＝ . 解：原式＝log6log4（log33）4＝log6（log44）＝log61＝0. 6.若logπl(wèi)og3（lnx）＝0，則x＝ . 解：∵logπl(wèi)og3（lnx）＝0， ∴l(xiāng)og3（lnx）＝1 ∴l(xiāng)nx＝3，∴x＝e3. 7.log2＝ . 解：=log2)=log2=log24=2 8.若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正確的個(gè)數(shù)是 （1）logaxlogay=loga(x+y); (2)logax－logay=loga(x－y); (3)loga=logaxlogay; (4)logaxy=logaxlogay. A.0 B.1 C.2 D.3 分析：對(duì)數(shù)的運(yùn)算實(shí)質(zhì)是把積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘的運(yùn)算.在運(yùn)算中要注意不能把對(duì)數(shù)符號(hào)當(dāng)作表示數(shù)的字母參與運(yùn)算.如：logax≠logax,logax是不可分開的一個(gè)整體.4個(gè)選項(xiàng)都把對(duì)數(shù)符號(hào)當(dāng)作字母參與運(yùn)算，因而都是錯(cuò)誤的. ∴應(yīng)選A. 9.對(duì)于a>0,a≠1,下列說法中，正確的是 ①若M=N，則logaM=logaN; ②若logaM=logaN,則M=N； ③若logaM2=logaN2,則M=N; ④若M=N，則logaM2=logaN2. A.①③ B.②④ C.② D.①②③④ 分析：在①中，當(dāng)M=N≤0時(shí)，logaM與logaN均無意義，因此logaM=logaN不成立. 在②中，當(dāng)logaM=logaN時(shí)，必有M>0,N>0,且M=N.因此M=N成立. 在③中，當(dāng)logaM2=logaN2時(shí)，有M≠0,N≠0,且M2=N2，即|M|=|N|，但未必有M=N.例如，M=2，N=－2時(shí)，也有l(wèi)ogaM2=logaN2,但M≠N. 在④中，若M=N=0，則logaM2與logaN2均無意義，因此logaM2=logaN2不成立. ∴只有②成立，應(yīng)選C. 評(píng)述：正確理解對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式，是利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題的前提條件. 10.若a>0,a≠1,x>y>0,n∈N*,則下列各式： ①（logax)n=nlogax； ②(logax)n=logaxn； ③logax=－loga； ④； ⑤； ⑥； ⑦logaxn=nlogax； ⑧l(xiāng)oga=－loga 其中成立的有（ ） A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè) 分析：由loga=logax－logay,logaxn=nlogax,知①②④⑤是錯(cuò)誤的. 解：③⑥⑦⑧正確，∴應(yīng)選B. 評(píng)述：默寫所有對(duì)數(shù)公式，對(duì)照檢查是否正確，對(duì)遺漏的公式進(jìn)行證明，進(jìn)一步加強(qiáng)理解，在此基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶，公式一定要記住、記熟，在此基礎(chǔ)上會(huì)用、用活. ●備課資料 參考練習(xí)題 1.計(jì)算下列各式： (1)lg12.5－lg＋lg0.5； (2) ； （3）. 分析：可以利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，將每項(xiàng)展開，達(dá)到相消或相約而求值；也可以利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，將真數(shù)合并. 解法一： (1)原式＝ ＝lg100－lg23－lg10＋lg24＋lg1－lg2 ＝lg102－3lg2－1＋4lg2－lg2 ＝2－1＝1. (2)原式＝ ＝； (3)原式＝ ＝ ＝＝3. 解法二： (1)原式＝＝lg10＝1； (2)原式＝＝3； (3)原式＝ ＝ ＝＝3. 2.選擇題 （1）的值為（ ） A. B. C. D. 解： ＝. 故選C. (2)2＋比大（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 解：2＋＝2＋log10a＝2＋lga. 又lg＝lga－lg100＝lga－2， ∴2＋＝2＋lga－（lga－2) ＝2＋lga－lga＋2＝4 故選B. (3)已知3a＝5b＝A，且＝2，則A的值為（ ） A.15 B. C. D.225 解：∴3a＝5b＝A， ∴a＝log3A，b＝log5A， ∴＝logA3，＝logA5 ∵＝2 ∴l(xiāng)ogA3＋loga5＝2 ∴l(xiāng)ogA35＝2， ∴A2＝15， ∴A＝ 又A＞0，∴A＝ 故選B. (4)如果log8a＋log4b2＝5，log8b＋log4a2＝7，那么log2（ab）的值為（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 解：∵log8a＋log4b2＝5，log8b＋log4a2＝7， ∴（log8a＋log8b）＋（log4b2＋log4a2）＝12 ∴l(xiāng)og8（ab）＋log4（ab）2＝12 ∴l(xiāng)og8（ab）＋2log4（ab）＝12 ∴＝12 ∴＝12 ∴l(xiāng)og2（ab）＝12 ∴l(xiāng)og2（ab）＝12＝9 故選D. 3.已知log23＝a，3b＝7，試用a、b的式子表示log1256. 解：由log23＝a得a＝， 由3b＝7得b＝log37∴b＝. ∴l(xiāng)og1256＝ ＝=. ●備課資料 一、對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)的基本思路 ［例1］不查表，化簡(jiǎn)： log2＋log212－log242. 評(píng)述：化簡(jiǎn)這類式子，一般有兩種思路： 思路一：把48、12、42分解質(zhì)因數(shù)，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，把log2、log212、log242拆成若干個(gè)對(duì)數(shù)的代數(shù)和，然后再化簡(jiǎn). 思路二：由于所給的對(duì)數(shù)的底數(shù)相同，可以把各對(duì)數(shù)合并成一個(gè)對(duì)數(shù)，然后再化簡(jiǎn)計(jì)算. 解法一： 原式＝log2＋log2（322）－log2（723） ＝log27－log23－2log22＋log23＋2log22－log27－log22－log23 ＝－log22＝－. 解法二： 原式＝log2 ＝－. 評(píng)述：上面兩種解題思路，一是“正向”，利用積、商、冪、方根的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，把各對(duì)數(shù)分成更為基本的一系列對(duì)數(shù)的代數(shù)和，由于某些對(duì)數(shù)的相互抵消，使所給對(duì)數(shù)式得到了化簡(jiǎn)；二是“逆向”，運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，把同底的各對(duì)數(shù)合并成一個(gè)對(duì)數(shù)，由于真數(shù)部分的約簡(jiǎn)，使所給對(duì)數(shù)式得到了化簡(jiǎn)，上面的兩種解法，簡(jiǎn)單地說，一是“分”二是“合”. ［例2］化簡(jiǎn) 解法一：先用“分”的方法 原式＝ ＝ 解法二：再采用“合”的方法. 原式＝ ＝. 評(píng)述：上面給出了一類對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)的兩種方法，一是把真數(shù)分解質(zhì)數(shù)，然后把對(duì)數(shù)分成若干個(gè)對(duì)數(shù)的代數(shù)和，最后進(jìn)行化簡(jiǎn)；二是把同底的對(duì)數(shù)之和合并成一個(gè)對(duì)數(shù)，對(duì)真數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn).這兩種解題思路，便是我們解決對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)問題的重要方法，在碰到這類問題時(shí)，要善于靈活地選用上述方法. 二、參考例題 [例題]的值是（ ） A. B.1 C. D.2 解：利用換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得： 原式＝， 故選A. 三、參考練習(xí)題 1.求下列各式中x的取值范圍： （1）log(x－1)(x+2); (2)log(1－2x)(3x+2). 分析：在logaN=b中，必須a>0,a≠1,N>0,由此可列出不等式組，求出字母的取值范圍. 解：（1）令 故x的取值范圍是{x|x>1且x≠2}. (1) 令 故x的取值范圍是{x|－<x<,且x≠0}. 評(píng)述：解此類問題一定要考慮全面，不僅要考慮對(duì)真數(shù)的限制，尤其不能忽視底的范圍. 2.若集合{x,xy,lg(xy)}={0,|x|,y},則log8(x2+y2)= . 解法一：根據(jù)集合中元素的互異性，在第一個(gè)集合中，x≠0,第二個(gè)集合中，知道y≠0, ∴第一個(gè)集合中的元素xy≠0,只有l(wèi)g(xy)=0,可得xy=1 ① 然后，還有兩種可能，x=y ② 或xy=y ③ 由①②聯(lián)立，解得x=y=1; 或x=y=－1,若x=y=1,xy=1,違背集合中元素的互異性，若x=y=－1,則xy=|x|=1,從而兩集合中的元素相同. 由①③聯(lián)立，解得x=y=1不符合題意. ∴x=－1,y=－1,符合集合相等的條件. 因此，log8(x2+y2)=log82=. 解法二：由上述解法可判斷l(xiāng)g(xy)=0, ∴xy=1. 又由集合中元素的特性，知 xxy=|x|2y, ∵y≠0 ∴x2=11. 又由于x≠0, ∴x=1 當(dāng)x=1時(shí)，y=1,此時(shí)不滿足集合的特性. 當(dāng)x=－1時(shí)，y=－1,此時(shí)，符合集合相等的條件. 評(píng)述：欲求log8(x2+y2)的值，須求出x,y的值，利用集合相等，求出x,y的值. 3.已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(－1)=－2,當(dāng)x∈R時(shí)f(x)≥2x恒成立，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時(shí)f(x)的最小值？ 分析：因?yàn)閒(x)為二次式，所以對(duì)于x∈R有f(x)≥2x恒成立的實(shí)質(zhì)是一元二次不等式f(x)－2x≥0恒成立. 則問題轉(zhuǎn)化成求解二次式f(x)－2x=0的判別式Δ≤0. 解：由f(－1)=－2 得：f(－1)=1－(lga+2)+lgb=－2, 解之lga－lgb=1, ∴=10,a=10b. 又由x∈R,f(x)≥2x恒成立. 知：x2+(lga+2)x+lgb≥2x, 即x2+xlga+lgb≥0,對(duì)x∈R恒成立， 由Δ=lg2a－4lgb≤0, 整理得（1+lgb)2－4lgb≤0 即（lgb－1)2≤0,只有l(wèi)gb=1, 不等式成立. 即b=10,∴a=100. ∴f(x)=x2+4x+1=(2+x)2－3 當(dāng)x=－2時(shí)，f(x) min=－3.