2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.5二項分布及其應(yīng)用教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.5二項分布及其應(yīng)用教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.考查條件概率和兩個事件相互獨立的概念;2.考查n次獨立重復(fù)試驗及二項分布的概念;3.考查利用二項分布解決一些簡單的實際問題. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.利用互斥事件、事件的獨立性對事件進行分解是計算復(fù)雜事件概率的關(guān)鍵,復(fù)習(xí)時要注意體會總結(jié);2.掌握二項分布的含義,會從實際問題中抽象出二項分布模型. 1. 條件概率及其性質(zhì) (1)對于任何兩個事件A和B,在已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率叫做條件概率,用符號P(B|A)來表示,其公式為P(B|A)=(P(A)>0). 在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù),則P(B|A)=. (2)條件概率具有的性質(zhì): ①0≤P(B|A)≤1; ②如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 2. 相互獨立事件 (1)對于事件A、B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響,則稱A、B是相互獨立事件. (2)若A與B相互獨立,則P(B|A)=P(B), P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B). (3)若A與B相互獨立,則A與,與B,與也都相互獨立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨立. 3. 二項分布 (1)獨立重復(fù)試驗是指在相同條件下可重復(fù)進行的,各次之間相互獨立的一種試驗,在這種試驗中每一次試驗只有__兩__種結(jié)果,即要么發(fā)生,要么不發(fā)生,且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的. (2)在n次獨立重復(fù)試驗中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此時稱隨機變量X服從二項分布,記為X~B(n,p),并稱p為成功概率. [難點正本 疑點清源] 1. “互斥事件”與“相互獨立事件”的區(qū)別與聯(lián)系 (1)“互斥”與“相互獨立”都是描述的兩個事件間的關(guān)系. (2)“互斥”強調(diào)不可能同時發(fā)生,“相互獨立”強調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響. (3)“互斥”的兩個事件可以獨立,“獨立”的兩個事件也可以互斥. 2. 計算條件概率有兩種方法 (1)利用定義P(B|A)=; (2)若n(C)表示試驗中事件C包含的基本事件的個數(shù),則P(B|A)=. 1. 如圖所示的電路,有a,b,c三個開關(guān),每個開關(guān)開或關(guān)的概率都是, 且是相互獨立的,則燈泡甲亮的概率為_______________. 答案 解析 理解事件之間的關(guān)系,設(shè)“a閉合”為事件A,“b閉合”為事件B,“c閉合”為事件C,則燈亮應(yīng)為事件AC,且A,C,之間彼此獨立,且P(A)=P()=P(C)=. 所以P(AC)=P(A)P()P(C)=. 2. 某次知識競賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中,選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題,即停止答題,晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8,且每個問題的回答結(jié)果相互獨立,則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為________. 答案 0.128 解析 依題意可知,該選手的第二個問題必答錯,第三、四個問題必答對,故該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率P=10.20.80.8=0.128. 3. (xx課標全國)某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布N(1 000,502),且各個元件能否正常工作相互獨立,那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為________. ——— 答案 解析 設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時的事件分別記為A,B,C,顯然P(A)=P(B)=P(C)=, ∴該部件的使用壽命超過1 000小時的事件為(A+B+AB)C, ∴該部件的使用壽命超過1 000小時的概率 P==. 4. 把一枚硬幣連續(xù)拋兩次,記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A,“第二次出現(xiàn)正面”為事件B,則P(B|A)等于 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 P(B|A)===. 5. 如果X~B,則使P(X=k)取最大值的k值為 ( ) A.3 B.4 C.5 D.3或4 答案 D 解析 ∵P(X=3)=C312, P(X=4)=C411, P(X=5)=C510, 從而易知P(X=3)=P(X=4)>P(X=5). 題型一 條件概率 例1 在100件產(chǎn)品中有95件合格品,5件不合格品.現(xiàn)從中不放回地取兩次,每次任取一件,則在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率為________. 思維啟迪:直接利用條件概率公式進行計算或利用古典概型. 答案 解析 方法一 設(shè)A={第一次取到不合格品}, B={第二次取到不合格品},則P(AB)=, 所以P(B|A)===. 方法二 第一次取到不合格品后還剩余99件產(chǎn)品,其中有4件不合格品,故第二次取到不合格品的概率為. 探究提高 條件概率的求法: (1)利用定義,分別求P(A)和P(AB),得P(B|A)=.這是通用的求條件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù),即n(AB),得P(B|A)=. 如圖,EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則(1)P(A)=________;(2)P(B|A)=________. 答案 解析 (1)由題意可得,事件A發(fā)生的概率 P(A)===. (2)事件AB表示“豆子落在△EOH內(nèi)”, 則P(AB)===. 故P(B|A)===. 題型二 相互獨立事件的概率 例2 甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球,命中率分別為與p,且乙投球2次均未命中的概率為. (1)求乙投球的命中率p; (2)求甲投球2次,至少命中1次的概率; (3)若甲、乙兩人各投球2次,求共命中2次的概率. 思維啟迪:(1)利用列方程求p;(2)可用直接法也可用間接法;(3)要分類討論甲、乙各命中的次數(shù). 解 (1)方法一 設(shè)“甲投一次球命中”為事件A,“乙投一次球命中”為事件B. 由題意得(1-P(B))2=(1-p)2=, 解得p=或p=(舍去), 所以乙投球的命中率為. 方法二 設(shè)“甲投一次球命中”為事件A,“乙投一次球命中”為事件B. 由題意得:P()P()=, 于是P()=或P()=-(舍去). 故p=1-P()=. 所以乙投球的命中率為. (2)方法一 由題設(shè)知,P(A)=,P()=. 故甲投球2次,至少命中1次的概率為 1-P()=. 方法二 由題設(shè)知,P(A)=,P()=. 故甲投球2次,至少命中1次的概率為 CP(A)P()+P(A)P(A)=. (3)由題設(shè)和(1)知,P(A)=,P()=, P(B)=,P()=. 甲、乙兩人各投球2次,共命中2次有三種情況:甲、乙兩人各中一次;甲中2次,乙2次均不中;甲2次均不中,乙中2次. 概率分別為CP(A)P()CP(B)P()=, P(A)P(A)P()P()=, P()P()P(B)P(B)=. 所以甲、乙兩人各投球2次,共命中2次的概率為 ++=. 探究提高 (1)相互獨立事件是指兩個試驗中,兩事件發(fā)生的概率互不影響;相互互斥事件是指同一次試驗中,兩個事件不會同時發(fā)生; (2)求用“至少”表述的事件的概率時,先求其對立事件的概率往往比較簡單. (xx山東)紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽,甲對A、乙對B、丙對C各一盤.已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立. (1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率; (2)用ξ表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ). 解 (1)設(shè)甲勝A的事件為D,乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,則,,分別表示甲不勝A,乙不勝B,丙不勝C的事件. 因為P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由對立事件的概率公式知P()=0.4,P()=0.5, P()=0.5. 紅隊至少兩人獲勝的事件有DE,DF,EF,DEF. 由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立, 因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 P=P(DE)+P(DF)+P(EF)+P(DEF) =0.60.50.5+0.60.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.55. (2)由題意知ξ可能的取值為0,1,2,3. 又由(1)知 F,E,D 是兩兩互斥事件,且各盤比賽的結(jié)果相互獨立, 因此P(ξ=0)=P( )=0.40.50.5=0.1, P(ξ=1)=P( F)+P(E)+P(D ) =0.40.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5 =0.35, P(ξ=3)=P(DEF)=0.60.50.5=0.15. 由對立事件的概率公式得 P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E(ξ)=00.1+10.35+20.4+30.15=1.6. 題型三 獨立重復(fù)試驗與二項分布 例3 某氣象站天氣預(yù)報的準確率為80%,計算:(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2位) (1)5次預(yù)報中恰有2次準確的概率; (2)5次預(yù)報中至少有2次準確的概率; (3)5次預(yù)報中恰有2次準確,且其中第3次預(yù)報準確的概率. 思維啟迪:預(yù)報準確的次數(shù)服從二項分布,可直接代入公式進行計算. 解 令X表示5次預(yù)報中預(yù)報準確的次數(shù),則X~B(5,),故其分布列為P(X=k)=C()k(1-)5-k(k=0,1,2,3,4,5). (1)“5次預(yù)報中恰有2次準確”的概率為P(X=2)=C()2(1-)3=10≈0.05. (2)“5次預(yù)報中至少有2次準確”的概率為P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C()0(1-)5-C(1-)4=1-0.000 32-0.006 4≈0.99. (3)“5次預(yù)報中恰有2次準確,且其中第3次預(yù)報準確”的概率為C(1-)3≈0.02. 探究提高 獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此),就像對立事件是互斥事件的特例一樣,只要有“恰好”字樣的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單,就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣. 某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓(xùn),以提高下崗人員的再就業(yè)能力,每名下崗人員可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn),已知參加過財會培訓(xùn)的有60%,參加過計算機培訓(xùn)的有75%,假設(shè)每個人對培訓(xùn)項目的選擇是相互獨立的,且各人的選擇相互之間沒有影響. (1)任選1名下崗人員,求該人參加過培訓(xùn)的概率; (2)任選3名下崗人員,記X為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù),求X的分布列. 解 (1)任選1名下崗人員,記“該人參加過財會培訓(xùn)”為事件A,“該人參加過計算機培訓(xùn)”為事件B,由題設(shè)知,事件A與B相互獨立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75. 所以,該下崗人員沒有參加過培訓(xùn)的概率是P( )=P()P()=(1-0.6)(1-0.75)=0.1. ∴該人參加過培訓(xùn)的概率為1-0.1=0.9. (2)因為每個人的選擇是相互獨立的,所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)X服從二項分布X~B(3,0.9), P(X=k)=C0.9k0.13-k,k=0,1,2,3, ∴X的分布列是 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 對二項分布理解不準致誤 典例:(12分)一名學(xué)生每天騎車上學(xué),從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗,假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是. (1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù),求X的分布列; (2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù),求Y的分布列. 易錯分析 由于這名學(xué)生在各個交通崗遇到紅燈的事件相互獨立,可以利用二項分布解決,二項分布模型的建立是易錯點;另外,對“首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)Y”理解不當,將“沒有遇上紅燈的概率也當成”. 規(guī)范解答 解 (1)將通過每個交通崗看做一次試驗,則遇到紅燈的概率為,且每次試驗結(jié)果是相互獨立的, 故X~B.[2分] 所以X的分布列為P(X=k)=Ck6-k,k=0,1,2,3,4,5,6.[5分] (2)由于Y表示這名學(xué)生在首次停車時經(jīng)過的路口數(shù),顯然Y是隨機變量,其取值為0,1,2,3,4,5,6.其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前k個路口沒有遇上紅燈,但在第k+1個路口遇上紅燈,故各概率應(yīng)按獨立事件同時發(fā)生計算.[7分] P(Y=k)=()k(k=0,1,2,3,4,5),而{Y=6}表示一路沒有遇上紅燈.故其概率為P(Y=6)=()6,[9分] 因此Y的分布列為 Y 0 1 2 3 4 5 6 P ()2 ()3 ()4 ()5 ()6 [12分] 溫馨提醒 (1)二項分布是高中概率部分最重要的概率分布模型,是近幾年高考非常注重的一個考點.二項分布概率模型的特點是“獨立性”和“重復(fù)性”,事件的發(fā)生都是獨立的、相互之間沒有影響,事件又在相同的條件之下重復(fù)發(fā)生. (2)獨立重復(fù)試驗中的概率公式Pn(k)=Cpk(1-p)n-k表示的是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生k次的概率,p與(1-p)的位置不能互換,否則該式子表示的意義就發(fā)生了改變,變?yōu)槭录嗀有k次不發(fā)生的概率了. 方法與技巧 1. 古典概型中,A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)==,其中,在實際應(yīng)用中P(B|A)=是一種重要的求條件概率的方法. 2. 相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別 相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響,計算式為P(AB)=P(A)P(B).互斥事件是指在同一試驗中,兩個事件不會同時發(fā)生,計算公式為P(A∪B)=P(A)+P(B). 3. n次獨立重復(fù)試驗中,事件A恰好發(fā)生k次可看做是C個互斥事件的和,其中每一個事件都可看做是k個A事件與n-k個事件同時發(fā)生,只是發(fā)生的次序不同,其發(fā)生的概率都是pk(1-p)n-k.因此n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Cpk(1-p)n-k. 失誤與防范 1. 運用公式P(AB)=P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件,只有當事件A、B相互獨立時,公式才成立. 2. 獨立重復(fù)試驗中,每一次試驗只有兩種結(jié)果,即某事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生,并且任何一次試驗中某事件發(fā)生的概率相等.注意恰好與至多(少)的關(guān)系,靈活運用對立事件. A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. (xx遼寧)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù),事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)等于 ( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 P(A)==,P(AB)==, P(B|A)==. 2. (xx湖北)如圖,用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當 K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作.已 知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為 ( ) A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 答案 B 解析 方法一 由題意知K,A1,A2正常工作的概率分別為P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8, ∵K,A1,A2相互獨立, ∴A1,A2至少有一個正常工作的概率為P(A2)+P(A12)+P(A1A2)=(1-0.8)0.8+0.8(1-0.8)+0.80.8=0.96. ∴系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[P(A2)+P(A12)+P(A1A2)]=0.90.96=0.864. 方法二 A1,A2至少有一個正常工作的概率為1-P(1 2)=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,∴系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[1-P(1 2)]=0.90.96=0.864. 3. (xx廣東)甲、乙兩隊進行排球決賽,現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍,乙隊需要再贏兩局才能得冠軍,若兩隊勝每局的概率相同,則甲隊獲得冠軍的概率為( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 甲隊若要獲得冠軍,有兩種情況,可以直接勝一局,獲得冠軍,概率為,也可以乙隊先勝一局,甲隊再勝一局,概率為=,故甲隊獲得冠軍的概率為+=. 4. 已知隨機變量X服從二項分布X~B(6,),則P(X=2)等于 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 P(X=2)=C()2(1-)4=. 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 明天上午李明要參加奧運志愿者活動,為了準時起床,他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己.假設(shè)甲鬧鐘準時響的概率為0.80,乙鬧鐘準時響的概率是0.90,則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率是________. 答案 0.98 解析 1-0.200.10=1-0.02=0.98. 6. 某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同,且在兩次罰球中至多命中一次的概率為,則該隊員每次罰球的命中率為________. 答案 解析 設(shè)該隊員每次罰球的命中率為p(其中0
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